勾股定理与方程

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1、 BCA直 角 三 角 形 两 条 直 角 边 的 平 方 和 等 于 斜 边 的 平 方ab c 2 2a b c 2 勾 股 定 理 的 常 见 表 达 式 和 变 形 式 在 直 角 三 角 中 ， 如 果 已 知 两 边 的 长 ，利 用 勾 股 定 理 就 可 以 求 第 三 边 的 长 ；那 么 如 果 已 知 一 条 边 长 及 另 两 边 的数 量 关 系 ， 能 否 求 各 边 长 呢 ？ 感 受 新 知 1 （ 二 ） 例 题【 问 题 1】 如 何 在 实 际 问 题 中 ， 利 用 勾 股 定 理 解 决 问 题 呢 ？例 1 .有 一 个 水 池 ,水 面 是 一 个

2、 边 长 为 l0尺的 正 方 形 .在 水 池 正 中 央 有 一 根 芦 苇 .它 高出 水 面 l尺 .如 果 把 这 根 芦 苇 拉 向 水 池 一 边的 中 点 ,它 的 顶 端 恰 好 到 达 池 边 的 水 面 .水的 深 度 与 这 根 芦 苇 的 长 度 分 别 是 多 少 ? 例 1 .有 一 个 水 池 ,水 面 是 一 个 边 长 为 l0尺 的 正 方 形 .在 水 池 正中 央 有 一 根 芦 苇 .它 高 出 水 面 l尺 .如 果 把 这 根 芦 苇 拉 向 水 池 一边 的 中 点 ,它 的 顶 端 恰 好 到 达 池 边 的 水 面 .水 的 深 度 与 这

3、 根 芦苇 的 长 度 分 别 是 多 少 ? 设 计 意 图 ： 1.能 利 用 勾 股 定 理 解 决 简 单 的 实 际 问 题 ；2.通 过 用 代 数 式 、 方 程 等 表 述 数 量 关 系 的 过 程 ， 体会 模 型 的 思 想 ， 建 立 符 号 意 识 ；3.初 步 学 会 在 具 体 的 情 境 中 从 数 学 的 角 度 发 现 问 题 和提 出 问 题 ， 并 综 合 运 用 数 学 知 识 和 方 法 等 解 决 简 单 的实 际 问 题 ， 增 强 应 用 意 识 ， 提 高 实 践 能 力 ；4.本 题 是 我 国 古 代 数 学 著 作 九 章 算 术 中

4、的 问 题， 展 现 我 国 古 人 在 勾 股 定 理 应 用 研 究 方 面 的 成 果 . 2 2 2x+x +5 = x+x=12+ = 13解 ： 设 水 深 为 x尺 ， 则 芦 苇 长 为 （ 1） 尺 ，由 勾 股 定 理 ， 得 （ 1）芦 苇 长 ： 12 1 13答 ： 水 深 12尺 ， 芦 苇 长 为 尺 . X+1X 5C B D A 解 决 与 勾 股 定 理 有 关 的 实 际 问 题 时 ，先 要 抽 象 出 几 何 图 形 ， 从 中 找 出 直 角 三 角 形 ，再 设 未 知 数 ， 找 出 各 边 的 数 量 关 系 ， 最 后 根 据勾 股 定 理

5、求 解 . 2 2 2x+x +5 = x+x=12+ = 13解 ： 设 水 深 为 x尺 ， 则 芦 苇 长 为 （ 1） 尺 ，由 勾 股 定 理 ， 得 （ 1）芦 苇 长 ： 12 1 13答 ： 水 深 12尺 ， 芦 苇 长 为 尺 .小 结 ： X+1X 5CBD A E DB C AAB的 中 垂 线 DE交 BC于 点 DAD=BDBC=3 BD+CD AD+CD= = 3 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C=90 , AC=1，BC=3. AB的 中 垂 线 DE交 BC于 点 D, 连 结 AD，则 AD的 长 为 . x3-x感 受 新 知 2 在 直 角 三 角

6、 形中 （ 已 知 两 边的 数 量 关 系 ） 设 其 中一 边 为 x 利 用 勾 股 定 理列 方 程 解方程求 各 边 长 如 图 ， 有 一 张 直 角 三 角 形 纸 片 ， 两 直 角 边AC=6cm， BC=8cm, 现 将 直 角 边 沿 直 线 AD折 叠 ， 使 点 C落 在 斜 边 AB上 的 点 E， 求 CD的 长 . CB ADE 66例 1 解 ： 在 Rt ABC中 AC=6cm， BC=8cm AB=10cm设 CD DE xcm， 则 BD （ 8-x） cm 由 折 叠 可 知 AE AC 6cm， CD DE, C= AED=90 解 得 x 3 CD

