应力应变状态分析

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1、 第 八 章 应 力 应 变 状 态 分 析 P P （ 1） 同 一 点 各 个 方 向 的 应 力 不 同 ；(2)相 同 的 受 力 方 式 不 同 的 破 坏 形 式 ， 如 铸 铁 与低 碳 钢 的 压 缩 破 坏 。 二、一点的应力状态 1.一点的应力状态： 通 过 受 力 构 件 一 点 处 各 个 不 同 截 面上 的 应 力 情 况 。 2.研究应力状态的目的： 找 出 该 点 的 最 大 正 应 力 和 剪 应 力数 值 及 所 在 截 面 的 方 位 ， 以 便 研 究 构 件 破 坏 原 因 并 进 行 失 效 分析 。三 、 研 究 应 力 状 态 的 方 法 单 元

2、 体 法 1.单 元 体 ： 围 绕 构 件 内 一 所 截 取 的 微 小 正 六 面 体 。应 力 与 应 变 分 析 x Oz y dzdxdyX Y ZO yy z z tzytyz tyzt zy tyxtyx txy txy xx tzx txztzxtxz 应 力 与 应 变 分 析 （ 1） 应 力 分 量 的 角 标 规 定 ： 第 一 角 标 表 示 应 力 作 用 面 ， 第 二角 标 表 示 应 力 平 行 的 轴 ， 两 角 标 相 同 时 ， 只 用 一 个 角 标 表 示 。（ 2） 面 的 方 位 用 其 法 线 方 向 表 示 yxxyxzzxzyyz ttt

3、ttt ，3.截 取 原 始 单 元 体 的 方 法 、 原 则 用 三 个 坐 标 轴 (笛 卡 尔 坐 标 和 极 坐 标 ， 依 问 题 和 构 件 形 状 而 定 )在 一 点 截 取 ， 因 其 微 小 ， 统 一 看 成 微 小 正 六 面 体 单 元 体 各 个 面 上 的 应 力 已 知 或 可 求 ； 几 种 受 力 情 况 下 截 取 单 元 体 方 法 ：2.单 元 体 上 的 应 力 分 量 应 力 与 应 变 分 析 PMe MePP Me Mec) 同 b)， 但 从上 表 面 截 取 Ct b) 横 截 面 ， 周 向 面 ， 直 径 面 各 一 对Ba) 一 对

4、 横 截 面 ， 两 对 纵 截 面A P/A tMe/WnA BC BCA PCAB tBtC CC AA 低 碳 钢 、 铸 铁 试 件 受 扭 时 的 破 坏 现 象 。铸 铁低 碳 钢为 什 么 要 研 究 一 点 的 应 力 状 态 ？ t t ； ？ t tCL10TU2m m PABCDEA B C D E 剪 应 力 为 零 的 平 面主 平 面 上 的 正 应 力主 平 面 的 法 线 方 向二 .基 本 概 念单 向 应 力 状 态 ： 三 个 主 应 力 中 只 有 一 个 不 等 于 零 ；二 向 和 三 向 应 力 状 态 统 称 为 复 杂 应 力 状 态二 向 应

5、 力 状 态 （ 平 面 应 力 状 态 ） ： 两 个 主 应 力 不 等 于 零 ；三 向 应 力 状 态 （ 空 间 应 力 状 态 ） ： 三 个 主 应 力 皆 不 等 于 零 x y t xyt yx CL10TU8xy xy yt yt x x一 .应 力 单 元 体 xy t xt x x x t yt y y y n（ 1） 斜 截 面 应 力 yt y x t x tn AAsinAcos 0tFF 平 衡 方 程 x ytyx tt xy F 参 加 平 衡 的 量 应 力 乘 以 其 作 用 的 面 积 A 0 nF ， 0 nF - cos)cos( Ax- y A(

6、 sin )sin 0 t txy yx tyx A +t A( cos )sinxy+t A( sin )cosyx t cossin2sincos 22 xyx -+ AAsinAcos 0tF-t A + x A( cos )sin+t xy A( cos )cos 0- y A( sin )cos-t yx A( sin )sin tt xy yx tyx )sin(coscossin)( 22 tt -+- xyx AAsinAcos t t t + + - - - + x y x y xx y x2 2 2 22 2 2cos sinsin cos 注 ： 三 角 公 式2 2co

