小学数学《重组教材沟通量率》

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1、重组教材 沟通“量”“率” 对学生认识分数的困境与解径的思考分数概念的教学是分数教学中最基本、最核心的内容。在小学引进分数概念是数的概念的一次重要扩展。从整数到分数，无论在意义上、读写方法上以及计算方法上，都有很大的差异。而学生在生活中遇到分数又比较少，因此是比较难掌握的。学生对分数概念不清晰，就会直接妨碍对分数四则运算法则的理解和掌握。掌握了分数概念，还为深刻理解和掌握小数和百分数、灵活地解决问题打下良好的基础。因此我们都很重视分数概念的教学，但我们想方设法让学生厘清分数的概念，但效果总不如人意，在分数概念教学过程常常会碰到相同的困惑（学生分辨不清分数的两种含义），近几年来，我有意识地关注着

2、这个问题，通过自己的观察、分析、实践，发现教材存在某些不妥之处，并提出一些调整的策略。 一、困惑辨不清分数的两种含义 学生在三上学习分数的初步认识后，学生普遍都能很好地用分数表示图中的涂色部分，也能用折纸或画图等方法表示出一个分数，在五下学习了“分数的意义”、“分数与除法的关系”后，能很好地说出具体情境中分数表示的含义，能较好的解决“部分占整体的几分之几”的问题，但对于“一根5米长的绳子平均截成8段，每段是这根绳子的（ ），每段长（ ）米。”这样的填空错误率很高（如上图）。即使反复强化训练后，仍有一部分学生不能很好区分“什么时候填，什么时候填，什么时候该带单位，什么时候不该带单位。”即使到了六

3、年级，还有很多学生还是搞不清分数的两种身份（既可以表示一种关系，也可以表示具体的数量），如学生对于用分数表示具体数量的求一个数是另一个数百分之几是多少时，错误率也很高（如左图）。学生怎么这么难分辨分数的两种含义呢？教材编写有没有不利于很好理解两种含义的因素呢？为了弄清这个问题，我们不妨看看人教版教材是怎样编排这部分内容进行教学的。 二、溯源对人教版教材的分析 对于分数意义的理解，人教版教材分两个阶段：第一阶段是三年级上册，主要借助具体的实物和直观图形，把一个物体或一个图形平均分成若干份，用分数来表示其中的一份或几份，都是表示的是部分和整体的一种关系。第二阶段是五年级下册，把多个物体或多个图形看

4、作一个整体，概括出单位“1”及分数的意义，再接着来学习分数与除法的关系、怎样求“一个数是另一个数的几分之几”的问题。此时涉及分数的两种含义：1、表示一种关系（包括部分与整体和一个数与另一个数）。2、表示具体的数量。教材具体安排见下表： 人教版三年级上册第七单元分数的初步认识（P91103）教学内容教材的编写意图主要理解分数的哪种含义认识几分之一教材通过两个学生平分月饼的情境，引入分数，使学生知道：把一块月饼平均分成两份，每份是这块月饼的一半，也就是它的二分之一。在此基础上，把月饼平均分成四份，让学生通过迁移来推想：每份是这块月饼的几分之一。认识上面分数后，教材初步抽象、概括，说明像这样的数都是

5、分数。一种关系（部分与整体）比较几分之一的大小教材安排了两组几分之一的分数进行大小比较，加深对几分之一的理解。教材没给出比较的结果，让学生在直观图的帮助下进行比较，填出结果，达到“在认识中比较大小，在比较中巩固对分数的认识”的目的。一种关系（部分与整体）认识几分之几通过折纸、合作交流来认识四分之几，这是在学生直观认识的基础上进行的。通过把相同大小的正方形平均分成4份，分别由四个学生引出、。是前面折纸认识的继续，更是发展。一种关系（部分与整体）比较同分母分数的大小通过把1分米的线段平均分成10份，来说明十分之几的含义，一方面进一步理解几分之几的含义，另一方面为以后小数的学习做了初步准备。一种关系

6、（部分与整体）同分母分数简单加减法教材从分吃西瓜的情境引入同分母分数的加法。图中将一个西瓜平均分成8份，一个男孩吃了2份，一个女孩吃了一份，要求计算是多少，教材通过小精灵提示思路和答案。减法是通过一个女孩从中拿出，来展示计算过程，理解算理。一种关系（部分与整体）1减去几分之几教材是把一个圆片平均分成四份（小精灵提示1可以看作4个，就是），再从中拿走1份（拿走），求还剩几分之几，引出1-。一种关系（部分与整体） 人教版五年级下册第四单元分数的意义和性质（P60103）教学内容教材的编写意图主要理解分数的哪种含义分数的产生、分数的意义1、 “分数的产生”提供古人测量与孩子分物的两幅直观图，帮助学生

