GD6371轻型客车设计
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机电工程学院毕业设计方案论证报告设计题目: GD6371轻型客车设计总体设计 学生姓名: 欧艳伟 学 号: 201115910520 专业班级: 车辆工程1102 指导教师: 杨宗田 2015年 04月 05日目次1 我国汽车工业现状和发展的趋势12 汽车总体设计分析23 汽车形式论证选择33.1 轴数和驱动形式33.2 布置形式44 商用车主要参数选择64.1尺寸参数64.2 商用车质量参数选择65 商用车发动机选择76 汽车轮胎选择8论证结果9参考资料101.我国汽车工业现状和发展的趋势 综观我国汽车工业现,展望我国汽车工业的未来,风险与机遇并存。 改革开放以来,特别是近几年我国汽车工业发展势头强劲。据中国汽车工业协会统计,去年1至7月,汽车全行业完成工业总产值3723.82亿元,同比增长29.44:产品销售收入3598.88亿元,同比增长31.05:利润总额221.90亿元,同比增长51.14。主要经济指标增长都比较大,实现了增产增收。汽车产业作为国民经济支柱产业的地位越来越突出。去年交通运输设备制造业对工业增长的贡献率首次跃升至40个工业行业之首。以汽车制造业为主的交通运输设备制造业已取代电子信息通信业,成为名副其实的领头羊。 随着市场需求的不断扩大,我国汽车工业的发展潜力也非常之大。据有关部门分析,近几年我国汽车消费市场的消费结构已发生了很大变化。载货汽车的需求量仍将持续增长,特别是次发达地区,如西部地区对中重型货车、多种专用汽车、矿用车和大中型客车的需求将明显增加。农村汽车市场对轻、微型客货车需求也会有较大增长。随着国家有关鼓励私人购车政策的出台,预计个人购车比例将逐年快速增长。特别是轿车、客车,尤其是微型客车的需求量会有较大增长,市场份额将进一步提高。为此,国家将积极发展售价八万元左右的经济型轿车,以满足中国家庭的需要。此外,国家还将大力推进发展汽车工业的相关环境:至2005年,中国公路里程将增加至160万公里,其中高速公路2.5万公里。各地还将加大发展城市基础设施建设,增加停车场地等交通配套设施。所有这些,都无疑会大大促进我国汽车工业的发展。 汽车工业发展形势喜人,但同时也面临着巨大的风险和挑战。特别是“入世”以后,国门完全打开,我国的轿车产业与国外发达国家的汽车企业处于同一个大市场,将不可避免地面临激烈的竞争与挑战。我们现在的主要问题是:缺乏完整的轿车开发能力和自主的品牌,零部件制造体系相对薄弱,汽车产业的管理和服务体系仍十分落后,企业规模还难以与国外大公司抗衡。所有这些问题必须认真面对。 打通国际大市场,也给中国汽车工业的发展带来了新的机遇,使我们可以有机会在与强手的合作与竞争中学习他们先进的技术、先进的管理和服务经验,不断完善自己。同时也逼迫我们把自己做大做强。为了应对国际汽车市场的激烈竞争,国家将致力于汽车工业的战略重组,优化资源配置,培育出两到三家主业突出,核心能力强、拥有自主知识产权、具有较强国际竞争力的大型企业集团。同时,我们还可以充分利用“入世”后对幼稚工业的“保护期”进一步加大力度,开放市场,加强对汽车产业的管理,努力降低成本,提高竞争力:抓紧清理减少不合理税费,鼓励百姓的汽车消费。预计6年内我国轿车价格可与国际初步接轨,10年内可完全接轨。只要我们自强不息,艰苦奋斗,中国汽车工业的发展前景还是十分乐观的。 有关人士预测,未来,我国汽车工业将呈现六大发展趋势。 一、国有汽车生产企业将由市场”领导者”转变为市场追随者 二、汽车生产将由大批量方式转变为大众生产方式。 三、汽车企业将由整体性购并转变为局部性购并 4、 人力资源将由国内单一配置转为全球流动配置。五、汽车产品将由价格竞争转变为综合素质的竞争。六、汽车消费由集团消费转化为个人消费。 2.汽车总体设计分析汽车可以根据用途或结构特点进行分类。我国把汽车分为七类:轿车、货车、越野车、自卸汽车、牵引汽车、专用汽车和客车。上述七类汽车又根据发动机的排量V或汽车总质量m a或汽车尺寸(总长)不同进一步区分,如不同发动机排量的轿车,表明汽车的动力性和经济性指标不一样。我国根据发动机排量不同,将轿车分为五级(表2-1);货车按公路运行时厂定最大总质量不同,越野车按越野运行时厂定最大总质量不同,将它们分为四级(表2-2);而客车根据车辆总长不同来区分(表2-3)。表2-1 轿车分类轿车级别微型普通级中级中、高级高级发动机排量 VL V10 10 V1616 V252540表2-2 货车分类 货车级别 微型 轻型 中型 重型 公路运行 最大总质量m。m。1818m。6060140表2-3 客车分类 客车级别 微型 轻型 中型 大型 车辆总长L。L。3535 L。7070100 人们从事生产活动离汽车。在日常生活中,汽车特别是轿车是经常使用的交通工具。汽车工业出现的高新技术多数在轿车上首先得到应用。目前,轿车的产量、保有量占汽车总产量和保有量的绝对多数。一方面,拥有轿车是标志人们生活水平的提高;另一方面,大量运行着的汽车所造成所造成的公害又降低了人们的生活质量。因此,人们对汽车提出越来越高的要求,包括研制节油汽车和开发应用新能源;有关法规对汽车的排放和噪声提出更严格的要求;对汽车安全性提出更高的要求,达到乘坐汽车有安全感、愉快感,汽车发生碰撞事故时能够妥善地保护乘员;对汽车提出居住性要求,不仅坐在汽车里舒适,而且能与外界进行信息交流。进行总体设计应满足如下基本要求:1)汽车外廓尺寸应符合GBl58989的外廓尺寸限界规定。2)轴荷分布要合理,并应符合有关公路法规的限定要求。3)汽车的各项性能,要求达到设计任务书所给定的指标。4)进行有关运动学方面的校核,保证汽车有正确的运动和避免运动干涉。5)拆装与维修方便。车型不同、生产纲领不同,新产品的开发阶段与工作内容也不同。一般新产品开发要经历五个阶段,各阶段的主要工作内容见表2-4。表2-4 产品开发过程 阶段新车设计 主要工作内容 设 计 任 务 书 编 制 阶 段 国家汽车发展型谱或上级机关指令工厂产品发展规划概念设计市场预测,使用调查,产品水平分析,形体设计,工艺分析,产品的目标成本 产品的通用化、标准化、系列化,绘制方案图,初步性能计算设计任务书的制定 绘制总布置草图,初选主要技术参数技术设计阶段技术设计确定主要参数和结构,总成设计,绘制整车校对图,运动干涉校核,整车性能计算,出试制图和技术文件试制、试验、改进、定型阶段改进设计 试制总成和样车,总成试验,整车试验,使用试验,评价试验,改进没计鉴定定型 工艺审查,成本核算,价值分析,出生产准备用图,编制鉴定文件生产准备阶段 小批量生产、用户试验 工艺调试,继续试验,改进设计,完成生产用图,小批试生产生产销售阶段批量生产与销售正式销售,售后服务3. 汽车形式论证选择 3.1 轴数和驱动形式 不同类型汽车有不同轴数和驱动型式,主要根据使用条件、用途、产条件、制造成本及公路条件等因素进行选择。 最常用的是42前驱动式结构。一般乘用车都采用42前驱动的布置型式,因为这种汽车结构简单、布置合理、机动性好、成本低、适合于公路使用,是种典型的、成熟的结构型式。采用增加轴数的办法,可以提高载重量而不增加单轴负荷,同时还不会增加车箱底板的离地高度,提高通用化、系列化水平,便于生产、降低生产成本等。所以汽车厂家多年来一直都采用这种办法变型出更多品种的汽车。本次设计汽车最大总质量为1.35t,故选择两轴、42前驱动形式。 3.2 布置形式乘用车的布置形式主要有发动机前置前轮驱动(FF)、发动机前置后轮驱动(FR)、发动机后置后轮驱动(RR),中置后驱(MR)等。 FF型FF型布置形式在发动机排量为2.5L以下的乘用车得到广应用,主要优点:1)省略传动轴装置,减轻车重,结构比较紧凑;2)有效地利用了发动机室空间,驾驶室内空间较为宽敞,并有利于降低地板高度,提高乘坐舒适性;3)发动机靠近驱动轮,动力传递效率高,燃油经济性好;4)发动机等总成前置,增加前轴的负荷,提高了轿车高速行驶时的操纵稳定性和制动时的方向稳定性;5)简化了后悬架系统;6)在积雪或易滑路面上行驶时,靠前轮牵拉车身,有利于保证方向稳定性;7)汽车散热器布置在汽车前部,散热条件好,发动机可得到足够的冷却;8)行李箱布置在汽车后部,所以有足够大的行李箱空间等。