7、s1cos 2 2cos1sin cossin22sin22 + - 讨 论 ： )2(2sin)2(2cos)(21)(21)1 2 t +-+-+ xyxyx 常 量+ + yx 2 2)2 tt +- t 2sin2cos)(21)(212 xyxyx +-+ dd t - - + 2 2 2 2x y xsin cos若时，能使 0 0dd t x y x- + 2 2 2 00 0sin cos +- -+ tt t 2cos2sin2 2sin2cos22 xyx xyxyx剪 应 力 的 极 值 确 定 正 应 力 和的 函 数 。 利 用 上 式 便 可都 是和 t 0 xt零

8、该 面 上 恰 好 切 应 力 等 于 tan2 20 t - -xx y tmax min + - +x y x y x2 2 2 2是 最 小 正 应 力 作 用 面 。正 应 力 作 用 面 ， 另 一 个 其 中 一 个 是 最 大确 定 了 两 个 正 交 平 面 ，、 000 90+由 于 该 面 上 午 切 应 力 ， 所 以 他 们 就 是 最 大 主 应力 和 最 小 主 应 力 。 用完全相似的方法可确定剪应力的极值ddt t - -( )cos sinx y x2 2 2若时，能使 t 1 0dd( )cos sin t x y x- - 2 2 2 01 1 +- -+

9、 tt t 2cos2sin2 2sin2cos22 xyx xyxyx由 tan2 21 t -x yx 1 1 90、它们确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大和最小剪应力+ ,tt t maxmin - +x y x2 2 2 tan tan2 121 0 - -ctg2 02 2 901 0 + 即 1 0 45 + 即：最大和最小剪应力所在平面与主平面的夹角为45tan2 20 t - -xx y tan2 21 t -x yx由 ： t - + - -x y x y x2 2 2 2 1cos sin ( )t t - +x y x2 2 2 2sin cos ( )( ) ( )

10、 ,1 22 2+得 t t - + + - +x y x y x2 22 2 2 2( ) ( )x x y y R- + - 0 2 0 2 2 + 02 ，圆 心 坐 标 为 yx t t - + + - +x y x y x2 22 2 2 2 222 xyx t + -半 径 为t 在 t-坐 标 系 中 ， 标 定 与 微 元 垂 直 的 A、 D面 上 应 力 对 应 的 点 a和 d 连 ad交 轴 于 c点 ， c即 为 圆 心 ， d应 力圆 半 径 。 yt yxt xy x AD t a(x ,txy)d(y ,tyx) cR x y+2 (3)转 向 对 应 半 径

11、旋 转 方 向 与 方 向面 法 线 旋 转 方 向 一 致 ；(4)二 倍 角 对 应 半 径 转 过 的 角 度 是 方 向 面旋 转 角 度 的 两 倍 。(1)单 元 体 与 应 力 圆 对 应 单 元 体 的 应 力分 量 已 知 一 般 来 说 对 应 着 唯 一 的 应 力 圆 ；(2)点 面 对 应 应 力 圆 上 某 一 点 的 坐 标值 对 应 着 微 元 某 一 方 向 上 的 正 应 力 和切 应 力 ； yt yxt xy x t c aA 初 始 面 Cq 2q aAxy A a t x y y x yt yx t xy x AD tcd(y ,tyx) a(x ,

12、txy)12 02maxt ( , ) tx x( , ) t y y tt x xt x x t y y t y y y x 2( , ) t t t t t x yx x y x y x x y x - + + - - - + 80 40602 2 2 2102 2 2 2220 MPa, MPa MPa, =30MPa MPa cos sinsin cos. 解 ： ( )使 用 解 析 法 求 解MPa xyxyx102 2sin2cos22 -+ t MPaxyx 0.222cos2sin2 +- tt t t maxmintan . . + - + - - - x y x y xx

13、x y2 2 10565105 0 652 2 1 225 1125 2 2 00 MPaMPa, , MPa1 2 3或 min 65 105 Pa,1 , 02 -65MPa3 t maxmintan . . + - + - - x y x y x xx y2 2 10565105 0 652 1 225 1125 2 2 00 MPaMPa, , MPa1 2 3或 max105 0 225 .tt tmax min - + x y x2 852 2 MPa 1 t tan - - xx y2 20 t 10222 105max 65 -mint 85max 5 220 . t作 应 力

