对坐标的曲面积分(17)课件

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1、对坐标的曲面积分(17)1第五节 对坐标的曲面积分Chapter 11一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分之间的联系对坐标的曲面积分(17)21、有向曲面及曲面元素的投影、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类曲面分类双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和曲面分上侧和下侧下侧曲面分内侧和曲面分内侧和外侧外侧曲面分左侧和曲面分左侧和右侧右侧(单侧曲面的典型单侧曲面的典型) 一、一、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 对坐标的曲面积分(17)3n曲面的分类曲面的分类: :1.1.双侧曲面双侧曲面; ;2.2.单侧

2、曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面对坐标的曲面积分(17)4莫比乌斯带莫比乌斯带典型单侧曲面典型单侧曲面: :播放播放对坐标的曲面积分(17)5其其方向用法向量指向方向用法向量指向方向余弦方向余弦coscoscos 0 为前侧为前侧 0 为右侧为右侧 0 为上侧为上侧 0 为下侧为下侧外侧外侧内侧内侧侧的规定侧的规定 指定了侧的曲面叫指定了侧的曲面叫有向曲面有向曲面, 表示表示 : ),(yxfz xyzoyzxaO对坐标的曲面积分(17)6 设设 为有向曲面为有向曲面,)(yxSSyxS)(其面元其面元在在 xOy 面上的投影记为面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为的面积为则

3、规定则规定,)(yx,)(yx,0时时当当0cos 时当0cos时当0cos类似可规定类似可规定zxyzSS)( ,)( ),(yxfz xyDxyzoxys)( 对坐标的曲面积分(17)72. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体（密度为设稳定流动的不可压缩流体（密度为1）的）的速度场为速度场为求单位时间流过有向曲面求单位时间流过有向曲面 的流量的流量 . S分析分析: (1) 若若 是面积为是面积为S 的的平面平面, 则流量则流量法向量法向量: 流速为流速为常向量常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv对坐标的曲面积分(17

4、)8xyzo 2. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体（密度为设稳定流动的不可压缩流体（密度为1）的）的速度场为速度场为求单位时间流过有向曲面求单位时间流过有向曲面 的流量的流量 . ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv （1 1）分割）分割iS ),(iii ivin则该点流速为则该点流速为(,)(,)(,) ,iiiiiiiiiivPQR （，）法向量为法向量为 . .in)., 2 , 1(niSnviii对坐标的曲面积分(17)9（2 2）. .求和求和 niiiiSnv1iiiiiiiiiniiiiiSRQPcos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyz

5、niiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 （3 3）. .取极限取极限0 .的精确值的精确值取极限得到流量取极限得到流量)., 2 , 1(niSnviii对坐标的曲面积分(17)10设设 为光滑的有向曲面为光滑的有向曲面, 在在 上定义了一个上定义了一个意分割意分割和在局部面元上和在局部面元上任意取点任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分分,yxRxzQzyPdddddd记作记作P, Q, R 叫做叫做被积函数被积函数; 叫做叫做积分曲面积分曲面.yxiiiiSR)(,(或或第二类曲面积分第二类曲面积分.下列极限都存在下列极限都存在向量场向量场

6、xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对若对 的的任任 则称此极限为向量场则称此极限为向量场 A 在有向曲面上在有向曲面上对坐标的曲面积对坐标的曲面积3. 定义：定义：对坐标的曲面积分(17)11引例中引例中, 流过有向曲面流过有向曲面 的流体的流量为的流体的流量为zyPddxzQdd称为称为Q 在有向曲面在有向曲面 上上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为称为R 在有向曲面在有向曲面 上上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为称为P 在有向曲面在有向曲面 上上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd对坐标的曲面积分(

7、17)124、性质、性质: 2121. 1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(. 2对坐标的曲面积分(17)13定理定理: 设光滑曲面设光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上侧取上侧,),(zyxR是是 上的连续函数上的连续函数, 则则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd证证:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上侧取上侧,),(iiiz0

8、limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(二、对坐标的曲面积分的计算法 ),(yxfz xyDxyzoxys)( 对坐标的曲面积分(17)14 若若,),( , ),(:zyDzyzyxx则有则有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若若,),( , ),(:xzDxzxzyy则有则有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后负前正后负)(右正左负右正左负)说明说明: 如果积分曲面如果积分曲面 取下侧取下侧, 则则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzy

9、xdd注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. .对坐标的曲面积分(17)15解解;1:2211yxz ,1:2222yxz xyz2 1 yxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinddrr对坐标的曲面积分(17)16例例2. 计算计算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中其中 是以原点为中心是以原点为中心, 边长为边长为 a 的正立方的正立方体的整个表面的