7、感悟分数是适应客观需要而产生的，促进对分数意义的理解。2、 “分数的意义”则通过直观插图，从两个方面说明1/4的含义(可以表示一个物体的1/4，也可以表示一些物体的1/4)，在此基础上概括出:一个物体或一些些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或者几份都可以用分数来表示。并给出单位“l”的概念。通过做一做:把12颗糖果平均分成2份、3份、4份、6份，揭示分数表示部分与整体的关系，加深学生对分数概念的理解。接着给出分数单位的的概念，并让学生说出以上分数的分数单位。教材的编排比以往更重视用直观的手段帮助学生体会、理解有关知识。一种关系（部分与整体）分数与除法教材安排两道例

8、题来说明分数与除法的关系。例1是把一个物体（一个蛋糕）平均分成若干份，求每份是多少。学生可以根据整数除法的含义，列出除法算式；可以根据分数的意义，直接说出结果。这样就把除法计算与分数联系起来。例2是许多物体（3块月饼）平均分成若干份，求每份是多少。学生容易理解用除法计算，但是理解计算结果要困难一些。为此，教材安排一组图来说明。在这两个实例的基础上，教材由小精灵提出问题，然后总结出分数表示整数除法的商时，要用除数作分母，被除数作分子。反过来，一个分数也可以看作两个数相除。具体的数量(除法的商）求一个数是另一个数的几分之几教材以“养鹅的只数是鸭的几分之几”为例来教学，通过学生对话的方式给出解答思路

9、：先由分数的意义说明，求养鹅的只数是鸭的几分之几，也就是求7只是10只的几分之几，把10只看作一个整体，1只占它的，7只就是。然后根据分数与除法的关系分析，相当于710，所以求养鹅的只数是鸭的几分之几，可以用除法计算。一种关系（一个数与另一个数） 从以上两张表我们发现教材这样安排存在诸多不利于学生区分分数的两种身份（一种关系和具体数量）的因素： 1.在第一学段教材所有内容都是理解分数表示的部分和整体的关系，容易使学生根深蒂固地建立起“分数就是部分和整体一种关系”的心理图式。第二学段虽有1课时来理解分数表示具体的数量，但相对于已建立起强大的“部分和整体的一种关系”来说显得力量过于单薄，在脑中是不

10、能留下明显痕迹的。 2.教材先让学生理解分数表示的“部分和整体的一种关系”，再概括分数的意义，然后学习分数与除法的关系，最后认识分数表示一种关系的另一种含义（即一个数是另一个数几分之几）。这种编排方式，一方面顺序颠倒，学习分数与除法的关系应放在总结分数的意义之前；另一方面无形中割裂了分数的两种意义，使学生把分数的两种解释看成是互不相关的、彼此独立的，造成学生对分数意义的理解局限于“部分与整体的关系”这一心理图像，从而必然造成概念错误。 3.分数既然有两种含义，在定义分数的意义时理应都有涉及，而人教版教材在分数的意义一节中对分数的概念表述为:一个物体或一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均

11、分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。可以看出教材对于分数这一概念的解释角度比较单一。 鉴于以上诸多不利因素，我们教师在实际教学过程中在尊重教材的基础上可以对教材进行适当的调整、重组。 三、解径重组教材、沟通“量”“率” 新课标指出教师要遵循教材，但不拘泥于教材，教师是教材的编写者、实践者，要能够创造性运用教材。所谓创造性运用教材就是指教师对教材有深刻和独到的见解，对教材科学合理地整合、重组和超越，对教学有独特的思路和设计，能够对教材的绝对权威提出挑战，使加工后的教材更加丰富多彩，更具实效性。针对教材存在着不利于学生很好地理解分数的两种含义，我们可以对教材进行合理的重组，大体可以分成

12、四个阶段：1.初步认识分数，借助直观，着重围绕进行学习，再学习几分之一。【初步感知不同物体个数的是不同的】2.理解一些物体的几分之一及几分之几，并引入用归一的思路解“一些物体的几分之一及几分之几是几个”的分数应用题。【初步感知分数的两种含义】3.认识分数与除法的关系，并设计区分分数两种含义的对比练习，帮助学生厘清分数的意义。【再次理解分数的两种含义】4.从测量、分物入手，概括分数的意义。【彻底厘清分数的两种含义】 1.从一开始引入分数的概念时，就涉及一个整体表示一个物体或多个物体。 刚接触分数时，教师按照教材的编写意图一般会从两个人平均分具体的实物，当把一个具体的物体平均分成两份，每份用一个已