14、 圆 ， 从 应 力 圆 上 可 量 出 ： CL10TU71t 327， -237127， -73 t t t t tt tmax min 01 2 3max , - - , , 450 max mint t ( , )0 t( , )0-t pDt2 pDt4 12 3 240 pDtpDt CL10TU4p p )tD(m ( ) ltt 2 ttmm m t承 受 内 压 p作 用 薄 壁 圆 筒 的 应 力 计 算 )tD(m mm0X ( ) 4 2DpDtm tpD m 4 0Y ( ) ( )lDpltt 2 tpD t 2 ( )lt t 2 tt 1.三 向 应 力 状 态

15、 应 力 圆 ： 平 行 3斜 截 面 上 应 力 由 1、 2作 出 应 力 圆 上 的 点 确 定 ； 平 行 2斜 截 面 上 应 力 由 1、 3作 出 应 力 圆 上 的 点 确 定 ； 平 行 1斜 截 面 上 应 力 由 2、 3作 出 应 力 圆 上 的 点 确 定 ； 由 弹 性 力 学 知 ， 任 意 斜 截 面 上 的 应 力 点 落 在 阴 影 区 内 。一、三向应力状态下的应力圆2.三 向 应 力 状 态 下 的 最 大 剪 应 力2 3113max -tt tmax所 在 平 面 与 1和 3两 个 主 平 面 夹 角 为 45o。 二 、 例 题 32123 12

16、 13 3 C1 C3 12O t t12t23 t13C2 例9-4 试 确 定 左 图 所 示 应 力 状 态 的主 应 力 和 最 大 剪 应 力 ， 并 确 定 主 平面 和 最 大 剪 应 力 作 用 面 位 置 。 x300150y140z 90解 ： 给 定 应 力 状 态 中 有 一 个 主应 力 是 已 知 的 ， 即 z=90MPa。因 此 ， 可 将 该 应 力 状 态 沿 z方 向投 影 ， 得 到 平 面 应 力 状 态 ， 可 直接 求 主 应 力 及 其 方 位 。 x=300MPa， y=140MPa， txy=-150MPa， 因 此 ：MPa50390170

17、220 )150()2140300(2140300 22minmax -+-+ 根 据 1、 2、 3的 排 列 顺 序 ， 可 知 ： 1=390MPa， 2=90MPa， 3=50MPa xz yxz y90 300150140A y=140txy=150 x=300A视 2 y 31o 31o1 x3 主 应 力 方 位 ： o0o0o0 yx xy0 121231622 815140300 150222tg + - t- 最 大 剪 应 力 所 在 平 面 法 线 与 主 平 面 夹 角 45 o即 与 x轴 夹 角 76o或 -14o。 MPa1702 503902 31max -t

18、 单 元 体 内 的 最 大 剪 应 力 ： 一、广义虎克定律1.有 关 概 念 ： 主 应 变 ： 沿 主 应 力 方 向 的 应 变 ， 分 别 用 e1e2e3表 示 ； 正 应 力 只 引 起 线 应 变 ， 剪 应 力 只 引 起 剪 应 变 ；2.广义虎克定律： 推 导 方 法 ：叠加原理 主 应 变 与 主 应 力 关 系 ： +-e+e+ee +-e+e+ee +-e+e+ee )(E1 )(E1 )(E1 2133333 1322222 3211111 一 般 情 况 ： ttt +-e +-e +-e G/G/G/ )(E1 )(E1 )(E1 zxzxyzyzxyxy y

19、xzz xzyy zyxx ， 123 11 I 22II 3III1 1 221方 向 上 的 应 变 ：2方 向 上 的 应 变 ： 3方 向 上 的 应 变 ： E E E 13 12 11 1 -e -e e E E E 23 22 21 2 -e e -e E E E 33 32 31 3 e -e -e 3 +-e+e+ee +-e+e+ee +-e+e+ee )(E1 )(E1 )(E1 2133333 1322222 3211111 用 应 变 表 示 应 力 ： ttt e+e+e+e-+ e+e+e+e-+ e+e+e+e-+ zxzxyzyzxyxy zzyxz yzyx