7、=DE=3cm BE 10-6 4cm, BED=90在 Rt BDE中由 勾 股 定 理 可 得 （ 8-x） 2 x2+42 CB ADE 66例 1 【 问 题 2】 如 果 一 道 题 目 中 有 多 个 直 角 三 角 形 ， 我 们 如何 选 择 在 哪 个 直 角 三 角 形 中 利 用 勾 股 定 理 求 解 呢 ？例 2.已 知 矩 形 ABCD沿 直 线 BD折 叠 ， 使 点 C落在 同 一 平 面 内 C处 ， B C与 AD交 于 点 E，AD=8， AB=4， 求 DE的 长 . E C DA B C 例 2.已 知 矩 形 ABCD沿 直 线 BD折 叠 ， 使

8、点 C落 在 同 一 平 面 内 C处 ， B C与AD交 于 点 E， AD=8， AB=4， 求 DE的 长 .方 法 一 2 2 2 /1 32 31= 2t + -x =xx=55. ABCDAD BCBCD BD BC DBCD BC DBE DE DE 解 ： 四 边 形 为 矩 形沿 折 叠 得 到设 DE为 x， 则 BE=x， AE=8-x,在 R ABE中 ， 由 勾 股 定 理 得 ， 4 （ 8 ）答 ： 长 为 方 法 二 4 904 =90904= 5 ABCDCD AB A CBCD BD BC DBCD BC DC D CD C CAEB C EDA C AB

9、C DAEB C EDBE DE 解 ： 四 边 形 为 矩 形，沿 折 叠 得 到，在 和 中 2 2 2t + -x =xx=55.DE设 DE为 x， 则 BE=x， AE=8-x,在 R ABE中 ， 由 勾 股 定 理 得 ，4 （ 8 ）答 ： 长 为 例 2.已 知 矩 形 ABCD沿 直 线 BD折 叠 ， 使 点 C落 在 同 一平 面 内 C处 ， B C与 AD交 于 点 E， AD=8， AB=4，求 DE的 长 . E C DA B C1.如 果 一 道 题 目 中 有 多 个 直 角 三 角 形 ， 要 选 择 能 够 用一 个 未 知 数 表 示 出 三 条 边

10、的 直 角 三 角 形 （ 边 也 可 为 常数 ） ， 在 这 个 三 角 形 中 利 用 勾 股 定 理 求 解 . 2.解 决 折 叠 问 题 的 关 键 ： 在 动 、 静 的 转 化 中 找 出 不 变 量 .小 结 ： 例 2.已 知 矩 形 ABCD沿 直 线 BD折 叠 ， 使 点 C落 在 同 一平 面 内 C处 ， B C与 AD交 于 点 E， AD=8， AB=4，求 DE的 长 . E C DA B C注 意 ： 1.基 本 图 形 ： “ 平 行 、 角 平 分 线 、 等 腰 三 角 形 ”知 二 推 一 2.折 叠 问 题 ： 折 叠 图 形 前 后 两 个 图

11、 形 全 等 ， 最 好在 图 中 标 出 相 等 的 线 段 和 角 . 练 习 思 考 11、 如 图 ， 铁 路 上 A， B两 点 相 距 25km， C， D为 两 村 庄 ， DA AB于 A， CB AB于 B， 已 知 DA=15km， CB=10km， 现 在 要 在 铁 路 AB上 建 一 个 土 特 产 品 收 购 站 E， 使 得 C， D两 村 到 E站 的 距 离 相 等 ， 则 E站 应 建 在 离 A站 多 少 km 处 ？ CA E BD 解 ：设 AE= x km， 则 BE=（ 25-x） km根 据 勾 股 定 理 ， 得 AD2+AE2=DE2 BC2

12、+BE2=CE2 又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2即 ： 152+x2=102+（ 25-x） 2 x=10 答 ： E站 应 建 在 离 A站 10km处 。x 25-x CA E BD15 10思 考 1 在 一 棵 树 BD的 5m高 A处 有 两 只小 猴 子 ， 其 中 一 只 猴 子 爬 到 树 顶 D后 跳 到 离 树 10m的 地 面 C处 ， 另 外一 只 猴 子 爬 下 树 后 恰 好 也 走 到 地面 C处 ， 如 果 两 个 猴 子 经 过 的 距 离相 等 ， 问 这 棵 树 有 多 高 ？ ABC D5m 10m 思 考 2 ABC D解 ： 如 图