13、学的数不能表示时，引出分数。具体的实施过程如下： 师：两个同学分苹果，如果有8个苹果，这两个人怎么分？ 生：要分得一样多，每人分4个。 师：分得一样多，叫做平均分。 师：如果有4个苹果平均分给两个同学，每人分得几个？ 生：2个。 师：如果两个苹果呢？ 生：每人分得1个。 师：如果有1个苹果平均分给两个同学，每人分得几个？ 生：半个。 师：对，半个。半个苹果能不能也用一个数表示呢？ 生：0.5、二分之一、一分之一 师：小朋友的想法真多。半个苹果已经不能用我们原来学过得数表示了，所以今天要学习一个新的数，它的名字叫分数。 师：（课件演示）把一个苹果对半平分，也就是把一个苹果平均分成两份，半个苹果也

14、就是整个苹果的一半占其中的一份，可以用分数表示。（教师板书并指导读法和写法)。 师：这一份是这个苹果的，那另一份呢？ 生：也是这个苹果的。 师：对，把一个苹果平均分成两份，每份都是这个苹果的。 接着通过用不同形状的纸通过折一折、画一画的形式来表示纸片的。 最后通过学生的折纸创造出其它的分数（如、） 近两年已听过十多节分数初步认识的课，基本都是按以上的流程设计的，这样设计让学生自己在表达分的结果时体会到：自然数不能表达这样一些结果，于是引出数的扩展需要。在教师的引导下从“半个一半”是从学生的生活经验到数学化的结果，在“生活经验”与“数学知识”之间架构起认知桥梁。但这样设计也有个弊端，就是“整体一

15、”只停留在一个实物或一个图形上，学生容易造成就等于个，它们是一回事（虽在特定的条件下，单位一是一个物体或图形时就等于个，但形成这样的定势是不利于清楚理解分数的意义的。）。因此，我们可以在教学设计时进行适当的调整，开始引入分数的概念时，就涉及分数的整体单位1，使学生能初步感知到不仅仅可以表示个。如： 1.要把一些糖果、一些桔子和一个苹果分给两个同学，你觉得可以怎么分？ （1）引出分得一样多叫平均分。 （2）每人分到每样东西的多少呢？（引出：一半） 2.课件出示8颗糖、4个桔子和1个苹果，问：每人一半分别是多少个？（每人4颗糖、2个桔子、半个苹果。）3.理解一半的意思。 （1）课件出示分好的结果：

16、(如右图） （2）说说每个“一半”的意思。 （3）教师指导说8颗糖的一半：把8颗糖平均分成2份，其中的1份是它的一半。 （4）学生说4个桔子及一个苹果的“一半”的意思。 4.着力建构二分之一(1)教师指着半个苹果问：“一半”可以用什么数表示？引出，并指导读法及写法。(2)说说这个的意思。 板书：把一个苹果平均分成2份，其中的1份是它的。 (3)用纸片（圆形、长方形、正方形、正三角形）表示出它的。 深究：折法不同，涂色部分形状也不同，为什么涂色部分都是那个图形的？ (4)小结：不管什么图形，只要平均分成2份，每一份都是这个图形的。 5.类比迁移，认识“几分之一” 用图形创造出其它的“几分之一”，

17、操作好后，重点从学生中收集圆形、长方形、正方形三种不同图形的来理解“几分之一”。 6.初步感知整体一。 看图回答： （1）一个苹果的“一半”可以，那么8颗糖、4个桔子的“一半”呢？ （2）一个苹果的是个，那么8颗糖的是多少颗？4个桔子的呢？ （3）小结：由于整体的个数不同，它们的所表示的个数也不一样。 此课的设计打破常规，把“一些糖果、一些桔子和一个苹果平均分给两个同学，每个同学分到多少？”来引出“一半”并理解一半的意思后，再从一个物体的“一半”来引出，深入理解及几分之一后，然后来认识不仅单个物体的一半可以用表示，多个物体的一半也可以用表示，最后初步感知不同物体个数的是不同的。这样从分数的引入