图3-1 汽车前置前驱布置缺点:1)启动、加速或爬坡时,前轮负荷减少,导致牵引力下降;2)前桥既是转向桥,又是驱动桥,结构及工艺复杂,制造成本高、维修保养困难。3)前桥负荷较后轴重,并且前轮又是转向轮,故前轮工作条件恶劣,轮胎寿命短。4)前轮驱动并转向需要等速万向节,其机构和制造工艺较为复杂。5)一旦发生正面碰撞事故,因其发动机及其附件损失较大,维修费用高等。 FR型FR型布置的优点;1)在拼合良好的路面上启动、加速或爬坡时,驱动轮的负荷增大(即驱动轮的附着压力增大),其牵引性能比前置前驱型式优越;2)轴荷分配比较均匀,因而具有良好的操纵稳定性和行驶平顺性,并有利于延长轮胎的使用寿命;3)发动机、离合器和变速器等总成临近驾驶室,简化了操纵机构的布置;4)转向轮是从动轮,转向机构结构简单、便于维修等。 缺点:1)由于采用传动轴装置,不仅增加车重,还影响乘坐的舒适性;同时降低动力传动系的传动效率,影响了燃油经济性和动力性;2)纵置发动机、变速器和传动轴等总成的布置,使驾驶室空间减小,影响乘坐舒适性;同时,地板高度的降低也受到限制;汽车正面发生碰撞时,易导致发动机进入车厢,会对前排驾驶员造成伤害。3)在雪地或易滑路面上启动加速时,后轮推动车身,易发生摆尾现象等。图3-2 汽车前置后驱布置中置后驱(MR)布置优点:1)极为优异的转向特性。在转向时,一转动方向盘,汽车很快就跟着转向,二者间的时间差非常短,车身紧随转向动作的性能特别好。2)起步和加速性能较好。因为当起步或减速时,整车的重量向后移动,从而增加了后轮对地面的附着力,驱动力再大也很难使轮胎打滑。缺点:1)于是中置发动机,发动机和传动机构都集中地布置在汽车中部。在其它的驱动方式中,汽车中部都是乘客使用的空间,因而,这种汽车的高性能代价极大,严重地影响了车身空间的利用,使其车内空间狭小,实用性较差,一般只布置两个座椅。2)由于发动机布置在驾乘人员的身后,因此发动机的声音也听得较为清晰。几种布置形式相比,考虑到车型为轻型客车,参考常见相同车型,选择中置后驱形式,有点:轴荷分配合理,有利于提高轮胎的使用寿命;前轮不驱动,因而不用等速万向节,降低了成本;上坡时驱动轮附着力大,故爬坡能力强;变速器与主减速器分开,拆装和维修方便;并且乘坐空间宽敞,行驶平稳。4 商用车主要参数选择汽车主要参数包括尺寸参数、质量参数和汽车性能参数。 4.1尺寸参数GB 15891989汽车外廓尺寸界限规定:货车、整体式客车部长不应该超过12m,单铰接工客车不超过18m,半挂汽车列车不应超过16.5m,全挂汽车不应该超过20m;在不包括后视镜的情况下,汽车宽不应超过2.5m;在空载、顶窗关闭状态下,汽车高不应该超过4m;后视镜等单侧外伸量不得超过最大宽度处250mm;顶窗、换气装置开启时不得超出车高300mm。轴距的选择须考虑其他很多因素。轴距短,相应汽车总长、质量、最小转弯半径及纵向通过半径就会小一些。但轴距过短会产生车厢长度不够或后悬太长、汽车行驶状态中纵向角振动过大、汽车制动性和操纵稳定性变坏、万向节传动夹角过大等问题。因此,在选择轴距时应综合考虑多方面因素的影响。当然,在满足所设计汽车的车厢尺寸、主要性能和整体布置等要求的前提下,应将轴距设计得短一些。汽车轮距对汽车总宽、总质量、机动性和横向稳定性都有较大影响。轮距越大,则悬架的角刚度就会越大,汽车的横向稳定性也就越好,车厢内横向空间也越大。但轮距也不能设计得过大,否则,会增大汽车的总宽和总质量。 前悬和后悬对汽车的通过性、安全性等有很大影响。初选前悬的尺寸应该在保证布置下个总成前提下,尽可能小;后悬则根据所涉及车型要求,是担当选取。 故参照长安之星参数,选取此商用车尺寸,长*宽*高为372515601895(mm),轴距为2350mm,前轮距1280mm,后轮距1290mm。 4.2 商用车质量参数选择本车质量参数在汽车设计总体设计任务书中已给出,如表4-1:表4-1 总体设计基本参数汽车整备质量Kg最大总质量Kg最高车速Km/h人均整备质量值t/人90013501150.15 轴荷分配对汽车轮胎使用寿命和使用性能有很大影响。考虑轮胎面磨损均匀和寿命相近,各车轮负荷应相差不大;为了使汽车有良好的动力性和通过性,驱动桥应当有足够大的负荷,从动轴上负荷可适当减少;为使汽车有良好的操纵稳定性,转向轴负荷不应过于小。这就要求设计时要,充分考虑整车的性能要求、使用条件,合理选取轴荷分配。汽车的性能参数由设计计算后得出。5 商用车发动机选择现在汽车上使用的发动机主要以往复式内燃机为主。它包括汽油机和柴油机两种。汽油机的优点:噪声小、转速高、体积小、易启动、转矩适应性好等;缺点是:排污大、功率小。柴油机优点是:功率大、排污小、寿命长等;缺点是:工作粗暴、噪声大、体积大。汽油机主要用于轻型车和轿车,柴油机主要用于货车、大型客车。随着发动机技术的进步,轻型车和轿车使用柴油机有日益增多。 按汽缸排列形式有直列式、水平式和v型式。直列式结构简单、宽度窄、布置方便。但当发动机的缸数多时,在汽车上布置困难,且高度尺寸大,适用于6缸以下的发动机;水平式平衡性好,高度低,在少量大客车上得到应用;V型曲轴风度高,尺寸小,发动机系列多,但造价高,主要用于中、高轿车以及重型货车上。按冷却形式分为风冷和水冷两种。风冷结构简单、维修方便、适应性好。但冷却不均匀、噪声大、耗功大。主要用于摩托车。水冷冷却均匀可靠、散热好、噪声小。能提供车内供暖、较好适应发动机增压后散热的需要。缺点是冷却系结构复杂。使用与维修不方便。冷却性能爱环境温度影响较大,夏季冷却水容易过热,冬季又容易过冷,并且在室外存放,水结冰后能冻坏气缸缸体和散热器。发动机主要指标的选择:发动机功率越大则汽车的动力性越好,但功率太大会使发动机功率利用率下降,同时燃料经济性下降,动力传动系的质量也要加大。因此,应合理地选择发动机功率。用正式估算发动机的最大功率:式中:发动机最大功率,kW; 传动系的传动效率,对单级主减速器驱动桥的4 2式汽车取0.9;汽车总质量,kg;重力加速度,ms2;滚动阻力系数,对载货汽车取0.02,对矿用自卸汽车取0.03,对轿车等高速车辆需考虑车速影响并取0.0165+0.0001(Va-50);最高车速,kmh;空气阻力系数,轿车取0.40.6,客车取0.60.7,货车取0.81.0汽车正面投影面积,若无测量数据,可按前轮距B1、汽车总高H、汽车总宽B等尺寸近似计算: 对轿车 A0.78BH, 用下式确定: 最大转矩(Nm); 转矩适应性系数,一般在1.11.3之间选取;发动机最大功率(kw);最大功率转速(r/min)。通过计算,本车发动机选为JL465Q5。6 汽车轮胎选择 轮胎及车轮对汽车的承载能力有着重要影响,其中包括动力性、通过性、经济性、制动性、操纵稳定性及汽车的承载能力和行驶安全性。因此,轮胎的选择也成为极关重要的工作。 轮胎及车轮部件应当满足以下基本要求:足够的负荷能力与速度能力;良好的均匀性与质量平衡性;较小的滚动阻力与行驶哭声;耐磨损、耐老化和良好的气密性;质量小、价格低、拆装方便、互换性优良。按结构分类:子午线轮胎、斜交轮胎。子午线轮胎与斜交胎的比较:子午线轮胎的特点是滚动阻力小、温升低、胎体缓冲性能和胎面附着性能好,装车后油耗低、寿命长、高速性能优良,因此,适应现代汽车对安全、高速、低能耗的发展要求,是汽车设计时首选轮胎。但其制造困难,造价较斜交轮胎高且不易翻修等。综合考虑,该车选用子午线轮胎,155/R13 LT。图6-1 子午线胎构造图6-2 斜交胎构造论证结果根据本次设计目标与要求,所设计车型为GD6371,采用4x2发动机中置后驱布置形式,汽车尺寸长*宽*高为370015551850(mm),轴距为2500mm,前轮距1280mm,后轮距1290mm,发动机为JL465Q5,轮胎为155/R13 LT。