向量加法及减法

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1、 学 习 目 标 掌 握 向 量 加 法 的 定 义 ; 会 用 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 和 向 量 的 平 行 四 边 形法 则 作 两 个 向 量 的 和 向 量 ; 掌 握 向 量 加 法 的 交 换 律 和 结 合 律 ， 并 会 用 它 们 进行 向 量 计 算 平 面 向 量 数 量 积 的 定 义 和 运 算 律 的 应 用 . 问 题 提 出1.向 量 、 平 行 向 量 、 相 等 向 量 的 含 义 分别 是 什 么 ？2.用 有 向 线 段 表 示 向 量 ， 向 量 的 大 小 和方 向 是 如 何 反 映 的 ？ 什 么 叫 零 向 量 和 单位 向

2、量 ？ 3.两 个 实 数 可 以 相 加 ， 从 而 给 数 赋 予 了新 的 内 涵 .如 果 向 量 仅 停 留 在 概 念 的 层面 上 ， 那 是 没 有 多 大 意 义 的 .我 们 希 望两 个 向 量 也 能 相 加 ， 拓 展 向 量 的 数 学 意义 ， 提 升 向 量 的 理 论 价 值 ， 这 就 需 要 建立 相 关 的 原 理 和 法 则 . 探 究 一 ： 向 量 加 法 的 几 何 运 算 法 则 思 考 1： 如 图 ， 某 人 从 点 A到 点 B， 再 从 点 B按原 方 向 到 点 C， 则 两 次 位 移 的 和 可 用 哪 个 向 量表 示 ？ 由

3、此 可 得 什 么 结 论 ？A B CACBCAB 思 考 2： 如 图 ， 某 人 从 点 A到 点 B， 再 从 点 B按反 方 向 到 点 C， 则 两 次 位 移 的 和 可 用 哪 个 向量 表 示 ？ 由 此 可 得 什 么 结 论 ？ ACBCAB A B C 思 考 3： 如 图 ， 某 人 从 点 A到 点 B， 再 从 点B改 变 方 向 到 点 C， 则 两 次 位 移 的 和 可 用哪 个 向 量 表 示 ？ 由 此 可 得 什 么 结 论 ？A B CACBCAB 思 考 4： 上 述 分 析 表 明 ， 两 个 向 量 可 以 相 加 ，并 且 两 个 向 量 的

4、 和 还 是 一 个 向 量 .一 般 地 ，求 两 个 向 量 和 的 运 算 ， 叫 做 向 量 的 加 法 .上述 求 两 个 向 量 和 的 方 法 ， 称 为 向 量 加 法 的 三角 形 法 则 .对 于 下 列 两 个 向 量 a与 b， 如 何 用三 角 形 法 则 求 其 和 向 量 ？a C a bA Ba 思 考 5： 图 1表 示 橡 皮 条 在 两 个 力 F1和 F2的 作 用 下 ， 沿 MC方 向 伸 长 了 EO； 图 2表示 橡 皮 条 在 一 个 力 F的 作 用 下 ， 沿 相 同方 向 伸 长 了 相 同 长 度 .从 力 学 的 观 点 分析 ， 力

5、 F与 F1、 F2之 间 的 关 系 如 何 ？M CE O F1F 2图 1M E O F图 2 F=F1+F2F CO A BOA OBOC思 考 6： 人 在 河 中 游 泳 ， 人 的 游 速为 ,水 流 速 度 为 ， 那 么 人 在 水中 的 实 际 速 度 与 、 之 间 的 关系 如 何 ？ OAOB 思 考 7： 上 述 求 两 个 向 量 和 的 方 法 ， 称 为向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 .对 于 下 列 两个 向 量 a与 b， 如 何 用 平 行 四 边 形 法 则 求其 和 向 量 ？a B AaO 思 考 8： 用 三 角 形 法 则 和

6、平 行 四 边 形 法则 求 作 两 个 向 量 的 和 向 量 ， 其 作 图 特 点分 别 如 何 ？三 角 形 法 则 ： 首 尾 相 接 连 端 点 ；平 行 四 边 形 法 则 ： 起 点 相 同 连 对 角 . 思 考 1： 零 向 量 0与 任 一 向 量 a可 以 相 加 吗 ？ 探 究 二 ： 向 量 加 法 的 代 数 运 算 性 质规 定 ： a 0=0 a=a，思 考 2： 若 向 量 a与 b为 相 反 向 量 ， 则 a b等 于 什 么 ？ 反 之 成 立 吗 ？思 考 3： 若 向 量 a与 b同 向 ， 则 向 量 a b的方 向 如 何 ？ 若 向 量 a与

