课题直线与圆锥曲线

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1、课题：直线与圆锥曲线苍南中学 郑伟民教学目标：1、熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及数与形的对应关系；2、能够解决直线与圆锥曲线的弦长、中点弦等相关问题；3、通过对直线与圆锥曲线的研究培养学生运用数形结合、方程和转化等数学思想方法解决直线与圆锥曲线综合问题的能力。4、通过对直线与圆锥曲线的研究培养学生归纳、推理、判断等方面的能力。教学重点：1、直线与圆锥曲线相交的有关问题；2、解决直线与圆锥曲线相关问题的两种常用方法。教学难点：1、有关圆锥曲线上存在关于直线对称点的问题；2、综合分析已知条件通过转化进而得到有关量之间的关系；3、数学思想方法的灵活运用，简化有关的计算。教学过程： 会考标

2、准中对圆锥曲线的要求涉及到直线与圆锥曲线的问题，其要求等第达到为数不多d等，这类问题的主要特点是：问题综合性强。不仅包含了解析几何几乎所有的知识，还涉及函数、不等式等众多代数知识，甚至还会用到平面几何知识。因此要求大家不仅对基本知识要相当熟悉，还要有较高的驾驭数学思想方法的能力。本节课要求同学们充分运用数形结合、函数方程、化归转化和分类讨论等数学思想方法来解决相关的综合题。一、感性重温1、直线与椭圆的位置关系是 ？设计意图：从直线与圆的位置关系的判定方法引出直线与椭圆的位置关系。提问：这种判定方法是否适用于抛物线与双曲线呢？2、直线过点且与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？学生1：3条，

3、两条切线和一条平行于轴的直线。老师：可见当交点只有一个时直线与抛物线并不一定是相切的。那么应该根据什么来判定直线与圆锥曲线的位置关系呢？3、当取何值时，直线与双曲线相交？学生2：由得当时， 直线y=2x+1与双曲线的渐近线平行，它与双曲线相交于一点；当时，(1)当0，即-2k2且时，直线与双曲线相交于两点；(2)当0，即k-2或k2时，直线与双曲线无交点(3)当=0，即k=2时，直线与双曲线相切于一点。故当-k时，直线与双曲线相交，当k-或k时，直线与双曲线相离，当k=2时直线与双曲线相切。老师：从这道题目我们可以感受到“判别式法”是判定直线与圆锥曲线位置关系的一种重要方法，但是在运用时要注意

4、什么问题呢？（对含字母的二次项系数的分类讨论）3、设抛物线与直线交于两点，求弦的长度。学生3：用两种方法即通过求交点坐标和利用韦达定理求得：老师：利用韦达定理设而不求是求解直线与圆锥曲线的相交弦长及其他相关问题的一种重要策略。二、理性回归1、直线与圆锥曲线的位置关系及其判定方法直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系可分为：相交、相切、相离这三种位置关系的条件是：设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C：f(x,y)=0 ; 由 消去y（或x）得：ax2+bx+c=0。（强调对a值即二次项系数的分类讨论）当时，令=b2-4ac, 则（1）0相交； （2）=0相切 （3

5、）0相离当时，即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时若为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；若为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。综上所述：（1）要处理好直线与圆锥曲线的位置关系与的正负和交点个数的关系。是直线与圆锥曲线相切的 充要 条件；只有一个交点是直线与圆锥曲线相切的 必要不充分 条件。（2）直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题实质上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数的问题。老师：总之也就是用数的方法来刻画形的属性，数形结合，相互转化。2、直线与圆锥曲线的相交弦长若直线l：Ax+By+C=0与圆锥曲线C：f(x，y)=0交于点和，则弦长=或（其中是直线的