13、 ， D为 树 顶 ， AB=5 m,BC=10 m. 设 AD长 为 x m， 则 树 高 为 (x+5)m. AD + DC = AB + BC, DC = 10 + 5 x = 15 - x.在 Rt ABC中 ， 根 据 勾 股 定 理 得解 得 x=2.5 答 ： 树 高 为 7.5米 。 5m10m x+5=2.5+5=7.510 2+ (5 + x )2= (15 x)2思 考 2 例 3. 已 知 ： 如 图 ， ABC中 ， AB=16， AC=14，BC=6， 求 ABC的 面 积 . 【 问 题 3】 如 果 题 目 中 既 没 有 直 角 三 角 形 ， 也 没 有直

14、角 ， 怎 么 利 用 勾 股 定 理 求 解 ？ A B C设 计 意 图 ： 经 历 对 几 何 图 形 的 观 察 、 分 析 ， 初 步 掌握 利 用 分 割 图 形 构 造 直 角 三 角 形 的 方 法 ， 了 解特 殊 与 一 般 的 转 化 思 想 ; 例 3. 已 知 ： 如 图 ， ABC中 ， AB=16， AC=14，BC=6， 求 ABC的 面 积 . 2 2 2 2 2 2 2 2 22 214 (16 ) 636 3 3 31 1 16 3 3 24 32 224 3.ABC AD CD BC DBCDS AB CD 解 ： 作 CD AB于 D， 设 DB=x，

15、 则 AD=16-x， 由 勾 股 定 理 得 ， AC x xx答 ： ABC的 面 积 为方 法 一 ： DA B C 例 3. 已 知 ： 如 图 ， ABC中 ， AB=16， AC=14，BC=6， 求 ABC的 面 积 . 方 法 二 ： 2 2 22 2 22 2 2 214 (16 ) =6 =14 (16 ) 6 + =0=3 解 ： 作 CD AB于 D，设 DB=x， CD=y， 则 AD=16-x，由 勾 股 定 理 得 ，x y （ 1）x y （ 2）（ 1） （ 2） ， 得x xx 2 2 22=3 6 =27=3 3 = 3 3121 16 3 3 24 32

16、 24 3.ABCS AB CD 把 x 代 入 （ 2） 得 ，3 yyy 或 y （ 舍 去 ） 答 ： ABC的 面 积 为 DA B C 例 3. 已 知 ： 如 图 ， ABC中 ， AB=16， AC=14，BC=6， 求 ABC的 面 积 . 小 结 ： 1.题 目 中 既 没 有 直 角 三 角 形 ， 也 没 有 直 角 ， 可考 虑 利 用 作 垂 线 段 ， 分 割 图 形 的 方 法 ， 构 造 直角 三 角 形 ; 2. “斜 化 直 ” 即 ： 斜 三 角 形 化 为 直 角 三 角 形 求 解 . DA B C 例 3. 已 知 ： 如 图 ， ABC中 ， AB

17、=16， AC=14，BC=6， 求 ABC的 面 积 . 注 意 ： 1.本 题 可 选 择 列 方 程 或 方 程 组 求 解 ， 当 列 方 程组 求 解 时 ， 要 注 意 开 平 方 时 ， 是 两 种 情 况 ， 要舍 去 负 值 ； 当 列 方 程 求 解 CD时 ， 最 好 写 “ ” ， 可 以 省 去 后 面 的 讨 论 ;CD 2.本 题 也 可 以 过 A或 B作 对 边 的 高 . DA B C 1203 3 5 3ABC AB ADBC CD AB CD 例 4.一 块 四 边 形 的 土 地 ， 其 中 ， ， ， ， 求 这 块 土 地 的 面 积 .【 问 题

18、 4】 如 果 题 目 中 没 有 直 角 三 角 形 ， 但 存 在 直 角 ，怎 么 利 用 勾 股 定 理 求 解 ？ D C B A 设 计 意 图 ： 1203 35 3 ABCAB AD BC CD ABCD 例 4.一 块 四 边 形 的 土 地 ， 其 中 ， ， ， 求 这 块 土 地 的 面 积 .【 问 题 4】 如 果 题 目 中 没 有 直 角 三 角 形 ， 但 存 在 直 角 ，怎 么 利 用 勾 股 定 理 求 解 ？ D CBA1.经 历 对 几 何 图 形 的 观 察 、 分 析 ， 初 步 掌 握 利 用 “补 ” 图 形 构 造 直 角 三 角 形 的