10、体的整个表面的外侧外侧.解解: 原式原式yxxzdd)( 的顶部的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧取上侧 的底部的底部 ),(:2222aaayxz取下侧取下侧1dd)(yxxzyxDyxxadd)2(yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd3axzyO33a对坐标的曲面积分(17)17上Szzyx2cosdd下Szzyx2cosdd例例3. 设设S 是球面是球面1222zyx的外侧的外侧 , 计算计算SxxzyI2cosdd2解解: 利用利用轮换对称性轮换对称性, 有有Sxxzy2cosdd2SSzyxyxz22cosddcosddSzzyxI2cosdd12220

11、d1cos1r rrr21220d14cos1rr 1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx202d20对坐标的曲面积分(17)18三、两类曲面积分的联系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画对坐标的曲面积分(17)19令令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量

12、形式向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnSSA dnAAnSnAd( A 在在 n 上的投影上的投影)对坐标的曲面积分(17)20例例4. 位于原点电量为位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为的点电荷产生的电场为解解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求求E 通过球面通过球面 : r = R 外侧的电通量外侧的电通量 .SE dSnEdSrrdrrq3对坐标的曲面积分(17)21yxz111例例5. 设设,1:22yxz是其外法线与是其外法线与 z 轴正向轴正向夹成的锐角夹成的锐角, 计算计算.d

13、cos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n对坐标的曲面积分(17)22221cosyxx例例6. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 解解: 利用两类曲面积分的联系利用两类曲面积分的联系, 有有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosOyxz2 原式原式 =)( x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面旋转抛物面)(2221yxz介于平面介于平面 z= 0 及及 z = 2 之间部分的下侧之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx 对坐标的曲面积分(17)23 原式原式 =)( x)(2

14、xzyxzddOyxz2)( xxyxD22241)(yx 原式原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz对坐标的曲面积分(17)24内容小结内容小结定义定义:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系xziiiiSQ),( 对坐标的曲面积分(17)25性质性质:yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系联系:yxRxzQzyPddddd

15、dSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有关的方向有关, 上述联系公式是否矛盾上述联系公式是否矛盾 ?两类曲面积分的定义一个与两类曲面积分的定义一个与 的的方向无关方向无关, 一个与一个与 对坐标的曲面积分(17)262. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分面积分第一类第一类 (对面积对面积)第二类第二类 (对坐标对坐标)二重积分二重积分(1) 统一积分变量统一积分变量代入曲面方程代入曲面方程 (方程不同时分片积分方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影积分元素投影第一类：第一类： 面积投影面积投影第二类：第二类： 有向投影有向投影(4) 确定积分域确定积分域把曲面积分域投影到相

16、关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面 注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化转化对坐标的曲面积分(17)27当当yxDyxyxzz),( , ),(:时，时，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取（上侧取“+”, 下侧取下侧取“ ”)类似可考虑在类似可考虑在 yOz 面及面及 zOx 面上的二重积分转化公面上的二重积分转化公式式 .对坐标的曲面积分(17)28思考与练习思考与练习1. P227 题题2提示提示: 设设,),( ,0:yxDyxz则则 取上侧

17、时取上侧时,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(0 取下侧时取下侧时,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(02. P244 题题 13. P227 题题3(3)对坐标的曲面积分(17)29,),(Czyxf是平面是平面1zyx在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧 , 计算计算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示: 求出求出 的法方向余弦的法方向余弦,转化成第一类曲面积分转化成第一类曲面积分P227 题题3(3). 设设作业作业 P227 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)SzyxId)(31Sd

18、31yxxd3d01103121对坐标的曲面积分(17)30,ddddddzyxyxzxzyI备用题备用题 求求1:222222czbyax取外侧取外侧 .解解:zyxddyxcyxDbyaxdd111,2222yxcyxDbyaxdd111,2222yxcyxDbyaxdd112,2222,sin,cosrbyraxddddrrbayxrrrabcd1d21022021ccba4注意注意号号1:2222,byaxDyx其中其中对坐标的曲面积分(17)31zyxdd21ccba4利用轮换对称性利用轮换对称性xzydd21acba4yxzdd21bcba4222111cbacbaI4对坐标的曲面

19、积分(17)32莫比乌斯带莫比乌斯带典型单侧曲面典型单侧曲面:对坐标的曲面积分(17)33典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)34典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)35典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)36典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)37典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)38典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)39典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)40典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)41典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)42典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)43典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)44典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)45典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)46典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)47典型单侧曲面典型单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带对坐标的曲面积分(17)