参考资料1 王望予汽车设计 M第4版北京:机械工业出版社,2004.82 刘惟信汽车设计 M第1版北京:清华大学出版社,2001.73(美)诺顿(Norton,R.L). 机械设计:机器和机构综合与分析. 英文版,第二版 . 北京:机械工业出版社,2003.24 陈家瑞汽车构造(上册) M第2版北京:机械工业出版社,2005.15 陈家瑞汽车构造(下册) M第2版北京:机械工业出版社,2005.16 汽车工程手册编辑委员会汽车工程手册基础篇M北京:人民交通出版社,2001.67 汽车工程手册编辑委员会汽车工程手册设计篇M北京:人民交通出版社,2001.68 黄天泽、黄金陵汽车车身结构与设计 M北京:机械工业出版社,1992.109 余志生汽车理论 . 第三版 . 北京:机械工业出版社,2000.1010 隗金文、王慧液压传动 M沈阳:东北大学出版社,2001.1211 陈贤康液压传动基础 M北京:中国农业机械出版社,1984.1212 张红伟.汽车底盘结构与维修西安:西安电子科技大学出版社,2007.0413 唐新蓬汽车总体设计北京:高等教育出版社,2010.0414 蔡兴旺汽车构造与原理北京:机械工业出版社,2010.0115 马才伏汽车底盘构造北京:北京大学出版社,2009.0816 中国汽车工业协会中国汽车工业年鉴20142014.109机电工程学院毕业设计任务书题 目: GD6371轻型客车设计-总体设计 学生姓名: 欧艳伟 学 号: 201115910520 专业班级: 车辆工程1102 指导教师: 杨宗田 2015年3月10日毕业设计任务书1本毕业设计课题应达到的目的:本题目着重培养学生分析问题、解决问题的能力,学生在掌握汽车结构基本知识和总体设计计算的基础上,完成GD6371型汽车的总体设计任务,具体设计参数参考CA6350、长安之星汽车,使其达到本科学生应具备的技术能力水平。通过调查研究、检索与阅读中外文献资料、方案论证,计算机运用、查阅标准和手册、实验研究、整体布置和设计、编写设计说明书等诸环节,考察学生综合运用所学专业知识的能力,提高独立分析和解决工程实际问题的能力,提高机械设计、设计计算和计算机应用能力。2毕业设计任务的内容和要求(包括原始数据、技术要求、工作要求等):设计任务:汽车整备质量Kg最大总质量Kg最高车速Km/h人均整备质量值t/人90013501150.15完成轻型客车的总体及方案设计,绘制轻型客车外型图,底盘总布置图等,绘制总和不少于4张零号图纸的结构设计图、装配图和零件图.设计内容:(1)查阅相关资料,完成毕业设计方案论证报告(2)结合设计内容,完成外文文献翻译(3)工作计划(4)按照设计要求进行计算分析、结构设计(5)完成设计说明书的撰写(6)完成毕业设计的文档整理3对毕业设计成果的要求包括毕业设计、图表、实物样品等:(1)方案论证报告,不少于3000字;(2)外文文献翻译一份,译文字数在3000汉字以上;(3)设计计算说明书,不少于5000字;(4)图纸工作量不少于4张A0图纸。4主要参考资料:1王望予汽车设计 M第4版北京:机械工业出版社,2004.82刘惟信汽车设计 M第1版北京:清华大学出版社,2001.73(美)诺顿(Norton,R.L) . 机械设计:机器和机构综合与分析. 英文版,第二版 . 北京:机械工业出版社,2003.24陈家瑞汽车构造 (上册)M第2版北京:机械工业出版社,2005.15陈家瑞汽车构造 (下册)M第2版北京:机械工业出版社,2005.16汽车工程手册编辑委员会汽车工程手册基础篇M北京:人民交通出版社,2001.67汽车工程手册编辑委员会汽车工程手册设计篇M北京:人民交通出版社,2001.68黄天泽、黄金陵汽车车身结构与设计 M北京:机械工业出版社,1992.109余志生汽车理论 . 第三版 . 北京:机械工业出版社,2000.1010隗金文、王慧液压传动 M沈阳:东北大学出版社,2001.1211陈贤康液压传动基础 M北京:中国农业机械出版社,1984.1212其他相关资料毕业设计任务书5毕业设计工作进度计划:起 迄 日 期工 作 内 容 3月9日3月13日下发毕业论文任务书、布置工作任务 1月25日3月10日布置完成毕业设计方案论证报告 3月11日3月18日布置完成英文翻译文献 3月19日3月24日提出毕业设计的主要工作及完成要点 3月25日4月10日分析、整理数据资料 4月11日4月30日进行方案确定和初步设计分析、设计说明书初稿的撰写 5月1日5月10日中期检查 3月11日5月10日进行方案设计及结构图绘制、完成设计说明书初稿 5月11日5月20日检查毕业设计说明书完成情况,提出补充、修改任务 5月21日5月25日补充、修改工作,完成毕业设计正式图纸,及文档正式稿 5月26日5月31日对最终正式论文及资料审核、准备答辩 6月1日6月10日毕业答辩系审查意见:负责人: 年 月 日院学术委员会意见:负责人: 年 月 日3机电工程学院毕业设计外文资料翻译设计题目: GD6371轻型客车设计-总体设计 译文题目: 基于加权轮/轨缝的最佳车轮外形设计 学生姓名: 欧艳伟 学 号: 201115910520 专业班级: 车辆工程1102 指导教师: 杨宗田 正文:外文资料译文 附 件:外文资料原文 指导教师评语: 签名: 年 月 日正文:外文资料译文文章出处:WEAR期刊271(2011)218-226基于加权轮/轨缝的最佳车轮外形设计崔达斌,李丽,金雪松,李霞文摘 提出了基于加权的正常间隙,车轮和轨道之间的接触点在了火车车轮轮廓的直接优化方法。以轮轨对应,车轮LMA和中国铁路轨道chn60为例,新的优化方法用于提高车轮LMA的轮廓。车辆-轨道耦合动力学理论也被用来研究车辆的动态行为改进的分布影响,同时用滚动接触理论分析轮轨接触状态下优化轮廓线的影响。数据结果表明,LMA改进轮具有优良的弯曲行为。实验发现,与之前相同优化情况的LMA相比,用这种方法提高剖面的LMA在轨道chn60有良好的共形接触,车轮和钢轨的接触点车轨和轨道上的分布是比较均匀的和广泛的。对轮的纵断面优化后,当车辆行驶在直线轨道时,车辆对轮轨的最大正压力大大降低,以及不牺牲轮轨动态特性时的轮轨磨耗指数大大降低。1. 介绍 轮/轨(W / R)的相互作用在铁路车辆与轨道的动态行中发挥着非常重要的作用,例如,铁路车辆狩猎的临界转速,平稳舒适运行,曲线通过能力,轮轨接触应力水平,滚动接触疲劳和磨损。其中,轮廓在轮轨接触区已引起众多研究者的关注。 到目前为止,不同的轮廓设计方法,车轮和钢轨之间都已经得到良好的匹配。早期的车轮轮廓的设计方法主要是根据铁路运营商的经验。在过去的几十年中,越来越多的人更乐意使用数学模型和数值技术对轮廓进行优化,进而提高铁路车辆的动态性能。海勒和劳尔便是通过优化车轮轮廓来改善车辆的动态性能。吴提出了一种车轮轮廓的设计理念,系统地评估了车轮和钢轨在车辆的特性和操作条件方面的兼容性。张等人利用一个基于部分钢轨伸缩的改进方法(它最初是由吴开发),修改了中国的LMA 轮配置资料。修正轮可以与60kg/m 钢轨理想整合接触(chn60)。这种介于W和R之间的共形接触的形成可以有效地减少它们之间的接触应力。佩尔森、iwnicki 和后来的诺瓦莱斯等人,根据遗传算法提出了一种可以直接优化程序设计铁路车辆车轮剖面的方法。沈等人,利用所谓的“反向设计”开发了一种面向对象的方法,用于设计铁路车轮踏面和钢轨。舍夫斯托夫等人,提出了一种基于滚动圆半径差的数值优化技术(RRD)对车轮轮廓进行设计,这种该方法采用基于响应面拟合来设计一个最佳的车轮轮廓与目标点的RRD相契合。后来,舍夫斯托夫等使用相同的理念设计车轮轮廓的轮轨滚动接触疲劳和磨损。Hamid Jahed等人提出类似的方法中,RRD也可用于火车车轮轮廓的设计。 回顾近几年对车轮踏面的优化,其研究方向主要集中在逆的方法上了,在目标曲线给定的情况下,这种方法是非常有效的。然而,根据设计师经验,获得目标函数是一个需要花费很多时间的工作。在本文中,与上述的反演方法相比,根据W/R在接触点之间正常间隙的常规,提出了改善轮轨系统的动态接触行的直接解法。以轮罩使用本方法得到的改进的轮廓的剖面为例,证明了此方法的优点。 