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1、北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项1. 设集合，则CU等于A B C D2. “”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3. 若，则下列不等式中正确的是A B C D正（主）视图ABCA1B1C11124. 如图，三棱柱的侧棱长和底面边长均为，且侧棱底面，其正（主）视图是边长为的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A B C D5. 数列满足，（），则等于A B C D结束开始输出否是（1）6. 在数列中，为计算这个数列前10项的和，现给出该问题
2、算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是 ABC D7. 设集合，集合是的子集，且满足，那么满足条件的子集的个数为A B C D 8. 如图，在等腰梯形中，且. ABDC设，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，则A随着角度的增大，增大，为定值B随着角度的增大，减小，为定值 C随着角度的增大，增大，也增大D随着角度的增大，减小，也减小二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 60807090100500分数频率/组距0.0250.0050.0459. 某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100
3、分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图. 则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有_名. PABCD10. 在的展开式中，常数项是_.（结果用数值表示） 11. 如图，是圆的内接三角形，切圆于点，交圆于点.若，则_,_. 12. 圆（为参数）的半径为_, 若圆与直线相切，则_. 13. 设为单位向量，的夹角为，则的最大值为_.14. 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：对于任意，函数是上的减函数；对于任意，函数存在最小
4、值； 存在，使得对于任意的，都有成立；存在，使得函数有两个零点其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）、三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）ABCD如图，在四边形中，.（）求的值；（）求的面积.16.（本小题满分13分）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.（）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽
5、取卡片，求抽取次数的分布列和期望.17.（本小题满分13分）ABCDD1A1B1C1如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知，函数设，记曲线在点处的切线为，与轴的交点是，为坐标原点（）证明：；（）若对于任意的，都有成立，求的取值范围19.（本小题满分14分）ADCBxOylEF如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，与椭圆交于两点，.（）若，求直线的方程；（）设直线的斜率分别为，若，求的值.20.（本小题满分14分）在数列和中，其中且，.（）若，求数列的前项和；（
6、）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；（）设，试问在区间上是否存在实数使得.若存在，求出的一切可能的取值及相应的集合；若不存在，试说明理由.北京市西城区2010年抽样测试参考答案 高三数学试卷（理科） 2010.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号12345678答案BACBACDB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 10. 11. ， 12. ，或 13. 14. 注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.14题选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评
7、分标准给分.） ABCD15、解：（）已知，由余弦定理得，解得， 3分由正弦定理，所以. 5分. 7分（）在中，所以， 9分因为，所以， 11分所以，的面积. 13分 16、解：（）设表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”， 由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为， 2分 则. 5分（）依题意，的可能取值为. 6分， 7分， 9分， 10分， 11分所以的分布列为12分. 13分17、（）证明：四棱柱中，又面，所以平面， 2分是正方形，所以，又面，所以平面， 3分所以平面平面，所以平面. 4分（）解：是正方形，因为平面，所以， 如图，以为原点建立空间
8、直角坐标系，. 5分在中，由已知可得，所以，ABCDD1A1B1C1xyz， 6分因为平面，所以平面，又，所以平面，7分所以平面的一个法向量为， 8分设与所成的角为，则， 9分所以直线与平面所成角的正弦值为. 10分（）解：设平面的法向量为，则,所以，令，可得， 12分设二面角的大小为，则. 所以二面角的余弦值为. 13分18、解：（）对求导数，得，故切线的斜率为， 2分由此得切线的方程为 4分令，得. 5分（）由，得. 6分所以符合题意， 7分当时，记，对求导数，得, 8分令，得.当时，的变化情况如下表：所以，函数在上单调递减，在上单调递增，10分从而函数的最小值为. 11分依题意， 12分
9、解得，即的取值范围是. 13分综上，的取值范围是或.19、解：（）设，由得， ， 2分由已知，又，所以 4分所以，即， 5分所以，解得， 6分符合题意， 所以，所求直线的方程为或. 7分（），所以， 8分平方得， 9分又，所以，同理，代入上式，计算得，即，12分所以，解得或， 13分因为，所以异号，故舍去，所以. 14分20、解：（）因为，所以， 1分由，得，所以， 3分因为且，所以， 4分所以 ，是等差数列，所以数列的前项和. 5分（）由已知，假设，成等比数列，其中，且彼此不等， 则， 6分所以，所以，若，则，可得，与矛盾； 7分若，则为非零整数，为无理数，所以为无理数，与是整数矛盾. 9分所以数列中的任意三项都不能构成等比数列. （）设存在实数，使，设，则，且，设，则，所以，因为，且，所以能被整除. 10分（1）当时，因为， ，所以； 11分（2）当时，由于，所以，所以，当且仅当时，能被整除. 12分（3）当时，由于，所以，所以，当且仅当，即时，能被整除. 13分综上，在区间上存在实数，使成立，且当时，；当时，. 14分
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