高等数学导数的应用pptPPT课件

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1、高等数学导数的应用pptPPT课件（优质）高等数学导数的应用pptPPT课件第二节第二节 函数的性质函数的性质 一一.函数的单调性函数的单调性二二.函数的极值函数的极值本节主要内容本节主要内容:三三.函数的最值函数的最值四四.曲线的凹凸性曲线的凹凸性五五.曲线的渐近线曲线的渐近线六六.函数的分析作图法函数的分析作图法一、函数的单调性一、函数的单调性定理定理3.2.1（函数单调性的判定法）设（函数单调性的判定法）设y=f(x)在在a,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导，则内可导，则（1)如果在如果在(a,b)内内f (x)0，那么函数，那么函数y=f(x)在在a,b上单上单调增加

2、；调增加；（2)如果在如果在(a,b)内内f (x)0由函数图像可知函数在由函数图像可知函数在(-,+)上是单调递增的上是单调递增的当当x=0时，时，y=0当当f(x)在某区间内仅在个别点处的导数为在某区间内仅在个别点处的导数为0或不存在，或不存在，而在其余各点处导数均为正（或负）时，而在其余各点处导数均为正（或负）时，f(x)在该区在该区间仍是单增（或单减）的。间仍是单增（或单减）的。解解例例2讨论函数讨论函数f(x)=ex-x-1的单调性的单调性.函数函数的定义域为的定义域为(-,+)；当当x0时，时，y 0,函数在函数在(0,+)上单调增加上单调增加当当x0时，时，y 0时，时，y 0,

3、函数在函数在(0,+)上单调增加上单调增加当当x0时，时，y 0时，时，ex1+xf (x)=ex-1所以所以 x0,+),有有f(x)f(0)=0，即，即ex-1-x0令令f(x)=ex-1-x，则，则f(x)在在0,+)上连续、可导上连续、可导,且且当当x0时，时，y 0,函数在函数在0,+)上单调增加上单调增加所以所以当当x0时，时，ex1+x利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式证明证明又因为：又因为：f(0)=0，所以：当所以：当x0时，时，y 0,函数在函数在0,+)上单调增加上单调增加所以所以 x0,+),有有f(x)f(0)，即不等式成立，即不等式成立.例例7证明：证明：令令

4、则则证明证明oxyy=(x)Mmab设函数设函数y=(x)在在(a b)内图形如下图内图形如下图:在在 1处的函数值处的函数值f(1)比它附近各点的函数值都要小比它附近各点的函数值都要小;而在而在 2处的函数值处的函数值f(2)比它附近各点的函数值都要大比它附近各点的函数值都要大;但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,为此为此,我我们引入极值与极值点的概念们引入极值与极值点的概念.二、函数的极值二、函数的极值定义定义3.2.1设函数设函数f(x)在在x0的某领域的某领域N(x0,)内有内有定义，定义，都有，都有（1）f(x)f(x0)成立，则称成立，

5、则称f(x0)为函数为函数f(x)的极小值的极小值函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点得极值的点称为极值点注：注：注：注：1 1、极值是指函数值，而极值点是自变量的值；、极值是指函数值，而极值点是自变量的值；、极值是指函数值，而极值点是自变量的值；、极值是指函数值，而极值点是自变量的值；2 2、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较，该、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较，该、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较，该、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较，该点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最大

6、点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最大点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最大点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大；或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大；或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大；或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大；3 3、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。f(x)的极小值点的极小值点:f(x)的极大值点的极大值点:定理定理3.2.2（极值的必要条件）

7、设函数（极值的必要条件）设函数f(x)在点在点x0处处可导，且在点可导，且在点x0处取得极值，那么函数处取得极值，那么函数f(x)在点在点x0处的处的导数为零，即导数为零，即f (x0)=0极值的必要条件极值的必要条件1、可导函数的极值点必是它的驻点、可导函数的极值点必是它的驻点.从而有几何意义从而有几何意义:可导函数的图形在极值点处的切线是可导函数的图形在极值点处的切线是与与x 轴平行的轴平行的(罗尔定理罗尔定理).2、对可导函数来说、对可导函数来说,驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点.即曲线上有水平切线的地方即曲线上有水平切线的地方,函数不一定有极值函数不一定有极值.如如oxy则则x=0