图1 车轮踏面优化区域 图2 车轮与轨道之间的正常间隙2. 优化设计方法 正常间隙(或间隙)在接触区域的W / R是评价W / R型材兼容的一个重要因素。小间隙可以在提高W / R整合接触的情况下,增加接触面积(接触片)和减少接触应力水平。轮轨滚动接触疲劳(RCF)在一定的负荷情况下,与其接触面的大小有关。W/R的产生和裂纹增长取决于轮轨接触应力/应变在接触面上的分布。 本文的研究目旨在提出一个LMA型车轮的直接数值优化设计方法,优化后的车轮与轨道的LMA chn60滚动接触有尽可能小的间隙。这种优化可以降低轮对动态行为无丧失影响情况下W/R之间的接触应力水平。2.1.数学建模 如图1所示,车轮踏面LMA从A到B之间的区域作为优化区域。在如图所示的英国-奈特系统中,起点A设置在轮缘的最大接触角所在点处,结束点B在直线上,其横坐标为30mm。曲线上的点A和B,分别为 (2) (3) 在胎面上移动的点(节点)(hi,vi),可以将胎面从A到B设置为n + 1段(i1,2,N)。Hi、vi分别为移动点的纵向坐标和横向坐标。最终,可以通过拟合这些点的三次函数得到胎面。(2)和(3)作为这样一个拟合的边界条件。 为了简化建模,每个移动节点在横坐标hi(i = 1,2,n)为一常数,移动节点的纵坐标V1,V2,则是不同的,V1,V2,Vn)为优化设计的变量。车轮踏面外形表示为f(V1,V2,Vn)。2.1.1 目标函数 W/R的正常间隙定义为平均间隙值在接触点CJ的一个特定的区域,如图2所示。轮对中心横向位移为YJ,差距DJ功能定义为 (4)其中,dji是第i个点的正常间隙,M是接触点CJ区域离散点数目。区域的边界是由C1和C2在图2中确定的。接触点的坐标CJ是由给定的W / R尺寸的轮对横向位移YJ确定。DJI是W/R给定的车轮轮廓函数f(V1,V2,VN)定义的.因此,从式(4)可知,在接触点Cj处该间隙函数Dj可以表示为Dj=Dj(yj,v1,v2,,vn)。 结合chn60轨道接触LMA剖面为例,轮对的横向位移在整个地区的间隙函数计算结果,如图3所示。应当指出的是,曲线的较大的值对应于较大的接触电脑间隙,这种情况意味着接触斑面积越小,轴载荷条件下接触应力水平越高。为了提高车轮和chn60共形接触状态,间隙值曲线应该尽可能小。利用求曲线下梯形面积的方法,可归结为 (5),K是W/R曲线上点的数量,如图3所示。从公式(5)可以得出,K是点的W / R间隙曲线数如图3所示。从公式(5)可以明显的看出,不同接触点处的Dj的差异对S有不同的影响。S越小,与W / R形接触程度越高,相应的降低轮轨接触应力水平。因此,我们希望W /R曲线中的Dj或S尽可能的小。图3 间隙函数W/R与轮对的横向位移 值得注意的是,不同的车辆/轨道运行条件,例如轨底坡,轨距,曲线超高及列车速度,导致轮轨之间不同的接触情况,如接触点的位置,接触点的分布与接触区宽度。接触点的分布表明,接触点位于车轮踏面的横向方向上。不同的加权系数被应用于控制 Di对S的影响,从而获得尽可能小的S值。根据经验,车轮的直线轨道运行上的加权因子应大于曲线轨道的。考虑到Dide 加权,方程(5)变为 (6) 在wj是轮对yj侧向位移的加权因子,其对应于接触点J加权因子可以这样确定:当车辆沿着直线或曲线轨道运行时计算轮对的横向位移,模拟车辆-轨道耦合动力学模型,找到与实际的侧向位移相近似的约束,使用较大的加权因子来确定横向位移yj的范围。 由于参数yj是在计算过程中得到,函数公式(6)也可以表示为 (7)公式(7)作为目标函数来找到最佳的车轮轮廓。2.1.2 设计约束 在优化过程中,最大法兰角应满足车辆运行安全、轮缘厚度、踏面宽度和高度等尺寸的设计要求。值得注意的是,真正的车轮踏面具有单调的斜坡,但基于三次样条函数的方法不能保证所设计的轮廓具有单调性,它可能产生波纹面。为了避免这个问题出现,在优化设计中使用用约束方程 (8)同时,下部和上部的设计边界变量vi,由式(8)给出 i=1,2,.n (9)在式(8),Gi是在第i个设计变量节点位置约束方程。在式(9),ai和bi分别为下边界和上边界。ai和bi的值选择为接近初始值,以确保尽可能高的计算速度和尽可能快的方案解决收敛速度。2.2 优化算法在这一部分中,一种改进的优化算法采用与改进的SQP(序列二次规划)相结合的方法,拟牛顿法和BFGS方法。该算法的基本思想是利用SQP方法和拟牛顿法更新迭代找到最优的搜索方向和步长的信息,从而提高计算效率。根据公式(7)(9),优化问题可以描述为 (10)方程(10)可以转换为基于拉格朗日函数的二次近似二次规划问题。二次规划问题的子问题的函数写为 (11)是拉格朗日系数,V=(v1,v2,.,vn)是设计的载体,是可变的。二次规划子问题可以通过线性化得到非线性约束。一种新的循环公式,利用子问题的解决方案构成 (12)这里是步骤参数;是在第k步循环问题的解,是第k步循环的设计变量的求解。在循环过程中,该方法用于计算拟牛顿近似矩阵,这个矩阵作为拉格朗日函数的Hessian矩阵。在第k步迭代,Hessian矩阵可以通过下式计算 (13)Hk是nxn维的Hessian矩阵,Qk=V(K+ 1)V(K),q为n1维向量,写成如下 (14)是拉格朗日因数,S 和Gi分别为变化的S和Gi,当k = 1, H1= S1ij = 2S/vivj 是一个NN维矩阵的二阶偏微分,图4显示的优化算法流程图。本文利用Matlab软件和FORTRAN语言开发了一个计算机代码表示车轮踏面优化程序描述图。3.结果与讨论 在这一部分中,以影响铁路车辆的动态行为的优化分布的影响为例,表明了本文提出的方法的优点。3.1 案例研究:优化LMA车轮轮廓 在优化LMA车轮轮廓和分析优化配置的动态行为中,轨道倾角是1:40,轨道轨距为1435mm,车轮的名义滚动半径为457.5mm。中国的铁路客运车辆的参数用于分析 31 。在计算中所选的轨迹由60m直线轨道,一个建的弧形轨道和200m长直轨道组成。弯曲的轨道包括两个180m缓和曲线和一个半径为3000米、长为250米右转园曲线。汽车的车速为180km/h。移动节点的数目选择如下。得到可用的加权因子,当车辆在选定的轨道上运行时,采用车辆-轨道耦合动力学模型对轮对的横向位移进行计算。轨道不平顺是指在直线上发生的动态变化。前轮的横向位移,即为图5所示LMA直线。从图5中可以观察到,前轮的横向位移范围是从4mm到 4mm,所以在这样一个地区应当考虑最大的数值。前轮横向位移轨道曲线如图6所示,这一数字表明,侧向位移在8mm以内,因此,对于车轮踏面相应的接触区使用的加权系数应当小于用于4mm到4mm的加权系数。图4 车轮型面设计程序流程图 图5 在直线轨道前轮对横向位移 图6 对曲线轨道前轮对横向位移 图7 OPT和LMa 图8 车轮与轨道之间的间隙为简单起见,因子W1是用来测量侧向位移从04mm范围变化时,对应的接触点间隙Dj的变化,W2用于侧向位移变化在48mm范围时。随着车轮轮廓的其他方面的差距,在优化时不考虑间隙Dj。所以,车轮的踏面区域的优化分为两个部分,优化结果主要取决于W1和W2之间的比率,而不依赖于选择的W1和W2值的大小。使用不同的比例得到不同的优化结果。根据作者的经验,选择W1和W2首先考虑实现在车轮踏面较大的区域优化设计的目标。最合适的W1和W2的比例是通过试验论证得到的,因此,加权因子是用来控制在不同的车轮踏面优化区域的接触应力水平。W1和W2的具体值应足够大,以避免计算中出现累积误差,并对照其他相关的实际条件选择一定的比例。在这项研究中,根据先前的经验,W1和W2分别为100和50。 通过2.2节中提出的优化算法,优化配置,通过选择显示,得到如图7所示。与初始轮廓LMA相比,图中显示的优化配置明显不同于LMA型。优化前后的W / R的间隙如图8所示,从这个图可以明显看出制作轮廓曲线低于LMA侧向位移从6mm 到2mm时的曲线。小的差距意味着相应的接触应力小,间隙值范围大于LMA。3.2 轮轨接触几何 LMA的RRD的计算选择如图9所示,从这个图我们可以清楚地看到,OPT的RRD的选择大于横向位移在0-7mm区域是的LMA的RRD。