2.3连续型随机变量与随机变量的分布函数

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1、一 、 分 布 函 数二 、 概 率 密 度 函 数三 、 常 见 连 续 型 分 布2.3 连 续 型 随 机 变 量 与 随 机 变 量 的分 布 函 数 引 例 （ 1） 求 指 针 落 在 某 个 刻 度 如 X=3的 概 率 ？（ 2） 求 指 针 落 在 区 间 （ 4， 5的 概 率 ？解 ： (1) 3 ( ) 0AP X P A 的 长 度的 长 度5 4 5 4 1(2) 4 5 5 418 0 18 18 18P X P X P X 由 上 例 ， 得 到 如 下 结 论 ： 1、 X在 单 点 上 的 概 率 都 为 0， 即 0 0P X x 2 P a X b P

2、X b P X a 、 ( ) F x P X x 分 布 函 数 P a X b ( ) F b ( )F a 对 于 随 机 变 量 X ， 既 要 知 道 X 的 取 值 , 以 及 X 取这 些 值 的 概 率 ; 而 且 更 重 要 的 是 想 知 道 X 在 任 意 有 限区 间 (a,b)内 取 值 的 概 率 . 21 xXxP 12 xXPxXP )( 2xF )( 1xF 21 xXxP 分 布 函 数 ).()( 12 xFxF ?一 、 分 布 函 数例 如 .,( 21 内 的 概 率落 在 区 间求 随 机 变 量 xxX1.概 念 的 引 入 2.分 布 函 数

3、的 定 义说 明(1) F (x) 表 示 X取 值 在 到 x的 概 率 ， 可 用 来 研 究 随 机变 量 在 某 一 区 间 内 取 值 的 概 率 情 况 . )( ,的 分 布 函 数称 为 函 数是 任 意 实 数是 一 个 随 机 变 量设定 义 X xXPxF xX .)()2( 的 一 个 普 通 实 函 数是分 布 函 数 xxF 例 1 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为X 1 2 3 4P 0.2 0.1 0.4 0.3 求 X 的 分 布 函 数 .,1时当 x解 1)( xXPxF 0,21 时当 x )( xXPxF 1 XP 2.0,32 时当 x )(

4、xXPxF 21 XPXP 3.0,43 时当 x )( xXPxF 321 XPXPXP7.0 ,4时当 x )( xXPxF 1 X 1 2 3 4P 0.2 0.1 0.4 0.3 .4,1 ,43,321 ,32,21 ,21,1 ,1,0)( x xXPXPXP xXPXP xXP xxF .4,1 ,43,7.0 ,32,3.0 ,21,2.0 ,1,0 x xxxx .4,1 ,43,321 ,32,21 ,21,1 ,1,0)( x xXPXPXP xXPXP xXP xxF即 .4,1 ,43,7.0 ,32,3.0 ,21,2.0 ,1,0 x xxxx 的 分 布 函 数

5、 为设 随 机 变 量 XX解例 2 .3,1 ,32,43 ,21,41 ,1,0)( x xxxxF.的 分 布 律求 X 321P 4241 41 求 （ 1） X的 分 布 函 数 ； .5.05.0,11 XPXP练 习 题1、 设 随 机 变 量 X 的 分 布 律 为X -1 0 1 2P 1/15 2/15 3/15 9/15（ 2） .2,1 ,21,15/6 ,10,15/3 ,01,15/1 ,1,0)( x xxxxxF 15/511 XP答 案 1525.05.0 XP );,(,1)(0)1( xxF );(),()()2( 2121 xxxFxF 3.分 布 函

6、数 的 性 质 xo 1x 2x ,0)(lim)()3( xFF x ,)( xXPxF 0lim)(lim xXPxF xx xo xo ;1)(lim)( xFF x证 明 ,越 来 越 小 时当 x, 的 值 也 越 来 越 小xXP 有时因 而 当 ,x .),(,),( , 内必 然 落 在时当 而的 值 也 不 会 减 小增 大 时当同 样 XxxX xXPx ).(),()(lim)4( 000 xxFxFxx即 任 一 分 布 函 数 处 处 右 连 续 . .,1 , ,0, ,0,0)( 2 212 11 xx xxxp xxp xxF .1lim)(lim xXPxF