8、 为为 f(x)=x3 的的驻驻点点.如如图图：x=0 不是不是f(x)=x3 的极的极值值点点.说明：说明：3、对于函数、对于函数y=|x|,我们已知我们已知x=0是函数的连续不是函数的连续不可导点可导点.但但x=0是函数的极小值点是函数的极小值点.如图如图.oxy=|x|实际上实际上,连续不可导点也可能是极值点连续不可导点也可能是极值点.因而函数还可能在连续不可导点处取得极值因而函数还可能在连续不可导点处取得极值.定理定理3.2.3（极值的第一充分条件）设函数（极值的第一充分条件）设函数f(x)在点在点x0某个空心邻域内可导（某个空心邻域内可导（f (x0)可以不存在），可以不存在），x为

9、该为该邻域内任意一点，邻域内任意一点，（1）当）当x0，当，当xx0时时f (x)0，则，则f(x0)为为函数函数f(x)的极大值；的极大值；（2）当）当xx0时时f (x)x0时时f (x)0，则，则f(x0)为为函数函数f(x)的极小值；的极小值；（3）当）当xx0时时f (x)的符号相同，则的符号相同，则f(x0)不是函不是函数数f(x)的极值的极值极值的充分条件极值的充分条件(是极值点情形是极值点情形)(不是极值点情形不是极值点情形)定理定理3.2.4（极值的第二充分条件）设函数（极值的第二充分条件）设函数f(x)在点在点x0处二阶可导，且处二阶可导，且f (x0)=0，f (x0)0

10、，则则（1）当）当f (x0)0时，函时，函f(x)在点在点x0处取得极小值处取得极小值注：注：注：注：1 1、第一充分条件适用于驻点和不可导点，而第、第一充分条件适用于驻点和不可导点，而第、第一充分条件适用于驻点和不可导点，而第、第一充分条件适用于驻点和不可导点，而第二充分条件只能对驻点判定；二充分条件只能对驻点判定；二充分条件只能对驻点判定；二充分条件只能对驻点判定；2 2、当、当、当、当f f (x x0 0)=0 0时，无法判定时，无法判定时，无法判定时，无法判定 f f(x x)在点在点在点在点x x0 0处是否有极值处是否有极值处是否有极值处是否有极值（1）确定函数）确定函数f(x

11、)的考察范围，（除指定范围外，考的考察范围，（除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）；察范围一般是指函数定义域）；（2）求出函数）求出函数f(x)的导数的导数f (x)；求出函数求出函数f(x)的所有的所有驻点及不可导点，即求出驻点及不可导点，即求出f (x)=0的根和的根和f (x)不存在的不存在的点；点；（3）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判定）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出相应的极值应的极值 求极值的方法：求极值的方法：例例8求函数求函数的极值的极值（3）列表）列表（1）函数

12、）函数的定义域为的定义域为(-,+)；(-,-2)0(-2,-4/5)-4/5(1,+)+极大值极大值0-0+所以所以f(x)在在x=0处取得极大值为处取得极大值为0，在，在x=-4/5处取得极小处取得极小值为值为-8.4（2）,无不可导点无不可导点令令f (x)=0，得，得0极小值极小值-8.4(-4/5，1)+10无极值无极值解解例例9求函数求函数的极值的极值令令f (x)=0，得，得（1）函数）函数的定义域为的定义域为(-,+)；所以所以f(x)在在x=-1处取得极大值为处取得极大值为17，在，在x=3处取得处取得极小值为极小值为-47（2）,无不可导点无不可导点（3）因为因为解解定义定

13、义3.2.2设函数设函数f(x)在区间在区间I上有定义，上有定义，x1,x2 I，（1）若）若 x I，都有，都有f(x)f(x1)成立，则称成立，则称f(x1)为函数为函数f(x)的最大值，的最大值，x1为函数为函数f(x)的最大值点；的最大值点；（2）若）若 x I，都有，都有f(x)f(x2)成立，则称成立，则称f(x2)为函数为函数f(x)的最小值，的最小值，x2为函数为函数f(x)的最小值点的最小值点函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取得最值的点称为最值点数取得最值的点称为最值点三、函数的最值三、函数的最值1.最值是一个整体概念，在