这意味着在相同情况下,优化的LMA轮廓比LMA轮对有更大的等效锥度,因此车辆蛇行时的临界速度低于理想直线运行时的临界速度。当侧向位移从12mm 到12mm增大时,右轮轨接触点对的分布和LMa型接触点的分布分别如图10(a)和(b)所示。图(a)表明,侧向位移在-8mm0mm范围时,LMA轮廓接触点主要集中在同一位置,这种情况会加速车轮与钢轨的磨损。图10(b)所示的接触点分布比LMA更均匀,有利于降低轨道磨损和滚动接触疲劳。3.3 蛇行临界速度 这里计算时,该车配备了两个不同的轮廓蛇行临界速度,LMA车辆临界速度为421kmh,汇编程序的临界速度是400公里/小时,较高的等效锥度导致了较低的临界速度。但由于目前车辆运行的最大运行速度低于300km,优化仍能满足当前配置的需求。最后一个需要保持稳定性的是第三轮。图11显示,当车速是400公里/小时,第三轮对横向位移与车辆的行驶距离的关系。 图9 滚动半径差与侧向位移 图11 第三轮对横向位移与行驶距离图10 接触点与轮对横向位移分布3.4 弯曲性能具有两不同轮辐的车辆的弯曲性能用于3.1节相同的轨道来模拟。不同行驶距离的前轮横向位移如图12所示,数据表明,整体弯曲轨道时OPT轮对的偏差低于LMA轮对,振荡的幅度低于弯曲后的LMa轮对,阻尼震荡比LMA轮对更快。OPT轮对的弯曲性能是优于LMA轮对的,这是因为横向位移在-77mm范围时,OPT轮对有更高的等效锥度。 利用车辆及轨道耦合动力学的理论,对磨损指数也进行了研究,如图13所示。车轮的横向位移在8mm时,轮缘和轮轨就不接触了,因此磨损指数处于一个较低的水平。显然,当车辆通过圆形轨道时,OPT型的磨损指数比LMA型低很多,这是OPT型车轮的蠕滑率低于LMA型车轮,然而,在本文中未作过多研究,但是在圆形轨道时,LMA型和OPT型车轮的接触压力非常接近,祥见3.5节。车辆在直线轨道上行驶时,由于其蠕滑率接近零,OPT型和LMA型车轮的磨损指数均几乎接近于零。对两种不同轮廓剖面的脱轨系数和乘坐舒适性计算和比较,结果差异不大,为简介起见,相关结果不在本文表述。 图12 前轮的侧向位移与行驶距离 图13 左前轮磨损指数与行驶距离3.5 轮轨接触应力 通常接前轮轮轨的接触应力高于其他车轮。因此,应当计算车轮和钢轨最高接触应力。Kalker的非赫兹滚动接触三维弹性理论用于分析接触斑的形状和接触点处的应力分布。粘/滑区的左侧轮轨接触斑如图14所示,当车辆在直线轨道运行时,OPT型车轮接触面面积明显大于LMA型;在相同的轴荷下,OPT型车轮接触应力减少。当车辆在曲线轨道上运行时,两者有相近大小的接触面积。图14 粘/滑区当车辆在直线轨道和曲线轨道上运行图15 车辆在直线轨道(上)和曲线轨道(下)上运行是,正常压力分布图15显示了常压下左侧轮轨接触斑分布的计算结果。我们可以看到,车辆在直线轨道运行时,OPT型车轮最大正压力分布低于LMA型,其主要原因是直线轨道有较大的接触面积;当车辆行驶在弯曲的轨道时,这两种类型车轮的最大正压力差别不大。利用非赫兹接触理论计算米塞斯等效应力。车辆行驶在同一轨道时,前轮的最大轮轨接触应力有两种不同的计算方法。如图16,车辆行驶在直线轨道上时,PPT型车轮的接触应选择比LMA型低得多;如果希望车辆通过圆曲线轨道时接触应力进一步减小,LMA型胎面优化区域需要扩展到轮缘根部。目前为止,这样的研究仍在进行中。由于中国的高速铁路轨道大部分是直线或曲线,优化LMA型优化可以更有效的减少运行时磨损和滚动接触疲劳。4 结论本文提出了一种新的直接数值方法来优化车轮,它根据测量W / R之间接触点附近的正常间隙值,该方法用于优化中国LMA型车轮。利用车辆/轨道耦合动力学模型、滚动接触的力学模型、轮轨系统和轮轨接触几何模型研究了chn6与钢轨滚动接触的力学性能和优化情况,它发现与优化前相比,提高了弯曲性能,降低了水平直线轨道运行时的接触应力;同时优化轮对与chn60良好的共形接触,提高接触点的分布,降低接触应力,减少磨损和滚动接触疲劳。致谢 目前的研究已由中国国家自然科学基金(50821063,50875221),中国国家重点基础研究发展计划(2007cb714702),铁道部基础研究计划(z2006-0492008j001-a),和博士点基金(20090184110023)资助。作者非常感谢西南交通大学牵引动力国家重点实验室的严女士在英语方面给予的帮助。附件:外文资料原文Optimal design of wheel profiles based on weighed wheel/rail gapabstractA direct optimization method for railway wheel profiles is put forward based on the weighed normalgap between wheel and rail at the contact point. Taking the wheel/rail counterpart, wheel LMa and railCHN60 of China railway, as an example, the new optimization method is used to improve the profileof wheel LMa. The coupling dynamics theory of the vehicle and track is also used to investigate theeffect of the improved profile on the dynamical behavior of the vehicle, and the rolling contact theoryis hired to analysis the influence of the optimized wheel profile under the wheel/rail contact status. Thenumerical results illustrate that the improved wheelset of LMa has superior curving behavior. It is foundthat the improved profile of LMa with this method is in good conformal contact with rail CHN60, and thedistribution of contact points of the wheel and rail is relatively uniform and extensive on the wheel treadand rail top, compared to the LMa in the same case before its optimization. After the profile optimizationof the wheelset, the maximum normal pressure of the wheel/rail is greatly lowered when the vehicleruns on the tangent track, and the wear index of the wheel/rail is largely reduced without sacrificing thedynamic performance of the wheelset.1. IntroductionWheel/rail (W/R) interaction plays an important part in thedynamic behavior of railway vehicle and track, such as, the critical speed of railway vehicle hunting, running