概率论与数理统计第2章随机变量及其分布71节课件

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1、预备知识回顾预备知识回顾 二重积分的计算法二重积分的计算法2024/5/191预备知识回顾2023/8/31且在积分区域D上连续时,若D为 X-型区域 则若D为Y-型区域则利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分2024/5/192且在积分区域D上连续时,若D为 X-型区域 则若D为Y说明说明:(1)若积分区域既是 X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则 2024/5/193说明:(1)若积分区域既是 X-型区域又是Y-型例例1.计算其中D 是直线 y1,x2,及yx

2、 所围的闭区域.解法解法1.将D看作X-型区域,则解法解法2.将D看作Y-型区域,则2024/5/194例1.计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所例例2.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 2024/5/195例2.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简例例3.计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X-型域:先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.2024/5/196例3.计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解:由被积函数例例4.4.计算二重积分其中区域D 是

3、由直线 与双曲线 围成的闭区域.解解:Y-型区域，则2024/5/197例4.计算二重积分其中区域D 是由直线 与双曲线 围成的闭区例例5.5.计算二重积分其中D是由直线y=2x,x=2y 和直线x+y=3所围的封闭区域.x=2yy=2xx+y=3解解:由将D看作X-型区域，它由两部分组成:1 22024/5/198例5.计算二重积分其中D是由直线y=2x,x=2y 和直线x例例5(5(续续).).计算二重积分其中D是由直线y=2x,x=2y,和直线x+y=3所围的封闭区域.x=2yy=2xx+y=3解解:积分域D由两部分组成:1 2X-型区域2024/5/199例5(续).计算二重积分其中D

4、是由直线y=2x,x=2y,和第七节第七节 多维随机变量多维随机变量 及其分布及其分布(1)一、二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量2024/5/1910第七节 多维随机变量 在实际问题中，可能遇到多个随机变量的在实际问题中，可能遇到多个随机变量的情形，如：情形，如：1)射击问题中射击问题中,对于弹着点往往需要横坐标和纵坐对于弹着点往往需要横坐标和纵坐标描述标描述;2)研究学龄前儿童的发育情况，观察身高研究学龄前儿童的发育情况，观察身高,体重等体重等;3)具体评价产品的质量具体评价产品的质量,可能有

5、多个评价指标如尺可能有多个评价指标如尺寸寸,外形外形,外包装等外包装等.2024/5/1911 在实际问题中，可能遇到多个随机变量的情形，如：1）定义：）定义：设设 E 是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是=，设设 X=X()和和 Y=Y()是定义在是定义在 上的随机变量。上的随机变量。由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机叫做二维随机向量，或二维随机变量。向量，或二维随机变量。X()Y()一、一、二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数2024/5/19121）定义：X()Y()一、二维随机变量及其分布函注注 意意 事事 项项2024

6、/5/1913注 意 事 项2023/8/3133.3.联合分布函数联合分布函数1）定义定义2）几何意义）几何意义yo(x,y)(X,Y)2024/5/19143.联合分布函数1）定义2）几何意义yo(x,y)(X,3 3）一个重要的公式）一个重要的公式yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)2024/5/19153）一个重要的公式yxox1x2y1y2(X,Y)(x24）分布函数具有以下的基本性质：）分布函数具有以下的基本性质：（1）F(x,y)是变量是变量 x,y 的不减函数，即的不减函数，即对于任意固定的对于任意固定的 y,当当 x1 x2

7、时，时，对于任意固定的对于任意固定的 y,且且对于任意固定的对于任意固定的 x,当当 y1 y2时，时，对于任意固定的对于任意固定的 x,2024/5/19164）分布函数具有以下的基本性质：（1）F(x,y)是（3 3）F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即即 F(x,y)关于关于 x 右连续，关于右连续，关于 y 也右连续也右连续.yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)说明：任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；说明：任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数

8、具有更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数。这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数。2024/5/1917（3）F(x,y)=F(x+0,y),定义定义 若若X,Y均均为离散随机变量，则为离散随机变量，则(X,Y)为为二维离散随机变量二维离散随机变量,且且二、二维离散随机变量1.二维离散随机变量的联合概率分布二维离散随机变量的联合概率分布2024/5/1918 定义 若X,Y均为离散随机变量，则(X,Y)为二XY其中其中2024/5/1919XY其中2023/8/319设随机变量设随机变量X在在1,2,3,41,2,