7、xx所 以 xo )(xF 1x 2x1p 2p 1 重 要 公 式 ),()()1( aFbFbXaP ).(1)2( aFaXP 证 明 , bXaaXbX 因 为 , bXaaX , bXaPaXPbXP 所 以 ).()( aFbFbXaP 故 xx kk pxXPxF )(分 布 函 数分 布 律 kk xXPp 离 散 型 随 机 变 量 分 布 律 与 分 布 函 数 的 关 系 连 续 型 随 机 变 量 X 所 有 可 能 取 值 充 满 若干 个 区 间 。 对 这 种 随 机 变 量 ， 不 能 象 离 散 型随 机 变 量 那 样 , 指 出 其 取 各 个 值 的 概

8、 率 ， 给出 概 率 分 布 。 而 是 用 “ 概 率 密 度 函 数 ” 表 示随 机 变 量 的 概 率 分 布 。二 、 连 续 型 随 机 变 量 例 1： 某 工 厂 生 产 一 种 零 件 ， 由 于 生 产 过 程 中 各种 随 机 因 素 的 影 响 ， 零 件 长 度 不 尽 相 同 。 现 测得 该 厂 生 产 的 100个 零 件 长 度 (单 位 : mm)如 下 :2.3.1 频 率 直 方 图129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 1

9、42, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142,148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137,141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139

10、, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134,142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.这 100个 数 据 中 ， 最 小 值 是 128， 最 大 值 是 155。 作 频 率 直 方 图 的 步骤(1). 先 确 定 作 图 区 间 a, b ;a = 最 小 数 据 -/ 2， b = 最 大 数 据 +/ 2， 是 数 据 的 精 度 。本 例 中 = 1, a = 127.5, b = 155.5 。(2). 确 定 数 据 分 组 数 m = 1.8

11、7 (n1)2/5 + 1， 组 距 d = (b a) / m， 子 区 间 端 点 t i = a + i d, i = 0, 1, , m； (3). 计 算 落 入 各 子 区 间 内 观 测 值 频 数 ni = # xj ti1, ti)， j = 1, 2, , n， 频 率 fi = ni / n， i = 1, 2, , m；子 区 间 频 数 频 率(127.5, 131.5) 6 0.06(131.5, 135.5) 12 0.12(135.5, 139.5) 24 0.24(139.5, 143.5) 28 0.28(143.5, 147.5) 18 0.18(147.

12、5, 151.5) 8 0.08(151.5, 155.5) 4 0.04 (4). 以 小 区 间 ti-1， ti 为 底 ， yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 为 高 作 一 系 列 小 矩 形 ， 组 成 了 频 率 直 方 图 ， 简 称 直 方 图 。 由 于 概 率 可 以 由 频 率 近 似 ， 因 此 这 个 直方 图 可 近 似 地 刻 画 零 件 长 度 的 概 率 分 布 情 况 。 用 上 述 直 方 图 刻 画 随 机 变 量 X的 概 率 分 布情 况 是 比 较 粗 糙 的 。 为 更 加 准 确 地 刻 画 X的 概率 分 布 情 况 ， 应

13、适 当 增 加 观 测 数 据 的 个 数 , 同时 将 数 据 分 得 更 细 一 些 。 当 数 据 越 来 越 多 , 分组 越 来 越 细 时 , 直 方 图 的 上 方 外 形 轮 廓 就 越 来越 接 近 于 某 一 条 曲 线 , 这 条 曲 线 称 为 随 机 变 量X的 概 率 密 度 曲 线 ， 可 用 来 准 确 地 刻 画 X的 概率 分 布 情 况 。 1. 概 率 密 度 函 数 定 义 1： 若 存 在 非 负 可 积 函 数 f(x), 使 随 机变 量 X取 值 于 任 一 区 间 (a, b 的 概 率 可 表 示 成(1) , )()( ba dxxfbX