stability and comfort, the ability of curve negotiating, wheel/rail contact stress level, rollingcontact fatigue and wear. Among them, the wheel profile in W/Rcontact region has drawn attention of many researchers 15.So far, different design approaches for wheel profiles have beendeveloped to obtain the satisfactory matching of wheel and rail.Earlier methods to design wheel profiles were mainly based onthe experience of railway operators 6,7. During the last decades,there has been much greater interest in employing mathematicalmodels and numerical technology to optimize the wheel profileto improve railway vehicle dynamic behavior. Heller and Law 8optimized the wheel profile to improve the dynamic performanceof the rolling stock. Wu 9 put forward a concept of wheel pro-file design to systemically evaluate the compatibility of the wheeland rail profile based on the vehicle characteristics and the operat-ing condition. Zhang et al. 10 utilized an improved method basedon the partial rail profile expansion, which was originally devel-oped by Wu 9, to modify the whAeel profile of LMa in China. Themodified wheel has a desirable conformity contact with Chineserail of 60kg/m (CHN60). This conformal contact forming betweenW and R can effectively reduce the contact stress level betweenthem. Persson and Iwnicki 11 and later Novales et al. presented a direct optimization procedure based on genetical gorithmtodesigna wheel profile for railway vehicles 12. Shen et al. developed atarget-oriented method with so called inverse methodology forthe design of railway wheel profile involving contact angle andrail profile information 13. Shevtsov et al. proposed a numeri-cal optimization technique based on rolling circle radius difference(RRD) of wheelset to design the wheel profile 14,15. This method employed a multipoint approximation based on responsive surface fitting to design an optimum wheel profile that matches a target RRD. Later, Shevtsovetal. Used the same idea to design a wheelprofile considering wheel/rail rolling contact fatigue and wear 16. Asimilar approach was proposed by Hamid Jahed et al., wherein theRRD function was also used for the design of railway wheel profiles.As reviewed in detail in 18, the recent researches on wheelprofile optimization have mainly focus on the inverse method ology. This method ology is very efficient when a target curve is given. However, to obtain a target curve function generally by designers experience would be a trouble somework which costs much time.Inthis paper, as contrasted to the above mentioned inverse methods,adirect solution method based on the normal gap between the profiles of W/R around their contact point is put forward to improvethe dynamic and contact behavior of W/R system. The improvedprofile of wheel LMa obtained by using the present methodis given as an example to demonstrate the advantages of themethod.2. Optimal design methodThe normal gap (or normal clearance) of W/R in the contactregion is an important factor to evaluate the compatibility of W/Rprofiles 1921. The small clearance can improve the conformitycontact situation for W/R, increase the contact area (contact patch)and reduce the contact stress level. W/R rolling contact fatigue(RCF) is related to its contact patch size under the condition of the prescribed load 22. The initiation and growth of the cracks on W/R depend on the wheel/rail contact stress/strain