9、3,4四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取试求（试求（X,Y）的联合概率分布。）的联合概率分布。例例1一个值，随机变量一个值，随机变量Y在在1-X中等可能地取一整数值，中等可能地取一整数值，解：解：由乘法公式易得（由乘法公式易得（X,Y）的联合概率分布。）的联合概率分布。即即Y X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/162024/5/1920设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取试求（X,设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下）的联合概率分布如下例例2X Y0123010/506/504/501/5

10、019/5010/503/50025/502/5000解：解：2024/5/1921设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下例2X Y0三、二维连续随机变量1.二维连续随机变量二维连续随机变量 定义定义 设设X,Y均均为连续随机变量，为连续随机变量，2024/5/1922三、二维连续随机变量1.二维连续随机变量 定义 设X,联合概率密度联合概率密度的的性质：性质：设设 G 是平面上的一个区域，点是平面上的一个区域，点(X,Y)落在落在 G 内内 的概率为：的概率为：这个公式非常重要！这个公式非常重要！2024/5/1923 联合概率密度的性质：设 G 是平面上的一例例3(1)求求F(x,y)

11、;1D1O xy(2)求求(X,Y)落在区域落在区域D内的概率内的概率,区域区域D如图如图所示所示.2024/5/1924例3(1)求F(x,y);1D1O xy(2)求(X,Y解解(1)2024/5/1925解(1)2023/8/325(2)1D10 xy2024/5/1926(2)1D10 xy2023/8/326例例 42024/5/1927例 42023/8/3272024/5/19282023/8/3282024/5/19292023/8/3292024/5/19302023/8/330 x+y=12024/5/1931x+y=12023/8/331小结：小结：1 1 二维离散型随机

12、变量的联合分布率的二维离散型随机变量的联合分布率的定义及性质定义及性质。2 2 联合分布函数的联合分布函数的定义及性质定义及性质。3 3 二维连续型随机变量的联合概率密度的二维连续型随机变量的联合概率密度的定义及性定义及性 质，质，特别是特别是 4 4 二维均匀分布和二维正态分布。二维均匀分布和二维正态分布。2024/5/1932小结：4 二维均匀分布和二维正态分布。2023/8/3321.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数2.二维离散随机变量的联合概率分布及分布函数二维离散随机变量的联合概率分布及分布函数3.二维连续随机变量的联合概率密度和二维连续随机变量的联合概率密度和分布函数分

13、布函数内容小结内容小结2024/5/19331.二维随机变量的分布函数2.二维离散随机变量的联合习题二习题二(P64)(P64)：16,17,1816,17,18作业作业2024/5/1934习题二(P64)：16,17,18作业2023/8/33思考题2024/5/1935思考题2023/8/335备用题备用题1.解解解解2024/5/1936备用题1.解2023/8/336XY0 1 2 31300002024/5/1937XY0 1 2 31302.解解2024/5/19382.解2023/8/3382024/5/19392023/8/3392024/5/19402023/8/3403.

14、3.设随机事件设随机事件A,B满足满足求求(X,Y)的分布列的分布列.解解2024/5/19413.设随机事件A,B满足求(X,Y)的分布列.解2023/8所以所以(X,Y)的联合分布列为的联合分布列为2024/5/1942所以(X,Y)的联合分布列为2023/8/342所以所以(X,Y)的联合分布列为的联合分布列为2024/5/1943所以(X,Y)的联合分布列为2023/8/3434.4.在长为在长为a的线段的中点的两边随机地各取的线段的中点的两边随机地各取独立，它们的联合密度函数为独立，它们的联合密度函数为Y为线段中点右边所取点到端点为线段中点右边所取点到端点0的距离，的距离，一点，求两

15、点间的距离小于一点，求两点间的距离小于a/3的概率的概率.记记X为线段中点左边所取点到端点为线段中点左边所取点到端点0的距离，的距离，解解OxaXY2024/5/19444.在长为a的线段的中点的两边随机地各取独立，它们的联合密度图图2.2的阴影部分，因此，所求概率为的阴影部分，因此，所求概率为xyO图图2-22024/5/1945图2.2的阴影部分，因此，所求概率为xyO图2-22023/5.5.设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为解解故故 k=1/8.2024/5/19465.设随机变量(X,Y)的概率密度为解故 k=1/8.2xyO12234x+y=4图图2-42024/5/1947xyO12234x+y=4图2-42023/8/3476.6.设随机变量设随机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为解解(1)由联合密度的性质知由联合密度的性质知2024/5/19486.设随机变量(X,Y)的联合密度为解(1)由联合密度的性质(2)求求(X,Y)落在区域落在区域D内的概率，使用公式内的概率，使用公式2024/5/1949(2)求(X,Y)落在区域D内的概率，使用公式2023/8/于是有于是有2024/5/1950于是有2023/8/350