19、方 法 ， 了 解 特 殊 与 一 般的 转 化 思 想 ;2.题 目 中 设 置 的 已 知 量 并 不 是 整 数 ， 意 在 增 强 学 生的 计 算 能 力 . 1203 35 3 ABCAB AD BC CD ABCD 例 4.一 块 四 边 形 的 土 地 ， 其 中 ， ， ， 求 这 块 土 地 的 面 积 . D C B A 1203 35 3 ABCAB AD BC CD ABCD 例 4.一 块 四 边 形 的 土 地 ， 其 中 ， ， ， 求 这 块 土 地 的 面 积 .小 结 ： 题 目 中 没 有 直 角 三 角 形 ， 但 存 在 直角 ， 可 以 考 虑 “

20、 补 ” 出 直 角 三 角 形 求 解 .实际 上 ， 本 题 利 用 “ 割 ” 也 有 多 种 做 法 . D C B A 小 结 ： 题 目 中 没 有 直 角 三 角 形 ， 但 存 在 直角 ， 可 以 考 虑 “ 补 ” 出 直 角 三 角 形 求 解 .实际 上 ， 本 题 利 用 “ 割 ” 也 有 多 种 做 法 . 1203 35 3 ABCAB AD BC CD ABCD 例 4.一 块 四 边 形 的 土 地 ， 其 中 ， ， ， 求 这 块 土 地 的 面 积 .注 意 ： 1.本 题 的 解 法 很 多 ， 但 是 解 法 上 却 有 的 简 单 ，有 的 复

21、杂 ， 要 选 择 好 方 法 ; 2.注 意 不 要 跳 步 .不 能 直 接 用 结 论 ： “ 含 有30 的 直 角 三 角 形 的 三 边 的 比 为 ： ” ;如 ： 要 求 CE， 需 先 求 DE， 再 由 勾 股 定 理 求CE. 1 32： ： D C B A 【 问 题 5】 如 果 将 勾 股 定 理 中 “ 直 角 三 角 形 ” 改为 “ 斜 三 角 形 ” ， 的 关 系 会 是怎 样 呢 ？ 2 2 2a b c 与思 考 题 ： 在 ABC中 ， BC=a， AC=b， AB=c， 若 C=90 ， 如 图 ， 根 据 勾 股 定 理 ， 则 ， 若 ABC不

22、 是 直 角 三 角 形 ， 如 图 和 图 ， 请 你类 比 勾 股 定 理 ， 试 猜 想 的 关 系 ，并 证 明 你 的 结 论 . 2 2 2=a b c 2 2 2a b c 与 思 考 题 ： 在 ABC中 ， BC=a， AC=b， AB=c， 若 C=90 ， 如 图 ， 根 据勾 股 定 理 ， 则 ， 若 ABC不 是 直 角 三 角 形 ， 如 图 和 图 ，请 你 类 比 勾 股 定 理 ， 试 猜 想 的 关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 . 2 2 2=a b c2 2 2a b c 与设 计 意 图 ： 1.从 证 明 方 法 角 度 看 ， 通 过 利

23、用 “ 割 ” 、 “ 补 ”图 形 构 造 直 角 三 角 形 的 方 法 ， 得 出 类 似 勾 股 定 理的 结 论 ， 它 是 本 节 课 所 学 知 识 的 综 合 应 用 ； 2.从 结 论 上 看 ， 三 角 形 的 边 长 由 具 体 的 数 变 成 了 字母 ， 结 论 具 有 普 遍 性 ， 它 也 是 本 章 第 18.1小 节 勾股 定 理 的 推 广 ， 体 现 了 特 殊 与 一 般 的 转 化 思 想 . 思 考 题 ： 在 ABC中 ， BC=a， AC=b， AB=c， 若 C=90 ， 如 图 ， 根 据勾 股 定 理 ， 则 ， 若 ABC不 是 直 角

24、三 角 形 ， 如 图 和 图 ，请 你 类 比 勾 股 定 理 ， 试 猜 想 的 关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 . 2 2 2=a b c2 2 2a b c 与小 结 ： 若 ABC是 锐 角 三 角 形 ， 则 有 ，若 ABC是 钝 角 三 角 形 ， C为 钝 角 ， 则 有 . 2 2 2a b c 2 2 2a b c . 思 考 题 ： 在 ABC中 ， BC=a， AC=b， AB=c， 若 C=90 ， 如 图 ， 根 据勾 股 定 理 ， 则 ， 若 ABC不 是 直 角 三 角 形 ， 如 图 和 图 ，请 你 类 比 勾 股 定 理 ， 试 猜 想 的 关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 . 2 2 2=a b c2 2 2a b c 与 . 注 意 ： 锐 角 三 角 形 和 钝 角 三 角 形 都 要 过 点 A或 点B作 高 ， 才 能 得 出 结 论 . 小 结