level in the contactpatch 23.The objective of study in this paperis to propose a direct numerical optimization method to design the profile of wheel LMa. Theoptimized wheel LMa in rolling contact with rail of CHN60 has anormal clearance as small as possible. The optimization decreasesthe contact stress level between the W/R without loss of dynamicbehavior ability of the wheelset.2.1. Mathematical modelingAs shown in Fig. 1, the wheel tread of LMa from its flange root Ato its field side B is chosen as an optimization region. In the coordi-nate system as shown, the start point A is set at the point with themaximum contact angle of wheel flange. The end point B is on thestraight line and its abscissa is 30mm. The slopes of points A and Bare, respectively (2) (3)The moving points (nodes) (hi,vi), (i=1, 2, ., n) on the treadcan be set by dividing the tread from A to B into the segments ofn+1. hiand viare, respectively, the vertical and lateral coordinatesof the moving points. End for end, the tread can be generated byfitting these points with cubic spline function 17, and Eqs. (2) and(3) serve as the boundary conditions for such a fitting.To simplify modeling, the abscissa of each moving node hi(i=1,2, ., n), is selected as a constant, and the vertical coordinatesof the moving nodes, v1,v2,.,vn are considered to be varied.v1,v2,.,vn are chosen as the design variables in the optimization.The wheel tread profile is now expressed as f(v1,v2,.,vn).2.1.1. Objective functionThe normal gap of W/R is defined as the average clearance valuein a specific region around the contact point Cj, as shown in Fig. 2.When the lateral displacement of the wheelset center is yj, thefunction of the gap Djis defined as (4)in which, djiis the normal clearance at the ith point and m isthe number of discrete points in the region around the contactpoint Cj. The boundary of the region is determined by c1 andc2 in Fig. 2. The coordinates of the contact point Cjare deter-mined by the given lateral displacement yjof the wheelset forthe given W/R sizes. The value of djiis determined by the wheelprofile function f(v1,v2,.,vn) for the given profiles of the W/R.Therefore, from Eq. (4), the gap function Djcan be represented byDj= Dj(yj,v1,v2,.,vn) at the contact point Cj. Considering LMa profile in contact with CHN60 rail as anexample, their gap function in the whole region of the lateral dis-placement of wheelset is calculated, as shown in Fig. 3. It should benoted that the larger value of the curve corresponds to the largerclearance around the contact point, and this situation means thatthe area of contact patch is smaller and the level of the contactstress is higher under the condition of the same axle load.In order to improve the conformal contact status of the wheeland CHN60, the gap curve should have the values as small as pos-sible. Using the trapezoidal method of summing the area under thecurve, the area S can be formulated as (5)where K is the number of the points in the gap curve of the W/R as shown in Fig. 3. From formulae (5), it is obvious that the gap Dj at different contact points contribute different values to S. The smaller S is, the higher the W/R conformal contact degree is, and correspondingly the lower W/R contact stress level is. Therefore, it is hoped that S or Djis as small as possible in the matching of the W/R profiles.It should be noticed that different vehicle/track