（江苏专用）高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第16课 导数的概念及运算 文-人教版高三全册数学试题

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1、第16课 导数的概念及运算(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修1-1P57例4改编)函数f(x)=-2x+10在区间-3，-1内的平均变化率为.【答案】-2【解析】=-2.2.(选修2-2P14练习2改编)若函数f(x)=，则f(1)=.【答案】【解析】因为f(x)=，所以f(1)=.3.(选修2-2P12练习2改编)一个物体的运动方程为s=1-t+t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是m/s.【答案】5【解析】s(t)=2t-1，s(3)=23-1=5.4.(选修2-2P20练习2改编)已知函数f(x)=sin x+cos x，x(0，2).若f

2、(x0)=0，则x0=.【答案】【解析】f(x)=cos x-sin x，因为f(x0)=0，则f(x0)=cos x0-sin x0=0，所以x0=.5.(选修2-2P26习题8改编)已知函数f(x)=，则f(x)的导函数f(x)=.【答案】【解析】因为f(x)=，所以由导数运算法则得f(x)=.1.函数的平均变化率一般地，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为.2.导数的概念设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值=无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0).若函数y=

3、f(x)在开区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f(x).3.导数的几何意义(1)设s=s(t)是位移函数，则s(t0)表示物体在t=t0时刻的瞬时速度.(2)设v=v(t)是速度函数，则v(t0)表示物体在t=t0时刻的瞬时加速度.4.基本初等函数求导公式(1)(x)=(为常数)；(2)(ax)=axln a(a0且a1)，(ex)=ex；(3)(logax)=(a0且a1)，(ln x)=；(4)(sin x)=cos x，(cos x)=-sin x.5.导数的四则运算法则(1)=f(x)g(x

4、)；(2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)；(3)=cf(x)(c为常数)；(4)=(g(x)0).*6.复合函数求导的运算法则一般地，设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f(x)在点x处也有导数，且yx=yuux.【要点导学】要点导学各个击破利用定义求导数例1利用导数的定义解答下列问题.(1)求f(x)=在x=1处的导数；(2)求f(x)=的导数.【思维引导】由导数的定义可知，函数y=f(x)在x处的导数是函数的增量y=f(x+x)-f(x)与自变量的增量x之比在x0时的无限趋近值.【解答】(1)因为=，所

5、以当x0时，-.所以f(1)=-.(2)因为=，所以当x0时，-，所以f(x)=-.【精要点评】(1)根据概念求函数的导数是求导的基本方法，要注意遵照“一差”、“二比”、“三趋零”的求导步骤；(2)要注意区分函数的导数与导数值的区别与联系，欲求导数值，先求其导数，再将数值代入.变式设函数f(x)在x=x0处可导.(1)若当x无限趋近于0时，无限趋近于1，求f(x0)的值；(2)若当x无限趋近于0时，无限趋近于1，求f(x0)的值.【解答】(1)=，当x0时，上式，故f(x0)=.(2)=-，当x0时，上式-，故f(x0)=-.求导公式的应用例2(1)函数f(x)=-cos x在x=时的导数值为

6、；(2)函数y=x3-2x的导数为；(3)函数y=sin x-2ex的导数为.【思维引导】(1)注意到-cos x的导数是sin x，再将x=的值代入即可；(2)函数和与差的导数等于导数的和与差，ex的导数仍然是ex.【答案】 (1)(2)y=3x2-2(3)y=cos x-2ex【解析】 (1)f(x)=sin x，当x=时，f=.【精要点评】求函数的导数的方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导.变式(1)函数y=+的导数为 ；(2)函数y=x的导数为 .【答案】 (1

7、)y=(2)y=3x2-【解析】(1)因为y=+=，所以y=.(2)因为y=x3+1+，所以y=3x2-.导数物理意义的应用例3神舟飞船发射后的一段时间内，第t s时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，t的单位是s.(1)求第1 s内的平均速度v；(2)求第1 s末的瞬时速度；(3)经过多长时间飞船的速度达到75 m/s?【思维引导】飞船在t s到(t+t)s时间内的平均速度为=.飞船在t s末的瞬时速度是当t0时，=无限趋近的常数值，也就是h(t)在(t，h(t)处的导数，即v(t)=h(t).【解答】(1)v=80(m/s).(2)v(t)=h(t)=15t2+