14、某一范围内，最值若存在，最值是一个整体概念，在某一范围内，最值若存在，只能是唯一的；只能是唯一的；2.最值点可以是最值点可以是I 内部的点，也可以是端点；内部的点，也可以是端点；3.如果最值点不是如果最值点不是I 的端点，那么它必定是极值点；极的端点，那么它必定是极值点；极值点不一定是最值点值点不一定是最值点4.当函数存在唯一的极值点时，函数的极大（小）值当函数存在唯一的极值点时，函数的极大（小）值就是函数的最大（小）值就是函数的最大（小）值.说明：说明：（2）求出函数）求出函数f(x)在内的所有可能极值点：驻点及不在内的所有可能极值点：驻点及不可导点，即求出可导点，即求出f (x)=0的根和

15、的根和f (x)不存在的点；不存在的点；（3）计算函数）计算函数f(x)在驻点、不可导点处及端点在驻点、不可导点处及端点a，b处处的函数值；的函数值；（4）比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大）比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最大值，最小者的即为函数的最小值值，最小者的即为函数的最小值（1）确定函数确定函数f(x)的考察范的考察范围围（除指定范（除指定范围围外，考察范外，考察范围围一般是指函数定一般是指函数定义义域）；域）；求最值的方法（一）：求最值的方法（一）：例例10求函数求函数在区间在区间0,4上的最值上的最值.（3）计算得）计算得f(-1)=32,f(2)=5,又又f(0)

16、=25,f(4)=57（1）考察区间为）考察区间为0,4；所以所以f(x)在区间在区间0,4上的最大值是上的最大值是f(4)=57,最小值最小值是是f(2)=5（2）,无不可导点无不可导点令令f (x)=0，得，得解解（1）当）当f(x0)是极大值时，是极大值时，f(x0)就是区间就是区间I上的最大值上的最大值；（2）当）当f(x0)是极小值时，是极小值时，f(x0)就是区间就是区间I上的最小值上的最小值.设设函数函数f(x)在区在区间间I内可内可导导，且只有唯一，且只有唯一驻驻点点x0，又，又x0是是f(x)的极的极值值点，点，则则（）（）求最值的方法（二）：求最值的方法（二）：x R,有有

17、令令f (x)=0有唯一驻点有唯一驻点假设假设例例11证明：证明：x R,有有又又所以函数所以函数f(x)在在x=1/2处取得极小值，即最小值处取得极小值，即最小值因而因而 x R,有有f(x)0即即证明证明在在实际问题实际问题中中,往往根据往往根据问题问题的性的性质质就可以断定可就可以断定可导导函数函数f(x)必存在最大必存在最大值值(或最小或最小值值),而且一定在定而且一定在定义义区区间间内部取到内部取到.这时这时,如果如果f(x)在定在定义义区区间间内部只有唯一内部只有唯一驻驻点点x0,那么那么,可以断定可以断定f(x0)就是最大就是最大值值(或最小或最小值值).(不必不必讨讨论论f(x

18、0)是否是否为为极极值值).求最值的方法（三）：求最值的方法（三）：例例12要做一个容积为要做一个容积为V的有盖圆柱形水桶，问半的有盖圆柱形水桶，问半径径r与桶高与桶高h如何确定，可使所用材料最省？如何确定，可使所用材料最省？假设水桶表面积为假设水桶表面积为S，则，则容积容积要使所用材料最省，就要使水桶表面积最小要使所用材料最省，就要使水桶表面积最小解解令令S(r)=0,得唯一的驻点得唯一的驻点此时此时h=2r0，所以当半径，所以当半径r为为，桶高，桶高h为为时，可使所用材料最省时，可使所用材料最省(1)根据题意建立函数关系式根据题意建立函数关系式y=f(x)；(2)根据实际问题确定函数的定义

