圆的中考压轴题附答案

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1、（2010泉州）如图所示，已知抛物线 y=14x2-x+k的图象与y轴相交于点B（0，1），点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的M恰好经过顶点A（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索：当S1SS2时，求t的取值范围（其中：S为PAB的面积，S1为OAB的面积，S2为四边形OACB的面积）；当t取何值时，点P在M上（写出t的值即可）解：（1）点B（0，1）在 y=14x2-x+k的图象上， 1=1402-0+k，（2分）k=1（3分）（2）由（1）知抛物线为：y=14x2-x+1即y=14(x-2)2，顶点A为（2，0）

2、，（4分）OA=2，OB=1；过C（m，n）作CDx轴于D，则CD=n，OD=m，AD=m-2，由已知得BAC=90，（5分）CAD+BAO=90，又BAO+OBA=90，OBA=CAD，RtOABRtDCA， ADOB= CDOA，即 m-21= n2（或tanOBA=tanCAD， OAOB=CDAD，即 21=nm-2），（6分）n=2（m-2）；又点C（m，n）在 y=14(x-2)2上， n=14(m-2)2， 2(m-2)=14(m-2)2，即8（m-2）（m-10）=0，m=2或m=10；当m=2时，n=0，当m=10时，n=16；（7分）符合条件的点C的坐标为（2，0）或（10

3、，16）（8分）（3）依题意得，点C（2，0）不符合条件，点C为（10，16）此时 S1=12OAOB=1，S2=SBODC-SACD=21；（9分）又点P在函数 y=14(x-2)2图象的对称轴x=2上，P（2，t），AP=|t|， S=12OAAP=AP=|t|（10分）S1SS2，当t0时，S=t，1t21（11分）当t0时，S=-t，-21t-1t的取值范围是：1t21或-21t-1（12分）t=0，1，17（14分）（2010莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点 C(0，23)（1）求此抛物线的解析式；（2）

4、若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作D与x轴相切，D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0）， C(0，23)； 4a+2b+c=036a+6b+c=0c=23，解得 a=36b=-433c=23；抛物线的解析式为： y=36x2-433x+23；（3分）（2）易知抛物线的对称轴是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，点D的坐标为（4，8）；D与x轴相切，D的半径为8；（1分）连接DE、D

5、F，作DMy轴，垂足为点M；在RtMFD中，FD=8，MD=4，cosMDF= 12；MDF=60，EDF=120；（2分）劣弧EF的长为： 1201808=163；（1分）（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；直线AC经过点 A(2，0)，C(0，23)， 2k+b=0b=23，解得 k=-3b=23；直线AC的解析式为： y=-3x+23；（1分）设点 P(m，36m2-433m+23)(m0)，PG交直线AC于N，则点N坐标为 (m，-3m+23)，SPNA：SGNA=PN：GN；若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG= 32GN；即 36m2-433m+23= 32(-3m

6、+23)；解得：m1=-3，m2=2（舍去）；当m=-3时， 36m2-433m+23= 1523；此时点P的坐标为 (-3，1523)；（2分）若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；即 36m2-433m+23= 3(-3m+23)；解得：m1=-12，m2=2（舍去）；当m1=-12时， 36m2-433m+23= 423；此时点P的坐标为 (-12，423)；综上所述，当点P坐标为 (-3，1523)或 (-12，423)时，PGA的面积被直线AC分成1：2两部分（2分）（上海）25、如图，在RtABC中，ACB=90半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点

7、E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P（1）当B=30时，连接AP，若AEP与BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求BPD的正切值；（3）若 tanBPD=13，设CE=x，ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式（1）解：B=30，ACB=90，BAC=60AD=AE，AED=60=CEP，EPC=30三角形BDP为等腰三角形AEP与BDP相似，EPA=DPB=30，AE=EP=1在RtECP中，EC= 12EP= 12；（2）设BD=BC=x在RtABC中，由勾股定理，得：（x+1）2=x2+（2+1）2，解之得x=4，即BC=4过点C作CFDPADE与AFC相似

8、， AEAC=ADAF，即AF=AC，即DF=EC=2，BF=DF=2BFC与BDP相似， BFBD=BCBP=24=12，即：BC=CP=4tanBPD= ECCP=24=12（3）过D点作DQAC于点Q则DQE与PCE相似，设AQ=a，则QE=1-a QEEC=DQCP且 tanBPD=13，DQ=3（1-a）在RtADQ中，据勾股定理得：AD2=AQ2+DQ2即：12=a2+3（1-a）2，解之得 a=1(舍去)a=45ADQ与ABC相似， ADAB=DQBC=AQAC=451+x=45+5x AB=5+5x4，BC=3+3x4三角形ABC的周长 y=AB+BC+AC=5+5x4+3+3