14、aP则 称 X为 连 续 型 随 机 变 量 ， f(x)为 X 的 概 率 密度 函 数 ， 简 称 概 率 密 度 或 密 度 。 x tdtf )()()( xXPxF 则 称 F(x)为 X 分 布 函 数 。 这 两 条 性 质 是 判 定 函 数 f(x) 是 否 为 某 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 函 数 的 充要 条 件 。密 度 函 数 的 性 质； 0)( ).1( xf ； 1 )( ).2( dxxf f(x)与 x 轴 所 围 面 积 等 于 1。 例 100,0 ,100,1002 xxx 0,0 ,0,10 xxx 其 他,0 ,20,1 x 其 他,

15、0 ,232121 x，下 列 函 数 中 可 作 为 某 随 机 变 量 概 率 密 度 的 是 （ ）BCA D提 示 ： 概 率 密 度 的 的 非 负 性 + 归 一 性 若 x是 f(x)的 连 续 点 ， 则x xxXxPx )(lim0 =f(x)，(3). 对 f(x)的 进 一 步 理 解 ：故 , X的 概 率 密 度 函 数 f(x)在 x 这 一 点 的 值 , 恰好 是 X 落 在 区 间 x , x + x上 的 概 率 与 区 间 长度 x 之 比 的 极 限 。 这 里 , 如 果 把 概 率 理 解 为质 量 ， f (x)相 当 于 物 理 学 中 的 线

16、密 度 。 xxxx dttfx )(1lim0 需 要 注 意 的 是 ： 概 率 密 度 函 数 f (x)在 点 a 处取 值 ， 不 是 事 件 X =a 的 概 率 。 但 是 ， 该 值越 大 ， X 在 a 点 附 近 取 值 的 概 率 越 大 。 若 不 计 高 阶 无 穷 小 ， 有 ： . )( xxfxxXxP 表 示 随 机 变 量 X 取 值 于 (x , x + x上 的 概 率近 似 等 于 f (x ) x 。 f (x ) x 在 连 续 型 随 机 变 量 中 所 起 的 作 用与 pk=PX=xk 在 离 散 型 随 机 变 量 中 所 起 的 作用 类

17、 似 。 (4). 连 续 型 随 机 变 量 取 任 意 指 定 值 的 概 率 为 0.即 ： ,0)( aXP a为 任 意 给 定 值 。这 是 因 为 ： )(lim)( 0 aXxaPaXP x .0)(lim 0 xaax dxxf由 此 得 ， 对 连 续 型 随 机 变 量 X, 有 )()( bXaPbXaP )( bXaP ).( bXaP xo)(xf 11d)( xxfS 1S xxfxx d)(21 1x 2x 21 xXxP 1S 连 续 型 随 机 变 量 取 值 落 在 某 一区 间 的 概 率 与 区 间 的 开 闭 无 关 bXaP bXaP bXaP .

18、)( ba dxxfbXaP 连 续 型 X 落 在 某 一 范 围 D 内 的 概 率就 是 f (x) 在 D上 的 定 积 分 . .)( Dx dxxfDXP 综 上 所 述 ， 连 续 型 随 机 变 量 X， 对 于 x的 任 意范 围 D, 有 由 P(X=a)=0， 可 推 出 .1)()()( aXPdxxfaRXP而 X=a 并 非 不 可 能 事 件 ,可 见 ： 由 P(A)=0, 不 能 推 出 A=；并 非 必 然 事 件 。 aRX 由 P(B)=1, 不 能 推 出 B=。 .0 aXP若 X是 连 续 型 随 机 变 量 ， X=a 是 不可 能 事 件 ，

19、则 有 ,0 aXP若 是 不 可 能 事 件 aX .0 aXP若 X 为 离 散 型 随 机 变 量 , 注 意 连续型离散型是 不 可 能 事 件则 不 能 确 定 aX ).()(,)()5( xfxFxxf 则 有处 连 续在 点若 x xFxxFxF x )()(lim)( 0证 明 xxxx dttfx )(1lim0 x xxXxPx lim0 )(xfx为 连 续 点知由 于 x xxfxF ,d)()( )()( xfxF 求 导积 分分 布 函 数原 函 数 密 度 函 数导 数 .271)3( ;)2(;)1( .,0 ,43,22 ,30,)( XP Xk xx xk