7、 b反 向 ， 则 向 量 ab的 方 向 如 何 ？ a与 b 为 相 反 向 量 a b=0 思 考 4： 考 察 下 列 各 图 ， |a b|与 |a|b|的 大 小 关 系 如 何 ？ |a b|与 |a| |b|的大 小 关 系 如 何 ？A BC a b a a a b aa b|a b|a| |b|， 当 且 仅 当 a与 b同 向 时 取等 号 ；|a b|a| |b|， 当 且 仅 当 a与 b反 向 时 取等 号 . 思 考 5： 实 数 的 加 法 运 算 满 足 交 换 律 ， 即对 任 意 a， b R， 都 有 a b=b a.那 么 向量 的 加 法 也 满 足

8、 交 换 律 吗 ？ 如 何 检 验 ？B a ba CAaO OCACOAba OCBCOBab O Aa 思 考 6： 实 数 的 加 法 运 算 满 足 结 合 律 ，即 对 任 意 a， b， c R， 都 有 （ a b） c=a （ b c） .那 么 向 量 的 加 法 也 满 足结 合 律 吗 ？ 如 何 检 验 ？ a+b+ca C c BAaO OCBCOBBCABOA cba OCACOABCABOA cba nnn OAAAAAAAOA 132211 nn AAAAAAOA 132211 思 考 7： 等 于 什 么 向 量 ？ Onnn AAAAAAAAOA 1322

9、11 等 于 什 么 向 量 ？ 0 132211 Onnn AAAAAAAAOA 理 论 迁 移例 1 如 图 ， 一 艘 船 从 A点 出 发 以 的速 度 向 垂 直 于 对 岸 的 方 向 行 驶 ， 同 时 河水 的 流 速 为 2km/h， 求 船 的 实 际 航 行的 速 度 的 大 小 与 方 向 (用 与 流 速 间 的 夹角 表 示 ). A DA BC hkm/32 解 ： 设 表 示 船 垂 直 于 对 岸 行 驶 的 速 度 ， 表 示 水 流 的速 度 ， 以 AD,AB为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ABCD， 则 就 是 船的 实 际 航 行 的 速 度 .

10、 AD AC 在 中 ， ，所 以 ABCRt 2| AB 32|BC| 4|BC|AB|AC| 22 因 为 2 3tan CAB 3 CAB 602 答 ： 船 的 实 际 航 行 的 速 度 的 大 小 为 ,方 向 与 水 流速 间 的 夹 角 为 . h/km4 60 AB 课 堂 练 习n 1、 一 艘 船 从 A点 出 发 以 的 速 度 向 垂 直 于 对 岸 的 方 向行 驶 ， 船 的 实 际 航 行 的 速 度 的 大 小 为 4km/h， 求 水 流 的 速度 .n 2、 一 艘 船 距 对 岸 ， 以 的 速 度 向 垂 直 于 对 岸 的方 向 行 驶 ， 到 达

11、对 岸 时 ， 船 的 实 际 航 程 为 8km， 求 河 水 的流 速 .n 3、 一 艘 船 从 A点 出 发 以 v1的 速 度 向 垂 直 于 对 岸 的 方 向 行 驶 ，同 时 河 水 的 流 速 为 v 2， 船 的 实 际 航 行 的 速 度 的 大 小 为4km/h， 方 向 与 水 流 间 的 夹 角 是 ， 求 v1和 v2. n 4、 一 艘 船 以 5km/h的 速 度 在 行 驶 ， 同 时 河 水 的 流 速 为2km/h， 则 船 的 实 际 航 行 速 度 大 小 最 大 是 _km/h， 最小 是 _km/h. hkm/324 3km hkm /32 60

12、 小 结1.向 量 概 念 源 于 物 理 ， 位 移 的 合 成 是 向 量 加 法三 角 形 法 则 的 物 理 模 型 ， 力 的 合 成 是 向 量 加 法平 行 四 边 形 法 则 的 物 理 模 型 .2.任 意 多 个 向 量 可 以 相 加 ， 并 可 以 按 任 意 次 序 、组 合 进 行 .若 平 移 这 些 向 量 使 其 首 尾 相 接 ， 则以 第 一 个 向 量 的 起 点 为 起 点 ， 最 后 一 个 向 量 的终 点 为 终 点 的 向 量 ， 即 为 这 些 向 量 的 和 .3.两 个 向 量 的 和 的 模 不 大 于 这 两 个 向 量 的 模 的和 ， 这 是 一 个 不 等 式 性 质 ， 解 题 中 具 有 一 定 的功 能 作 用 . 作 业 ：（ 一 ） 课 时 作 业 5.2.1（ 二 ） 1、 预 习 内 容 ： 课 本 p110p112 2、 预 习 提 纲（ 1） 向 量 减 法 的 定 义 ；（ 2） 向 量 减 法 的 三 角 形 法 则 ；（ 3） 向 量 减 法 与 加 法 的 联 系 .