6、斜率）三、案例探究老师：在直线与圆锥曲线的位置关系中，以相交最为重要，许多问题都是围绕着直线与圆锥曲线相交而设置的，下面我们就问题“当取何值时，直线与双曲线相交、？”进一步深入地展开讨论，以寻求解决这类综合问题的常用思想方法。探究1如果与双曲线的两个交点都在右支上，求的取值范围。设计意图：强化从曲线方程与数形结合两个方面来解决问题的思想方法。启发：直线与双曲线的两个交点都在右支上和它们有两个交点有什么区别呢？学生4：从数来看，两个交点都在右支上就要求两个交点的横坐标要不小于右顶点横坐标且不相等，即要求方程在有两个不等的实根，利用判别式与韦达定理可以解得；老师：由曲线方程的定义可知，曲线上点的坐

7、标与对应方程的解之间存在一一对应的关系，因此将交点的位置等价的转化为对应方程根的分布，这种数与形的相互转化，用代数的方法来解决几何问题，是解决直线与圆锥曲线的最基本方法。是否还有其它的思路呢？学生5：（插入动画）从图象上来看，直线若与双曲线的右支有两个不同的交点，则要求该直线介于与右支相切的直线和与第一、三渐近线平行的直线之间，故其斜率。老师：这种思路体现了运动变化的思想方法，“以形解形”，与第一种“以数解形”的方法相比较显得非常的轻巧，是基本方法的必要补充，也是简化运算的一种重要解题策略。但“以数解形”这种基本方法有着更加广阔的使用空间。探究2是否存在实数使得与双曲线交于两点，并且以为直径的

8、圆经过原点O？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由。老师：条件“以为直径的圆经过原点O”等价于什么呢？如何用数式来表示这一形的特征呢？学生6：设两个交点坐标分别为，则由可以推出得，进一步可得。联立直线与双曲线方程可得：得代入上式解得老师：由形想数，数形结合，但在“以数解形”的过程中要注意简化运算，此时充分利用韦达定理“设而不求”是一种重要的解题策略。设问：如果是锐角或钝角，则该如何来求k的取值范围呢？探究3能否过点作直线交双曲线于两点，使得点为线段的中点？若能求出直线的方程，若不能，请说明理由。启发：能够用基本的“以数解形”的思想方法来解题吗？老师：显然当直线垂直于轴时不符合题意，故可设

9、，联立双曲线方程，消去可得：，由可得：，解得。设问：是否这样的直线就存在呢？学生7：不存在，因为当时方程可化为问：这说明了什么呢？（直线与双曲线根本就不相交）老师：辛辛苦苦算了半天，到头来却又不存在，真是郁闷，有没有更加简洁的解法呢？学生8：可以利用“点差法”，假设这样的直线存在，交点分别为，由于点也在双曲线上，所以它们的坐标满足曲线的方程，即有和成立，两式相减可得：，接下来同上处理，相比较起来，这种方法简便多了。老师：这样处理其实质还是“以数解形”但确实要较基本方法简便多了，由此我们可以看到在涉及相交弦的中点问题时，利用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率及弦的中点坐标联系起来，相互转化，

10、是又一种简化运算的解题策略，但在简化运算的同时要注意对结论的验证。为什么要验证呢？学生9：因为直线与双曲线不一定相交。老师：对了，“点差法”运用的前提是直线与圆锥曲线相交于不同的两点。思考题： 若直线与曲线总有公共点，求的取值范围。四、课堂小结（让学生尝试）1、复习了直线与圆锥曲线的位置关系及其判定方法，要注意数与形的对应关系；2、解决了直线与圆锥曲线相交时相关的弦长、相交弦中点及对称等问题；3、我们通过对一系列问题的探究，充分体会到了解决这类问题的两种常用方法：代数法与几何法，以及简化运算的三种解题策略和四种重要数学思想方法，希望同学们能够在今后的学习中学以致用，举一反三，不断进步！ 五、学以致用1、直线与曲线 恰有一个公共点，求实数a的值。2、求过点A(3,-1)被A平分的双曲线的弦所在直线的方程。3、过椭圆的右焦点作一直线，交椭圆于两点。若线段和的长分别为，求的值。4、已知直线与椭圆交于两点，是抛物线上一点，若直线与无公共点，有最小面积，求的值和点的坐标。5、已知抛物线C：y=x2+mx1,点A(3,0),B(0,3)，若抛物线C与线段AB有两个交点，求m的取值范围。