20、xxf X求 的 分 布 函 数求确 定 常 数 其 它具 有 概 率 密 度随 机 变 量设解 ,1d)()1( xxf由例 2 的 概 率 密 度 为知由 Xk 61)2( .,0 ,43,22 ,30,6)( 其 它 xx xxxf ,1d)22(d30 43 xxxkx得 .61k解 之 得 x xxfxF d)()( ,0,1x xx0 ,d6 .4x,d)22(d630 3 x xxxx ,30 x ,43 x分 布 函 数 为 .4,1 ,43,423 ,30,12 ,0,0)( 22 x xxx xx xxF即 271)3( XP )1()27( FF .4841分 布 函 数

21、 F(x) 即 是 密 度 函 数 f(x) 的 原 函 数 dxxf271 )( .)3( ;2)2( ;,)1(: .,1 ,arcsin ,0)( 的 概 率 密 度随 机 变 量 的 值系 数求 的 分 布 函 数 为设 连 续 型 随 机 变 量XaXaP BA ax axaaxBA axxF X 例 3 ),(lim)( xFaF ax 故 有解 (1) 因 为 X 是 连 续 型 随 机 变 量 , ,)(lim)( xFaF ax ,)( 连 续所 以 xF aaBA arcsin aaBA arcsin即 BA 2 ,0BA 2 ,1,21A解 之 得 .1B .,1 ,ar

22、csin121 ,0)( ax axaax axxF所 以 2)2( aXaP )2(aF )( aF .32 )()( xFxf 的 概 率 密 度 为随 机 变 量 X)3( .,0 ,1 22 其 它 axaxa 练 习 题 ,0 ,10,)1(12)( 2其 它 xxxxfP49 2.10 设 某 地 区 每 天 的 用 电 量 X（ 单 位 ： 100万 千 瓦 小 时 ）的 概 率 密 度 为假 设 该 地 每 天 供 电 量 仅 有 80万 千 瓦 小 时 ， 求 该 地 每 天 供电 量 不 足 的 概 率 . )8.0( XP答 案 18.0 2d)1(12 xxx 0272

23、.0 ,0 ,1000,1000)( 2 其 它xxxfP48 2.9 设 某 种 元 件 的 寿 命 X（ 单 位 ： 小 时 ） 的 概 率 密度 为求 5个 元 件 在 使 用 1500小 时 后 ,恰 有 2个 元 件 失 效 的 概 率 .31d1000)1500( 15001000 2 xxXPp设 Y 为 5个 元 件 在 使 用 1500小 时 后 失 效 的 个 数 ， 则 ),5( pBY33.03231)2( 3225 CYP答 案 二 、 常 见 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布).,( ,),( ,0 ,1)( baUX baX bxaabxf X记 为 区 间

24、 上 服 从 均 匀 分 布在 区 间则 称 其 它 具 有 概 率 密 度设 连 续 型 随 机 变 量定 义 1. 均 匀 分 布 xo )(xfa b概 率 密 度函 数 图 形 均 匀 分 布 的 意 义 ,),( Xba 变 量上 服 从 均 匀 分 布 的 随 机在 区 间 . ),(性 是 相 同 的 内 的 可 能中 任 意 等 长 度 的 子 区 间落 在 区 间 ba xo )(xfa bab1 lab lp l .,1 , ,0)( bx bxaab ax axxF分 布 函 数 xo )(xFa b1 解 由 题 意 ,R 的 概 率 密 度 为 .,0 ,110090

25、0,2001)( 其 他 rrf故 有 1050950 RP rd20011050950例 1 设 电 阻 值 R 是 一 个 随 机 变 量 ， 均 匀 分 布 在900 1100 求 R 的 概 率 密 度 及 R 落 在950 1050 的 概 率 5.0 ,0.0,0 ,0,e)( 为 常 数其 中 的 概 率 密 度 为设 连 续 型 随 机 变 量定 义 xxxf Xx2. 指 数 分 布 1 .的 指 数 分 布服 从 参 数 为则 称 X )( eX记 作 某 些 元 件 或 设 备 的 寿 命 服 从 指 数 分 布 .例 如无 线 电 元 件 的 寿 命 、 电 力 设 备