19、域；根据实际问题确定函数的定义域；(3)求出驻点；若定义域为开区间且驻点只有一个，则求出驻点；若定义域为开区间且驻点只有一个，则该驻点所对应函数值就是所求该驻点所对应函数值就是所求.如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小值，则需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即值，则需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求最小值为所求最大值，其中最小值即为所求最小值.实际问题求最值实际问题求最值曲线的凹凸性是描述函数性状的一个更深入的概念曲线的凹凸性是描述函数性状的一个更深入的概念.例如：例如：yxo四、曲线的凹凸性四、曲线

20、的凹凸性（1）（2）xyoxyo曲线曲线(1)(1)上任意两点上任意两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)之间的弦上的点之间的弦上的点位于曲线相应点的下面，即曲线在弦之上；曲线位于曲线相应点的下面，即曲线在弦之上；曲线(2)则则相反，曲线在弦之下相反，曲线在弦之下.几何解释几何解释定义定义3.2.3设设f(x)在区间在区间a,b上连续上连续 如果对如果对(a,b)内任意两点内任意两点x1 x2 恒有恒有那么称那么称f(x)在在a,b上的图形是凹的（记为上的图形是凹的（记为“”）；如）；如果恒有果恒有那么称那么称f(x)在在a,b上的图形是凸的（记为上的图形是凸的（记为“”）；）；(1)(1

21、)观察切线与曲线的位置关系观察切线与曲线的位置关系.(1)凹凹曲线位于其任一点切线的上方；凸曲线位于其任一点切线的上方；凸曲线曲线位于其任一点切线的下方位于其任一点切线的下方(2)(2)观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.(2)凹凹切线斜率单调递增切线斜率单调递增；凸；凸切线斜率单调递减切线斜率单调递减观察与思考观察与思考定义定义3.2.4曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点如果如果(x0,f(x0)是拐点且是拐点且f(x0)存在存在,问问f(x0)=？如何找可能的拐点？如何找可能的拐点？如何确定曲线如何确定曲线y f(x)的拐

22、点？的拐点？oxyy=(x)aABbcC讨论讨论(1)在拐点在拐点(x0,f(x0)处处f(x0)=0或或f(x0)不存在不存在.(2)只有只有f(x0)等于零或不存在等于零或不存在,(x0,f(x0)才可能是拐点才可能是拐点.(3)如果在如果在x0的左右两侧的左右两侧f(x)异号异号,则则(x0,f(x0)是拐点是拐点.(2)拐点是曲线上的点拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标与从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示纵坐标同时表示,不能仅用横坐标表示不能仅用横坐标表示.这与驻点及极这与驻点及极值点的表示方法不一样值点的表示方法不一样.(1)拐点一定是拐点一定是f(x)=0或不存在的点

23、，但是或不存在的点，但是f(x)=0或或不存在的点不一定都是拐点不存在的点不一定都是拐点.结论结论注意注意定理定理3.2.5设设f(x)在在a b上连续上连续 在在(a b)内具有内具有二阶导数二阶导数.若在若在(a b)内内f(x)0 则则f(x)在在a b上的图形是凹上的图形是凹的的 若在若在(a b)内内f(x)0 则则f(x)在在a b上的图形是凸上的图形是凸的的 曲线凹凸性判定定理曲线凹凸性判定定理若曲线若曲线y=f(x)在点在点x0连续，连续，f(x0)=0或不存在，或不存在，f(x)在在x0两侧异号，则点两侧异号，则点(x0,f(x0)是曲线的一个拐点是曲线的一个拐点(1)确定函

24、数的定义域；确定函数的定义域；(2)在定义域内求在定义域内求f(x)=0的点和的点和f(x)不存在的点；不存在的点；(3)用上述点划分定义域，并列表判别函数的凹凸性用上述点划分定义域，并列表判别函数的凹凸性拐点的判定：拐点的判定：求曲线凹向区间和拐点的步骤：求曲线凹向区间和拐点的步骤：f(x)没有为没有为0的点，但是的点，但是x=4时，时，f(x)不存在，不存在，例例13讨论曲线讨论曲线的凹向区间与拐点的凹向区间与拐点xf(x)f(x)(-,4)4(4,+)+-不存在不存在 拐点拐点(4,2)（1）函数）函数的定义域为的定义域为(-,+)；解解定义定义3.2.5若曲线若曲线L上的动点上的动点P