20、y xzyxx GGG 1E)()21)(1( E 1E)()21)(1( E 1E)()21)(1( E ，上 式 中 ： )1(2 EG +二、例题 例9-5 在 一 体 积 较 大 的 钢 块 上 有 一 直 径 为 50.01mm的 凹 座 ，凹 座 内 放 置 一 直 径 为 50mm的 钢 制 圆 柱 如 图 ， 圆 柱 受 到P=300kN的 轴 向 压 力 。 假 设 钢 块 不 变 形 ， 试 求 圆 柱 的 主 应 力 。取 E=200G Pa， =0.30。 P pP P/A pp pp MPa153MPa43.8p 321 - ， 柱 内 各 点 的 三 个 主 应 力

21、 为 ： 求 得 ： MPa43.83.01 1020002.03.0153p 5 - - 32 12 153 0.0002p pE E E E E E e - - - + + 由 广 义 虎 克 定 律 ： 0002.05 5001.52 -e 在 轴 向 压 缩 下 ， 圆 柱 将 向 横 向 膨 胀 ， 当 它 胀 到 塞 满 凹 座 后 ， 凹座 与 柱 体 之 间 将 产 生 径 向 均 匀 压 力 p。 柱 体 内 任 一 点 均 为 二 向 均 压应 力 状 态 ， 柱 内 任 一 点 的 径 向 与 周 向 应 力 均 为 -p， 考 虑 到 柱 与 凹座 之 间 的 间 隙

22、， 可 得 应 变 e2的 值 为 ： MPa153)50( 410300AP 233 - - 解 ： 在 柱 体 横 截 面 上 的 压 应 力 为 ： 1 23 40 pDt NA p DDt 24 pDt4p xy xyt2 yx + 一、一点的应力状态 1.一点的应力状态： 通 过 受 力 构 件 一 点 处 各 个 不 同 截 面上 的 应 力 情 况 。 2.研究应力状态的目的： 找 出 该 点 的 最 大 正 应 力 和 剪 应 力数 值 及 所 在 截 面 的 方 位 ， 以 便 研 究 构 件 破 坏 原 因 并 进 行 失 效 分析 。二 、 研 究 应 力 状 态 的 方

23、 法 单 元 体 法 1.单 元 体 ： 围 绕 构 件 内 一 所 截 取 的 微 小 正 六 面 体 。应 力 与 应 变 分 析 x Oz y dzdxdyX Y ZO yy z z tzytyz tyzt zy tyxtyx txy txy xx tzx txztzxtxz 应 力 与 应 变 分 析 （ 1） 应 力 分 量 的 角 标 规 定 ： 第 一 角 标 表 示 应 力 作 用 面 ， 第 二角 标 表 示 应 力 平 行 的 轴 ， 两 角 标 相 同 时 ， 只 用 一 个 角 标 表 示 。（ 2） 面 的 方 位 用 其 法 线 方 向 表 示 yxxyxzzxzy

24、yz tttttt ，3.截 取 原 始 单 元 体 的 方 法 、 原 则 用 三 个 坐 标 轴 (笛 卡 尔 坐 标 和 极 坐 标 ， 依 问 题 和 构 件 形 状 而 定 )在 一 点 截 取 ， 因 其 微 小 ， 统 一 看 成 微 小 正 六 面 体 单 元 体 各 个 面 上 的 应 力 已 知 或 可 求 ； 几 种 受 力 情 况 下 截 取 单 元 体 方 法 ：2.单 元 体 上 的 应 力 分 量 应 力 与 应 变 分 析 PMe MePP Me Mec) 同 b)， 但 从上 表 面 截 取 Ct b) 横 截 面 ， 周 向 面 ， 直 径 面 各 一 对B

25、a) 一 对 横 截 面 ， 两 对 纵 截 面A P/A tMe/WnA BC BCA PCAB tBtC CC AA 三 、 应 力 状 态 分 类 (按 主 应 力 ) 1. 主 平 面 ： 单 元 体 上 剪 应 力 为 零 的 面 ； 主 单 元 体 ： 各 面 均 为 主 平 面 的 单 元 体 ， 单 元 体 上 有 三 对主 平 面 ； 主 应 力 ： 主 平 面 上 的 正 应 力 ， 用 1、 2、 3表 示 ， 有 123。 应 力 与 应 变 分 析旋 转 yx z231x yzx ztxytxztzx tzytyztyx y 2.应 力 状 态 按 主 应 力 分 类