18、一开始就从把整体一的均分和单个一的均分结合在一起认识，使学生接纳分数这一新知时就较好地建构起较为完整的分数意义的理解，这有助于学生理解分数时不会形成“分数就是部分与整体的一种关系”的心理图式，也有助于以后帮助学生区分分数的两种含义（因在认识分数的初始就感知了有可能是个，也有可能是其它的个数。） 2.在分数初步认识之后感受整体“1”的均分，解决一些物体的几分之几是多少的问题。 在分数的初步认识后，增加“认识一些物体的几分之一及一些物体的几分之几”和求“一些物体的几分之一及一些物体的几分之几是多少”的学习内容。苏教版在三年级下册（也就是在学生初步认识分数后）就开始学习此方面的内容，如：图1图2图3

19、图4 这里在学生初步认识分数后马上“认识一些物体的几分之一及一些物体的几分之几”和求“一些物体的几分之一及一些物体的几分之几是多少”旨在使学生理解把由若干个物体组成的一个整体进行平均分，每一份是这个整体的几分之一。而一份的物体个数可能是一个，可能是几个。让学生在具体的事物平分情景中，感受和体悟分数的形成过程和所表示的实际含义，能结合具体的情景表述部分与整体的关系，形象地建构对分数的较为完整地认识。这里增加了用归一的思路求“一些物体的几分之一及一些物体的几分之几是多少”的学习内容，这部分学习内容实际上是人教版教材中六年级学习的分数乘法的内容，把它安排在三年级进行教学并不是增加了学生学习的难度，而

20、是分数意义的实际展现，用归一的思路来解决分数乘法应用题是建筑在学生思维最近发展区的可接受学习和可探究发现能力的背景下的有效教学。因为，学生学习、研究和发现的背景是在体悟、感受、认识分数“实质”的思想基础上的思维具体化，是抓住“等分”、“每份是多少?”、“有几份，是多少”的思维主线来进行分数问题的问题解决。借助直观图，完善对分数意义的认识。既是对分数意义的必要补充，也突出了单位“1”对数量关系的影响，对学生理解分数的两种含义及学习用分数乘除法解决实际问题非常有帮助。 3.在概括分数意义之前认识分数与除法的关系，并设计区分分数两种含义的对比练习。 人教版教材先根据分数表示意义的一个方面（部分与整体

21、的一种关系）总结概括分数的意义，再学习分数与除法的关系，这样的顺序安排有些颠倒，容易使学生产生思维的紊乱，因为分数明明表示“把单位1平均分成若干份，取这样的一份或几份”，怎么会又冒出另一种身份（具体数量的意义：除法的商）呢？分数既然有两种含义，理应把两种含义都认识后最后概括出分数的意义，因此我们可以先认识分数与除法的关系后再概括分数的意义。还有认识分数与除法的关系后，鉴于两种含义的比较有难点，所以应该设计一节专门区分分数两种含义的对比练习课，以使学生更好分辨：什么时候是一种关系，什么时候是具体的数量；什么时候该加单位，什么时候不该加单位。如：分数两种含义的对比练习 一、比较分数的两种意义 1.

22、出示：把12个月饼平均分给4个人，每份是这些月饼的（ ），每人有（ ） 个月饼。 （1）学生独立解决问题：分一分，圈一圈，填一填。 （2）反馈交流： 画法： 填法：把12个月饼平均分给4个人，每份是这些月饼的（），每份有（12 4=3 ）个月饼。 2.出示： A、把8个月饼平均分给4个人，每份是这些月饼的（ ），每份有 （ ）个月饼。 B、把3个月饼平均分给4个人，每份是这些月饼的（ ），每份有（ ）个月饼。 （1）画一画，填一填。 （2）反馈交流。 思考：通过计算这几道题，你有什么发现？ 质疑1：月饼的总个数都不同，但为什么都可以用来表示？ 提炼1：不管单位“1”的数量怎么变，只要平均分成4

23、份，取这样的1份，都可以用表示。 质疑2：同样是把这些月饼平均分成4份，为什么每份的数量都不一样？ 提炼2：单位“1”所表示的数量不同，每份的数量就不同。 3.出示：C、把3个月饼平均分给4个人，3份是这些月饼的（ ）。 （1）独立思考：比较B和C，你有什么发现？ （2）小组讨论：和个他们两个所表示的含义有什么不同？ 表示什么意思？ 个表示什么意思？ a.把3个月饼一块一块的分，每人每次分得个，分了3次，共分得了3个 个，就是个。 b.把3个月饼叠在一块分，分了1次，每人分得3个，就是个。提炼3：分数不但可以表示部分与整体的关系，也可以表示一个具体的数量。 二、巩固练习，拓展提升 1.基础练习