9、x4+1+x=3+3x，即：y=3+3x，其中x027、已知：如图，ABC内接于O，AB为直径，弦CEAB于F，C是 AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q（1）求证：P是ACQ的外心；（2）若 tanABC=34，CF=8，求CQ的长；（3）求证：（FP+PQ）2=FPFG（1） 证明：C是 AD的中点， AC=CD，CAD=ABCAB是O的直径，ACB=90CAD+AQC=90又CEAB，ABC+PCQ=90AQC=PCQ在PCQ中，PC=PQ，CE直径AB， AC=AE AE=CDCAD=ACE在APC中，有PA=PC，PA=PC=PQP是A

10、CQ的外心（2）解：CE直径AB于F，在RtBCF中，由tanABC= CFBF=34，CF=8，得 BF=43CF=323由勾股定理，得 BC=CF2+BF2=403AB是O的直径，在RtACB中，由tanABC= ACBC=34， BC=403得 AC=34BC=10易知RtACBRtQCA，AC2=CQBC CQ=AC2BC=152（3）证明：AB是O的直径，ADB=90DAB+ABD=90又CFAB，ABG+G=90DAB=G；RtAFPRtGFB， AFFG=FPBF，即AFBF=FPFG易知RtACFRtCBF，CF2=AFBF（或由射影定理得）FC2=PFFG由（1），知PC=P

11、Q，FP+PQ=FP+PC=FC（FP+PQ）2=FPFG（10分）（成都）28在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线（1）求直线及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由并探究：若设Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，Q与两坐轴同时相切？28. （1）解：（1）沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，

12、，。 将 代入，得。解得。 直线AC的函数表达式为。 抛物线的对称轴是直线解得抛物线的函数表达式为。（2）如图，过点B作BDAC于点D。 ， 。过点P作PEx轴于点E，PECO，APEACO，解得点P的坐标为（3）（）假设Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。 设点Q的坐标为。 当Q与y轴相切时，有，即。当时，得，当时，得， 当Q与x轴相切时，有，即当时，得，即，解得，当时，得，即，解得，。综上所述，存在符合条件的Q，其圆心Q的坐标分别为，。（）设点Q的坐标为。当Q与两坐标轴同时相切时，有。由，得，即，=此方程无解。由，得，即，解得当Q的半径时，Q与两坐标轴同时相切。（凉山）1 已知：抛物线

13、，顶点，与轴交于A、B两点，。（1） 求这条抛物线的解析式；（2） 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点F，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作于，于，请判断是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；（3） 在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作，分别与边、相交于、，（与、不重合，与、不重合），请判断是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。第26题图ABxGFMHENQODC y（湘潭）26（本题满分10分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作C，抛物线过A、C、

14、O三点(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式；(2) 过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OAOD，求证：DB是C的切线；(3) 抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由26题图26（本题满分10分）解：（1）A（6，0），B（0，6） 1分连结OC,由于AOB=90o，C为AB的中点，则，所以点O在C上（没有说明不扣分）过C点作CEOA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3又点C在直线y=x+6上，故C（3，3） 2分抛物线过点O，所以c=0,又抛物线过点A、C，所以，解得： 所以抛物线解析式为 3分（2）O

15、A=OB=6代入OB2=OAOD，得OD=6 4分 所以OD=OB=OA，DBA=90o 5分 又点B在圆上，故DB为C的切线 6分（通过证相似三角形得出亦可）（3）假设存在点P满足题意因C为AB中点,O在圆上,故OCA=90o,要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，则 CAP=90o或 COP=90o, 7分若CAP=90o,则OCAP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b又AP过点A（6，0），则b=6, 8分方程y=x6与联立解得：， 故点P1坐标为（3，9） 9分 若COP=90o,则OPAC，同理可求得点P2（9，9） (用抛物线的对称性求出亦可) 故存在点P1坐标为

16、（3，9）和P2（9，9）满足题意10分（红河州）23.（本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0t6）s.（1）求OAB的度数.（2）以OB为直径的O与AB交于点M，当t为何值时，PM与O相切？（3）写出PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.（4）是否存在APQ为

17、等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.解：（1）在RtAOB中：tanOAB=OAB=30（2）如图10，连接OP，OM. 当PM与O相切时，有PM O=PO O=90， PM OPO O由（1）知OBA=60OM= OBOBM是等边三角形B OM=60可得O OP=M OP=60OP= O OtanO OP =6tan60=又OP=tt=，t=3即：t=3时，PM与O相切.（3）如图9，过点Q作QEx于点E BAO=30，AQ=4t QE=AQ=2t AE=AQcosOAB=4tOE=OA-AE=-t Q点的坐标为（-t，2t） SPQR= SOAB -SOPR -SAPQ