25、沿着曲线无限地远沿着曲线无限地远离原点时离原点时,点点P与一条定直线与一条定直线C的距离趋于零的距离趋于零,则称直线则称直线C为曲线为曲线L的渐近线当的渐近线当C垂直于垂直于x轴时轴时,称称C为曲线为曲线L的垂的垂直渐近线直渐近线;当当C垂直于垂直于y轴时轴时,称称C为曲线为曲线L的水平渐近线的水平渐近线五、曲线的渐近线五、曲线的渐近线例如，对于曲线例如，对于曲线来说，来说，所以直线所以直线y=0 是曲线是曲线的水平渐近线的水平渐近线若若或或则则称称直直线线y=b为曲线为曲线y=f(x)的水平渐近线的水平渐近线.yxOy=0（1）水平渐近线）水平渐近线所以直线所以直线都是该曲线的水平渐近线都是

26、该曲线的水平渐近线.又如，曲线又如，曲线yxOy=arctanx例如，对于曲线例如，对于曲线y=lnx来说，来说，所以直线所以直线x=0 是曲线是曲线y=lnx的垂直渐近线的垂直渐近线若若,或或或或则称直线则称直线 x=x0为曲线为曲线y=f(x)的垂直渐近线的垂直渐近线.yxOy=lnx（2）垂直渐近线）垂直渐近线所以直线所以直线x=1是该曲线的水平渐近线是该曲线的水平渐近线.又如，曲线又如，曲线1yxO所以，所以，y=2为水平渐近线为水平渐近线;例例14求曲线求曲线的渐近线的渐近线.所以，所以，x=1为垂直渐近线为垂直渐近线.解解所以，所以，x=0为垂直渐近线为垂直渐近线;例例15求曲线求

27、曲线的渐近线的渐近线.所以，所以，y=-2为水平渐近线为水平渐近线.解解作函数作函数y=f(x)图象的一般步骤为：图象的一般步骤为：（1）确定函数）确定函数y=f(x)的定义域，分析函数的奇偶性、周的定义域，分析函数的奇偶性、周期性；期性；（2）求函数的一阶导数，二阶导数，并求出一阶导数、）求函数的一阶导数，二阶导数，并求出一阶导数、二阶导数为零的点及导数不存在的点；二阶导数为零的点及导数不存在的点；（3）列表求函数的单调区间、极值，确定函数的凹凸）列表求函数的单调区间、极值，确定函数的凹凸区间和拐点；区间和拐点；（4）求曲线的渐近线；）求曲线的渐近线；（5）求曲线上一些特殊点，根据函数的性态

28、，结合描）求曲线上一些特殊点，根据函数的性态，结合描点，作图点，作图六、函数的分析作图法六、函数的分析作图法(1)定义域定义域(-,+)，函数为偶函数，函数为偶函数；例例16作函数作函数的图像的图像(2)x1=0时，时，y=0 x2=-1,x3=1时，时，y =0(3)列表列表解解(4)曲线有水平渐近线曲线有水平渐近线y=0，无垂直渐近线，无垂直渐近线(1)定义域定义域(-,+)，函数为，函数为奇奇函数函数；只需作出只需作出0,+)上的图象上的图象例例17作函数作函数的图像的图像(2)x1=1时，时，y=0(3)列表列表x2=0,x3=时，时，y =0解解你不必和因果争吵，因果从来就不会误人。你也不必和命运争吵，命运它是最公平的审判官。故立志者，为学之心也；为学者，立志之事也。王阳明只要你想想一个人一生中有多少事务是不能仅靠自己去做的，就可以知道友谊有多少益处了。培根自知之明是最难得的知识。西班牙世事喧嚣，人生寂寞。知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。老子白白的过一天，无所事事，就像犯了窃盗罪一样。认识自己，降伏自己，改变自己，才能改变别人。看轻别人很容易，要摆平自己却很困难。不敢生气的是懦夫，不去生气的才是智者。普通人只想到如何度过时间，有才能的人设法利用时间。叔本华你硬要把单纯的事情看得很严重，那样子你会很痛苦。身体健康，学习进步！身体健康，学习进步！