8、60t+45，所以v(1)=120(m/s).(3)由v(t)=75，得15t2+60t+45=75，解得t=-2或t=-2(舍去)，所以t=-2(s).【精要点评】抓住导数的定义v(t)=h(t)是解决第(2)小题的关键.变式将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油的温度(单位：)为f(x)=x2-7x+15(0x8)，计算第2小时和第6小时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.【思维引导】要求瞬时变化率，就是要求温度函数的导数.【解答】在第2小时和第6小时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)，根据导数定义=x-3，所以f(2)=-3

9、，同理可得f(6)=5.故在第2小时和第6小时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5，说明在第2小时附近，原油温度大约以3 / h的速率下降，在第6小时附近，原油温度大约以5 /h的速率上升.【精要点评】求导的方法有定义法和公式法两种，本题用定义法求导数，其中瞬时变化率就是根据定义对速度进行求导.利用导数的四则运算法则求函数的导数例4求下列函数的导数.(1)y=x4-3x2-5x+6；(2)y=xtan x；(3)y=.【思维引导】本题主要利用导数的四则运算法则求函数的导数，解题的关键是仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数的求导公式，不具备求导条件的函数可进行适当的

10、恒等变形.【解答】(1)y=(x4-3x2-5x+6)=(x4)-(3x2)-(5x)+6=4x3-6x-5.(2)y=(xtan x)=.(3)方法一：y=.方法二：因为y=1-，所以y=-=.【精要点评】通过本例可以看出，只有深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性.同时，在解决问题时要做到举一反三.变式设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)，求f(0).【思维引导】本题主要应用导数乘法的运算法则求导数，求f(0)，应先求f(x)，由已知怎样求f(x)，考虑将多个因式之积看成两个因式之积，便可应用积的求导法则解题.【解

11、答】令g(x)=(x+1)(x+2)(x+n)，所以f(x)=xg(x).两边求导得f(x)=xg(x)+xg(x)=g(x)+xg(x).所以f(0)=g(0)+0g(0)=g(0)=123n=n!.【精要点评】灵活应用导数的乘法运算法则是本题的一大技巧.1.(2015泰州中学)已知函数f(x)=1+，则f(x)在区间1，2，上的平均变化率分别为.【答案】-，-2【解析】=-=-2.2.(2015南通模拟)已知函数f(x)=ex-f(0)x+x2，则f(1)=.【答案】e【解析】由题意得f(0)=e0-f(0)0+02=1，则f(x)=ex-x+x2，所以f(x)=ex-1+x，所以f(1)

12、=e1-1+1=e.3.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)=2t3-5t2(s的单位为m，t的单位为s)，则t=2 s时，汽车的瞬时速度为.【答案】4 m/s【解析】利用导数可求，注意结果要带单位.4.(2014泰安模拟)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)=(f(x)，若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上为凸函数的是.(填序号)f(x)=sin x+cos x；f(x)=ln x-2x；f(x)=-x3+2x-1； f(x)=xex.【答案】【解析】在定义域内，由f(x

13、)=-sin x-cos x0，得是凸函数；由f(x)=-0，得是凸函数；由f(x)=-6x0，得不是凸函数.5.求下列函数的导数.(1)y=(3x3-4x)(2x+1)；(2)y=x2sin x；(3)y=3xex-2x+e；(4)y=.【解答】(1)方法一：因为y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x，所以y=24x3+9x2-16x-4.方法二：y=(3x3-4x)(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)2=24x3+9x2-16x-4.(2)y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x.

14、(3)y=(3xex)-(2x)+(e)=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xexln 3+3xex-2xln 2=(ln 3+1)(3e)x-2xln 2.(4)y=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第3132页.【检测与评估】第三章导数及其应用第16课导数的概念及运算一、 填空题1.(2015盐城中学)若f(x)=x2-2x-4ln x，则f(x)0的解集是.2.某汽车的路程函数是s(t)=2t3-gt2(g=10 m/s2)，则当t=2 s时，汽车的加速度为.3.已知函数f(x)=x2+2xf(1)，则f(-1)=.4.已知函数f(x)=在x=1处的导

15、数为-2，那么实数a的值为.5.(2015天津卷)已知函数f(x)=axln x，x(0，+)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数，若f(1)=3，则a的值为.6.已知函数f(x)=fcos x+sin x，那么f（）的值为.7.(2014江苏模拟)同学们经过市场调查，得出了某种商品在2013年的价格y(单位：元)与时间t(单位：月)的函数关系为y=2+(1t12)，则10月份该商品价格上涨的速度是元/月.8.已知f1(x)=sinx+cosx，记f2(x)=f1(x)，f3(x)=f2 (x)，fn(x)=fn-1(x)(nN*且n2)，则f1+f2+f2 017=.二、 解答题 9.