18、 -SBRQ = = = （） 当t=3时，SPQR最小= （4）分三种情况：如图11.当AP=AQ1=4t时，OP+AP=t+4t=t=或化简为t=-18当PQ2=AQ2=4t时 过Q2点作Q2Dx轴于点D，PA=2AD=2A Q2cosA=t即t+t =t=2当PA=PQ3时，过点P作PHAB于点H AH=PAcos30=（-t）=18-3tAQ3=2AH=36-6t得36-6t=4t，t=3.6 综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，APQ是等腰三角形.（福州）22.（满分14分）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线上，过点B作轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线过点O、A两

19、点。（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。23（本题9分）如图10，以点M（1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y x 与M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F （1）请直接写出OE、M的半径r、CH的长；（3分）（2）如图11，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH3:2，求cosQHC的值；（3分）（3

20、）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交M于点T，弦AT交x轴于点N是否存在一个常数a，始终满足MNMKa，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由（3分） xDABHCEMOF图10xyDABHCEMOF图11PQxyDABHCEMOF图12NTKyF图423、（1）、如图4，OE=5，CH=2图5F（2）、如图5，连接QC、QD，则，易知，故，由于，；（3）、如图6，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，由于，故，；F图61而，故在和中，；故；;即：故存在常数，始终满足常数24（2010广东广州，24，14分）如图，O的半径为1，点P是O上一点

21、，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DEAB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作D，分别过点A、B作D的切线，两条切线相交于点C（1）求弦AB的长；（2）判断ACB是否为定值，若是，求出ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记ABC的面积为S，若4，求ABC的周长.CPDOBAE【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则OAF为直角三角形，且OA1，OF，借助勾股定理可求得AF的长；FCPDOBAEHG（2）要判断ACB是否为定值，只需判定CABABC的值是否是定值，由于D是ABC的内切圆，所以AD和BD分别为CAB和ABC的角平分线，因此只要DAEDBA是定

22、值，那么CABABC就是定值，而DAEDBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于AOB值的一半；（3）由题可知DE (ABACBC)，又因为，所以，所以ABACBC，由于DHDGDE，所以在RtCDH中，CHDHDE，同理可得CGDE，又由于AGAE，BEBH，所以ABACBCCGCHAGABBHDE，可得DE，解得：DE3，代入ABACBC，即可求得周长为24【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA1FCPDOBAEHG弦AB垂直平分线段OP，OFOP，AFBF在RtOAF中，AF，AB2AF（2）ACB是定值.理由：由（1）易知，AOB120，因为点D为ABC的内心，所以

23、，连结AD、BD，则CAB2DAE，CBA2DBA，因为DAEDBAAOB60，所以CABCBA120，所以ACB60；（3）记ABC的周长为l，取AC，BC与D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DGDHDE，DGAC，DHBC.ABDEBCDHACDG(ABBCAC) DElDE4，4，l8DE.CG，CH是D的切线，GCDACB30，在RtCGD中，CGDE，CHCGDE又由切线长定理可知AGAE，BHBE，lABBCAC22DE8DE，解得DE3，ABC的周长为24 【涉及知识点】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、

24、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题(潍坊)24（本题满分12分）如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结（1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；（2）若四边形的面积为求直线的函数关系式；（3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 24（本题满分12分）解：（1）因为抛物线与轴交于点两点，设抛物线的函数关系式为：抛物线与轴交于点所以，抛物线的函数关系式为：2分又因此

25、，抛物线的顶点坐标为3分（2）连结是的两条切线，又四边形的面积为又因此，点的坐标为或5分当点在第二象限时，切点在第一象限.在直角三角形中，过切点作垂足为点因此，切点的坐标为6分设直线的函数关系式为将的坐标代入得解之，得所以，直线的函数关系式为7分当点在第三象限时，切点在第四象限.同理可求：切点的坐标为直线的函数关系式为因此，直线的函数关系式为或8分（3）若四边形的面积等于的面积又两点到轴的距离相等，与相切，点与点在轴同侧，切线与轴平行，此时切线的函数关系式为或9分当时，由得，当时，由得，11分故满足条件的点的位置有4个，分别是12分（济宁）23（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的

26、抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；(第23题)（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.23（1）解：设抛物线为.抛物线经过点（0，3），.抛物线为.3分 (2) 答：与相交. 4分证明：当时，. 为（2，0），为（6，0）.设与相切于点，连接，则.，.又，.6分抛物线的对称轴为，点到的距离为2.抛物线的对称轴与相交. 7分(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.8分设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）. . , 当时，的面积最大为. 此时，点的坐标为（3，）. 10分(第23题)