24、 （ （2）反馈交流：说说你是怎样想的？3、练习（1）（22 （1）一根5 米的绳子平均截成8段，每段是这根绳子的（ ），每段长（ ）米。 （2）同学们到植物园参观，用25分钟走了2千米，平均每分钟走（ ）千米。 （3）一根木棒锯成9段，据下一段所用的时间是锯成9段所用时间的（ ）。 （4）有12支铅笔，平均分给2个人，每支铅笔是铅笔总数的（ ），每人分得的铅笔是铅笔总数的( ),每人分到（ ）支。 2、拓展练习 （1）一根2米长的绳子，剪去它的，还剩下它的（ ）；剪去米，这根绳子还剩下（ ）。 （2）1块烧饼的与3块烧饼的（ ）相等。1千克的，与3千克的（ ）是一样重的。 4.从测量、分物入

25、手，在分数所表示两种含义的情境中完整概括出分数的意义。 人教版教材（如右图）“分数的意义”是通过直观插图，从两个方面说明的含义(可以表示一个物体的，也可以表示一些物体的)，在此基础上概括出分数的意义：一个物体或一些物体等都可以看作一个整体，把这这个整体平均分成若干份，这样的一份或者几份都可以用分数来表示。并给出单位“l”的概念。通过做一做:把12颗糖果平均分成2份、3份、4份、6份，揭示分数表示部分与整体的关系，加深学生对分数概念的理解。接着给出分数单位的的概念，并让学生说出以上分数的分数单位。显然教材对于分数的意义只限于“部分和整体”的一种关系上，比较单一，不够全面。对于学生完整系统地构建分

26、数的意义是不利的。那么怎样才能使学生更好的理解分数的概念呢？ 我通过查阅有关分数的资料发现：人类历史上最早产生的数是自然数（非负整数），以后在度量和平均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数。用一个作标准的量（度量单位）去度量另一个量，只有当量若干次正好量尽的时候，才可以用一个整数来表示度量的结果。如果量若干次不能正好量尽，就必须引进一种新的数分数来表示度量的结果。例如，用b作标准去量a：把b分成n等份，用其中的一份作为新的度量单位去度量a，量m次正好量尽，就表示a含有把b分成n等份以后的m个等份。在整数除法中，两个数相除，有时不能得到整数商。为了使除法运算总可以施行，也需要引进新的

27、一种数分数。因此我们在分数意义的概括时，可以溯本追源，从最基本的测量与分物入手，让学生在分数所表示两种含义的具体的情境中来完整概括分数的意义。如： 1.测量：用1分米长的绳子去测量单人课桌的长 (1)学生测量后反馈：5分米多一点 (2)多一点是几分米呢？(引导学生把1分米平均分成10份再测量，学生发现是分米） (3)说说分米的意思。 2.分物：把3个饼平均分给四个同学，每个人这些饼的几分之几？每人分到多少个？ (1)每人用学具分一分。 (2)反馈： 每个人这些饼的几分之几？每人分到多少个？ 说说和个的意思。 要求分到多少个，可以怎样列式？ 3.结合测量及均分物体说说什么是分数？4.教师概括总结

28、：形如(n为大于l的自然数，m为自然数)的数叫做分数。分数可以理解为：把单位“1”平均分成n份，表示这样的m份的数。（如：分米是表示把1分米平均分成10份，表示这样7份。）在“分数与除法”中指出分数可以表示m除以n的商，它可以理解为：把m个单位平均分成n份，表示其中一份的数；或者表示数m是数n的n分之m(即m是n的倍)。（如：个是3除以4的商，是把3个饼平均分给4个同学，每人分得个。） 分数意义的教学是学习分数这部分知识的一个关键，是教学的重点，同时也是难点（因为分数既可以表示两个数的关系，也可以表示具体的数量）。既然理解分数有一定的难度，我们教师要想方设法摆脱一切不利于理解的因素来突破难点，这当中也包括对现有的教材与课程标准保持自己的独立思考，我们要尊重教材基础上活用教材，在充分了解教材编排的意图上，根据学生的实际情况，对教材进行合理的补充、调整，使之更加有利于学生的学习，但绝不是盲目的舍弃教材！主要参考文献：1、全日制义务教育数学课程标准（实验稿） 北京大学出版社 2002年6月2、小学儿童如何学数学 孔企平 华东师范大学出版社3、新课程教学方略（小学系列）数学上册 张炳意 傅敏 现代教育出版社4、小学数学教师2010第4期 在已有知识体系上认识分数 钱建兵 上海教育出版社12