operation con-ditions, e.g., rail cant, track gauge, curve super elevation and trainspeed, lead to the different contact situations between W/R, suchas the contact point location, the distribution of the contact pointsand the contact area width. The distribution of the contact pointsindicates that the contact points are situated on the wheel treadin the lateral direction. Different weighting factors are applied to control the contribution to S of variable Di values a iming to obtain S value as small as possible. According to experience, weighting fac-tors for the wheel running on tangent tracks should be bigger thanthose for curved tracks.Considering the weighting Diin S, Eq. (5) becomes as (6)where wjis defined as the weighting factor of the lateral displace-ment of wheelset yj, which corresponds to contact point j. Theweighting factors can be determined in this way: calculate the lat-eral displacement of the wheelsets when the vehicle moves along tangent or curved tracks using the vehicle-track coupling dynamics model 24, find the approximate bound of the practical lateral dis-placement,uselargerweightingfactorsforthelateraldisplacementyjwithin the bound.Since the parameter yjis given in the calculation process, func-tion S in Eq. (6) can also be expressed as (7)Eq.(7) is used a sthe objective function to find the optimal wheelprofile.2.1.2. Design constraintsDuring the optimization, such size design requirements as thesafety of wheel operation, the wheel flange thickness and theheight, the tread width and the maximum flange angle should besatisfied.It is noted that the real wheel tread has the monotonic slope,but the method, based on cubic spline function, cannot ensure themonotonicity of the designed wheel profile, and may generate thecorrugated tead. To avoid this problem arising in the optimizationdesign, a constraint equation is used and reads (8)At the same time, the lower and upper boundaries of the design variables viin Eq. (8) are given as i=1,2,.n (9)In Eq. (8), Giis the constraint equation at the position of the ithdesign variable node. In Eq. (9), aiis the lower boundary and biisthe upper. The value of aiand biare selected to be as close to theinitialvalueaspossibletoensurethehighcomputationalspeedandthe fast convergence of solution as well.2.2. Optimization algorithmIn this section, a modified optimization algorithm is developed by applying the improved SQP(sequentialquadraticprogramming) 25,26 method combined with quasi-Newton method and BFGSmethod 2730. The basic idea of this algorithm is to find the opti-mal search direction and the information of the step size by usingthe SQP method and to renew the iteration by using the quasi-Newton method, thereby improving calculation efficiency.According to Eqs. (7)(9), the optimization problem can be described by (10)Eq. (10) can be converted to quadratic approximation quadraticprogramming sub-problem based on the Lagrange function. Thefunction of the quadratic programming sub-problem is written as (11)where is the Lagrange multiplier, and v = (v1,v2,.,vn)Tis the design vector that is variable.The quadratic programming sub-problem can be obtainedthrough linearization of the nonlinear constrained ones. A newiterative formula is constituted by using the solution of the sub-problem as (12)Here is the step parameter; tkis the solution of the sub-problemin
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