26、 的 寿 命 、 动 物 的寿 命 等 都 服 从 指 数 分 布 .应 用 与 背 景分 布 函 数)(xF 1 .0 ,0 ,0,e1 xxx 例 3： 设 某 电 子 管 的 使 用 寿 命 X(单 位 ： 小 时 )服 从 参 数 =0.0002的 指 数 分 布 ， 求 电 子 管 使用 寿 命 超 过 3000小 时 的 概 率 。. 5488.0 0002.0 )( 3000 6.0 3000 0002.0 3000 e dxedxxfXP x解 ： ).,(, ,)0(, ,e21)( 22 )( 2 2 NX X xxf Xx 记 为的 正 态 分 布 或 高 斯 分 布 服

27、 从 参 数 为则 称为 常 数其 中 的 概 率 密 度 为设 连 续 型 随 机 变 量定 义 3. 正 态 分 布 (高 斯 分 布 ) 高 斯 资 料 正 态 概 率 密 度 函 数 的 几 何 特 征 及 、 含 义;)1( 对 称曲 线 关 于 x ;21)(,)2( xfx 取 得 最 大 值时当 ;0)(,)3( xfx 时当 ;)4( 处 有 拐 点曲 线 在 x ( ) ( ) 0.5;PX PX ; ,)( ,)6( 轴 作 平 移 变 换着 只 是 沿图 形 的 形 状 不 变 的 大 小 时改 变当 固 定xxf ;)5( 轴 为 渐 近 线曲 线 以 x . , )

28、(,)7(图 形 越 矮 越 胖 越 大图 形 越 高 越 瘦越 小而 形 状 在 改 变不 变 图 形 的 对 称 轴的 大 小 时改 变当 固 定 xf正 态 分 布 密 度 函 数 图 形 演 示 正 态 分 布 的 分 布 函 数 txXPxF x t de21)()( 2 22 )( 正 态 分 布 分 布 函 数 图 形 演 示 正 态 分 布 是 最 常 见 最 重 要 的 一 种 分 布 ,例 如测 量 误 差 , 人 的 生 理 特 征 尺 寸 如 身 高 、 体 重 等 ;正 常 情 况 下 生 产 的 产 品 尺 寸 :直 径 、 长 度 、 重 量高 度 等 都 近 似

29、 服 从 正 态 分 布 .正 态 分 布 的 应 用 与 背 景 正 态 分 布 下 的 概 率 计 算 txF x t de21)( 2 22 )( xXP ? 原 函 数 不 是初 等 函 数方 法 一 :利 用 MATLAB软 件 包 计 算方 法 二 :转 化 为 标 准 正 态 分 布 查 表 计 算 标 准 正 态 分 布 . d21)( 21)( 2/2/ 22 tex xex x tx ， 称 N(0, 1) 为 标 准 正 态 分 布 ， 其 密 度 函 数和 分 布 函 数 常 分 别 用 来 表 示 。)( )( xx 和 (1) 0( ) ;x y曲 线 关 于 即

30、轴 对 称 1(2) 0 , ( ) ;2x f x当 时 取 得 最 大 值 ;0)(,)3( xfx 时当(4) 1 ;x 曲 线 在 处 有 拐 点 ( 0) ( 0) 0.5;PX PX 它 的 依 据 是 下 面 的 定 理 ： 标 准 正 态 分 布 的 重 要 性 在 于 ， 任 何 一 个一 般 的 正 态 分 布 都 可 以 通 过 线 性 变 换 转 化 为标 准 正 态 分 布 。 根 据 定 理 1,只 要 将 标 准 正 态 分 布 的 分 布函 数 制 成 表 ， 就 可 以 解 决 一 般 正 态 分 布 的 概率 计 算 问 题 。 . )1,0( ) ( 2N

31、xY Nx ， 则，设定 理 1： 书 末 附 有 标 准 正 态 分布 函 数 数 值 表 ， 有 了 它 ，可 以 解 决 一 般 正 态 分 布 的概 率 计 算 问 题 。正 态 分 布 表 0 ( ) 1 ( ) .x x x 当 时 ， . d21)( 2/2 tex x t 表 中 给 出 的 是 x 0时 ， (x)的 取 值 ;x x 若 X N(0, 1), bxaP bXaP ； )()( ab bXaPbXaP . ab ，若 ) ( 2NX 服 从 N(0,1) .2 ,2,225.1),1,0( XP XPXPNX 求设解 225.1 XP )25.1()2( 89

