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1、一、以一、以2l为周期为周期的函数的的函数的Fourier级数级数二、二、奇偶函数奇偶函数的的Fourier级数级数三、函数展开成三、函数展开成正弦级数正弦级数或或余弦级数余弦级数2024/4/27115.2 以 为周期的函数的展开式一、以2l为周期一、以一、以2l为周期的函数的为周期的函数的Fourier级数级数2024/4/272一、以2l为周期的函数的Fourier级数2023/7/31即即2024/4/273即2023/7/313其中其中2024/4/274其中2023/7/314定理定理若若f(x)在在-l,l按段光滑，则有相应的收敛定理。按段光滑，则有相应的收敛定理。2024/4/
2、275定理若f(x)在-l,l按段光滑，则有相应的收敛定理解解2024/4/276解2023/7/3162024/4/2772023/7/317解解 把把f(x)延拓成周期为延拓成周期为10的周期函数（如图）的周期函数（如图）.这是一个奇函数，且满这是一个奇函数，且满足收敛定理条件足收敛定理条件.2024/4/278解把f(x)延拓成周期为10的周期函数（如图）.这是一个奇函2024/4/2792023/7/319另解另解2024/4/2710另解2023/7/3110二、奇偶函数的二、奇偶函数的Fourier级数级数 一般说来，一个函数的一般说来，一个函数的Fourier级数既含有正级数既含
3、有正弦项，又含有余弦项弦项，又含有余弦项.但是，也有一些函数的傅里但是，也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.定理定理2024/4/2711二、奇偶函数的Fourier级数 一般说来，一证明证明奇函数奇函数同理可证同理可证(2)偶函数偶函数2024/4/2712证明奇函数同理可证(2)偶函数2023/7/3112定义定义2024/4/2713定义2023/7/3113解解所给函数满足收敛定理的条件所给函数满足收敛定理的条件.2024/4/2714解所给函数满足收敛定理的条件.2023/7/3114和函数图象和函数图象2024/4
4、/2715和函数图象2023/7/31152024/4/27162023/7/3116三、函数展开成正弦级数或余弦级数三、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓常用如下两种：常用如下两种：延拓方式有无限多种，延拓方式有无限多种，2024/4/2717三、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性延拓常用如奇延拓奇延拓:2024/4/2718奇延拓:2023/7/3118偶延拓偶延拓:2024/4/2719偶延拓:2023/7/3119注注1：对对f(x)作不同的延拓，得到不同的作不同的延拓，得到不同的Fourier展开展开式，但限制在式，但限制在(0,l)
5、上是相等的。上是相等的。因此，因此，0，l 上函数的上函数的Fourier展开有无限多种展开有无限多种.常用奇延拓和偶延拓，从而得到正弦级数和常用奇延拓和偶延拓，从而得到正弦级数和余弦级数余弦级数.求求f(x)在在0，l的的Fourier展开式时，并不要求展开式时，并不要求写出延拓后的函数表达式。写出延拓后的函数表达式。注注2：注注3：2024/4/2720注1：对f(x)作不同的延拓，得到不同的Fourier展开式 设函数设函数 求求 的的Fourier级数展开式级数展开式.是是 上的偶函级上的偶函级,其周期延拓后其周期延拓后(如下图如下图)xyo 由于由于 是按段光滑函数是按段光滑函数,故
6、可展开成余弦级数故可展开成余弦级数.2024/4/2721 设函数 求 的Fourier级数展开式.是 所以所以2024/4/2722所以2023/7/3122把把 在在 内展成内展成 (i)正弦级数正弦级数;(ii)余弦级数余弦级数.(i)为了把为了把 展成正弦级数展成正弦级数,对对 作奇式周期延拓作奇式周期延拓xyo2024/4/2723把 在 内展成 则则所以当所以当 时时,由收敛定理由收敛定理 得得 (ii)为了把为了把 展成余弦级数展成余弦级数,对对 作作 偶式偶式 周期延拓如下图周期延拓如下图:2024/4/2724则所以当 时,由收敛定理 得 xyo则则2024/4/2725xy
7、o则2023/7/3125xyo2024/4/2726xyo2023/7/3126解解(1)(1)求正弦级数求正弦级数.2024/4/2727解(1)求正弦级数.2023/7/3127(2)(2)求余弦级数求余弦级数.2024/4/2728(2)求余弦级数.2023/7/3128对对 f(x)作其他延拓，作其他延拓，Fourier级数如何？级数如何？例例:2024/4/2729对 f(x)作其他延拓，Fourier级数如何？例:2022024/4/27302023/7/3130需澄清的几个问题需澄清的几个问题.(误认为以下三种说法正确误认为以下三种说法正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数只有
8、周期函数才能展成傅氏级数;2024/4/2731需澄清的几个问题.(误认为以下三种说法正确)a.只有周期函练习练习解解对对f(x)作延拓，使其定义区间长度为作延拓，使其定义区间长度为2，再做，再做周期延拓。周期延拓。由于没有要求傅里叶级数的形式，因此有无由于没有要求傅里叶级数的形式，因此有无穷多种解答，一般选择易于计算的方式。穷多种解答，一般选择易于计算的方式。方式一方式一 将将f(x)延拓成延拓成2024/4/2732练习解对f(x)作延拓，使其定义区间长度为2，再做周期延拓。2024/4/27332023/7/3133方式二方式二将将f(x)延拓成延拓成2024/4/2734方式二将f(x)延拓成2023/7/3134方式三方式三将将f(x)延拓成延拓成周期延拓后周期延拓后是偶函数是偶函数2024/4/2735方式三将f(x)延拓成周期延拓后是偶函数2023/7/313
以2l为周期的函数的展开式课件