16、求下列函数的导数.(1)y=xnex；(2)y=；(3)y=exln x；(4)y=(x+1)2(x-1).10.在F1赛车中，赛车位移与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t2(s的单位为m，t的单位为s).(1)当t=20 s，t=0.1 s时，求s与；(2)求t=20 s时的瞬时速度.11.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，定义f(x)是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的导函数.若f(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=x3-3x2+2x-2.(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标；(2)求证：f(x)的

17、图象关于“拐点”A对称.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015启东最后一卷)记定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f(x).如果存在x0a，b，使得f(b)-f(a)=f(x0)(b-a)成立，则称x0为函数f(x)在区间a，b上的“中值点”，那么函数f(x)=x3-3x在区间-2，2上的“中值点”的个数为.13.已知函数f(x)=(2x+1)ln(2x+1)，那么f(x)=.【检测与评估答案】第三章导数及其应用第16课导数的概念及运算1.(2，+)【解析】函数f(x)的定义域为(0，+)，f(x)=2x-2-0，解得x2.2.4 m/s2【解析】由题意知汽车的速度

18、函数为v(t)=s(t)=6t2-2gt，则v(t)=12t-2g，故当t=2 s时，汽车的加速度是v(2)=122-210=4(m/s2).3.-6【解析】f(x)=2x+2f(1)，f(1)=2+2f(1)，所以f(1)=-2，所以f(x)=x2-4x，f(x)=2x-4，f(-1)=-6.4. 2【解析】由题设得f(x)=-，当x=1时，-a=-2，即a=2.5.3【解析】因为f(x)=a(1+ln x)，所以f(1)=a=3.6.1【解析】由题意得f(x)=-fsin x+cos x f=-fsin+cos，所以f=-1，所以f(x)=(-1)cos x+sin x，所以f=(-1)c

19、os+sin=1.7.3【解析】因为y=2+(1t12)，所以y=，可知10月份该商品价格的上涨速度应为y|t=10=3(元/月).8. 1【解析】f2(x)=f1(x)=cosx-sinx，f3(x)=f2(x)=-sinx-cosx，f4(x)=f3(x)=sinx-cosx，f5(x)=f4(x)=sinx+cosx，故周期为4，前四项和为0，所以原式=f1=sin +cos =1.9. (1) y=nex+xnex=ex(n+x).(2) y=-.(3) y=exln x+ex=ex.(4) 因为y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x2-1)=x3+x2-x-1，所以y=3x2+2

20、x-1.10.(1) s=s(20+t)-s(20)=10(20+0.1)+5(20+0.1)2-1020-5202=21.05(m).=210.5(m/s).(2) 由导数的定义，知在t=20 s时的瞬时速度为v(t)=5t+10t+10.当t0，t=20 s时，v=1020+10=210(m/s).11. (1) f(x)=3x2-6x+2，f(x)=6x-6.令f(x)=6x-6=0，得x=1，f(1)=13-3+2-2=-2.所以拐点A的坐标为(1，-2).(2) 设P(x0，y0)是y=f(x)图象上任意一点，则y0=-3+2x0-2.因为P(x0，y0)关于点A(1，-2)的对称点为P(2-x0，-4-y0)，把P代入y=f(x)，得左边=-4-y0=-+3-2x0-2，右边=(2-x0)3-3(2-x0)2+2(2-x0)-2=-+3-2x0-2，所以左边=右边，所以点P(2-x0，-4-y0)在函数y=f(x)的图象上.所以y=f(x)的图象关于点A对称.12.2【解析】因为f(2)=2，f(-2)=-2，=1，所以f(x)=3x2-3=1，得x=-2，2，故有2个“中值点”.13.2ln(2x+1)+1