32、44.09772.0 例 4 . 0828.0注 ： 要 求 学 会 查 标 准 正 态 分 布 表 .2 XP 2 XP 对 称 性2 XP)2( 0228.0)2(1 )2()( 0228.0)2(1 ( ) 1 ( )x x 例 51.已 知 ，X )2,1( 2N 2.3XP求解 2.3XP 2.3XP 2.3XP 1.12 1XP )1.1( )1,0(2 1 NX8643.0 2.已 知 X 2( , )N 1 1 1(1) ( 1) 2 (1) 1 0.6826X XP X P P 2 2 2 2(2) ( 2) 2 (2) 1 0.9545X XP X P P 3 2 (3)

33、1 0.9973P X 3原 则 -3 +3 0.003X 落 在 （ ， ） 之 外 的 概 率 不 足 例 6： 假 设 某 地 区 成 年 男 性 的 身 高 (单 位 : cm) X N(170,7.692), 求 该 地 区 成 年 男 性 的 身 高超 过 175cm 的 概 率 。 解 : 根 据 假 设 X N(170 ,7.692)， 知， )1 0(69.7 170 NX 事 件 X 175 的 概 率 为1751175 XPXP .2578.0 )65.0(1 69.7 1701751 解 : 设 车 门 高 度 为 h ， 按 设 计 要 求P(X h)0.01， 或

34、P(X h) 0.99，下 面 我 们 来 求 满 足 上 式 的 最 小 的 h。P49 2.15公 共 汽 车 车 门 的 高 度 是 按 成 年 男 性 与车 门 顶 头 碰 头 机 会 在 0.01以 下 来 设 计 的 。 设 某地 区 成 年 男 性 身 高 (单 位 : cm) X N(170, 7.692),问 车 门 高 度 应 如 何 确 定 ? 因 为 X N(170,7.692), ， )1 0(69.7 170 NX ，故 99.0 69.7 170 69.7 17069.7 170X hhPhXP求 满 足 P(X h) 0.99 的 最 小 h。，）得查 表 ，

35、99.0 9901.02.33( .88.1 33.269.7 170 hh 即，所 以 ，故 ， 当 汽 车 门 高 度 为 188厘 米 时 ， 可 使 男 子 与车 门 碰 头 机 会 不 超 过 0.01。 正 态 分 布 知 识 归 纳 5.0)()()1( xPxP 则设 ),1,0()2( NX )( aaXP )(1 aaXP )()( abbXaP )(1)( xx a bbXaP 则设 ),()3( 2NX bbXP 分 布 函 数 概 率 密 度小 结2. 常 见 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 x ttfxF d)()(.1 连 续 型 随 机 变 量均 匀 分

36、 布正 态 分 布 (或 高 斯 分 布 )指 数 分 布 正 态 分 布 有 极 其 广 泛 的 实 际 背 景 , 例 如 测 量误 差 , 人 的 生 理 特 征 尺 寸 如 身 高 、 体 重 等 ,正 常情 况 下 生 产 的 产 品 尺 寸 :直 径 、 长 度 、 重 量 高 度 ,炮 弹 的 弹 落 点 的 分 布 等 , 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态分 布 .可 以 说 ,正 态 分 布 是 自 然 界 和 社 会 现 象 中 最为 常 见 的 一 种 分 布 , 一 个 变 量 如 果 受 到 大 量 微 小的 、 独 立 的 随 机 因 素 的 影 响 , 那 么 这 个 变 量 一 般是 一 个 正 态 随 机 变 量 .3. 正 态 分 布 是 概 率 论 中 最 重 要 的 分 布 另 一 方 面 ,有 些 分 布 (如 二 项 分 布 、 泊 松 分 布 )的 极限 分 布 是 正 态 分 布 .所 以 ,无 论 在 实 践 中 ,还 是 在 理论 上 ,正 态 分 布 是 概 率 论 中 最 重 要 的 一 种 分 布 .二 项 分 布 向 正 态 分 布 的 转 换 作 业课 本 ：第 49页 ， 2.17 2.19 第 49页 ， 2.12(1) 2.14(2)