26、 ： 只 有 一 个 主 应 力 不 为 零 称 单 向 应 力 状 态 ； 只 有 一 个 主 应 力 为 零 称 两 向 应 力 状 态 (平 面 应 力 状 态 )； 三 个 主 应 力 均 不 为 零 称 三 向 应 力 状 态 (空 间 应 力 状 态 )； 单 向 应 力 状 态 又 称 简 单 应 力 状 态 ， 平 面 和 空 间 应力 状 态 又 称 复 杂 应 力 状 态 。 应 力 与 应 变 分 析 一 、 平 面 应 力 分 析 的 解 析 法 1.平 面 应 力 状 态 图 示 ： y tyx txy xx xtxyyyx tyx 应 力 与 应 变 分 析 2.任

27、 意 角 斜 截 面 上 的 应 力xtxyy yx tyxA B xy nt txtxy tyxy xdA ：0t dAt t cos)cos( dAxy+ t sin)sin( dAyx- cos)sin( dAy- sin)cos( dAx+ 0 ：0n dA t sin)cos( dAxy+ t cos)sin( dAyx+ sin)sin( dAy- cos)cos( dAx- 0 得 +- -+ tt t 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyx xyyxyx 应 力 与 应 变 分 析 符 号 规 定 ： 角 以 x轴 正 向 为 起 线 ， 逆 时 针 旋 转 为 正

28、 ， 反 之 为 负 拉 为 正 ， 压 为 负 t使 微 元 产 生 顺 时 针 转 动 趋 势 者 为 正 ， 反 之 为 负3.主 应 力 及 其 方 位 ： 由 主 平 面 定 义 ， 令 t =0， 得 ： yx xy t - 22tan 0可 求 出 两 个 相 差 90o的 0值 ， 对 应 两 个 互 相 垂 直 主 平 面 。 令 0dd yx xy t - 22tan 0得 ：即 主 平 面 上 的 正 应 力 取 得 所 有 方 向 上 的 极 值 。 应 力 与 应 变 分析 主 应 力 大 小 ： )(22 22 t + -+ xyyxyx 由 、 、 0按 代 数

29、值 大 小 排 序 得 出 ： 123 判 断 、 作 用 方 位 (与 两 个 0如 何 对 应 ) txy箭 头 指 向 第 几 象 限(一 、 四 )， 则 (较 大 主 应力 )在 第 几 象 限 ， 即 先 判 断大 致 方 位 ， 再 判 断 其 与算 得 的 0相 对 应 ， 还 是 与0+90o相 对 应 。 o90yx + + txy 0*txy 0* 应 力 与 应 变 分析 4.极 值 切 应 力 ： 令 ： ， 可 求 出 两 个 相 差 90o 的 1， 代 表 两 个 相 互 垂 直 的 极 值 切 应 力 方 位 。0tdd xyyx1 22tg t - 极 值

30、切 应 力 ： 2 2 2xy2yx -t+ -tt10 2tg12tg - (极 值 切 应 力 平 面 与 主 平 面 成 45 o) 应 力 与 应 变 分析 -+t -+- MPa3.2060cos)20(60sin24030 MPa8.29 60sin)20(60cos2403024030)1 oo oo解 ：40 3020单 位 ： MPat ( ) ， 主 单 元 体 如 上， o00 321 22 9.144030202tg MPa3.450MPa3.35 MPa3.45 MPa3.35202403024030)2 +- - -+-MPa3.402 )3 -tt )(C)4 o

31、90应 力 之 和 为 常 数元 体 任 意 垂 直 平 面 上 正 同 一 单讨 论 并 证 明 ： + +40 20 3014.9o 例一 图 示 单 元 体 ， 试 求 ： =30o斜截 面 上 的 应 力 ； 主 应 力 并 画 出 主 单 元体 ； 极 值 切 应 力 。 tABCD x45o-45oMeMe DCBA 3113 分 析 圆 轴 扭 转 时 的 应 力 状 态( ) o00 22 4502tg 2020)2 t- tt+主 单 元 体 如 右 ， t-t 0)3 3214)圆 轴 扭 转 时 ， 横 截 面 为 纯 剪 切 应 力 状 态 ， 最 大 拉 、 压 应

32、力 在 与 轴 线 成 45o斜 截 面 上 ， 它 们 数 值 相 等 ， 均 等 于 横 截 面 上 的 剪 应 力 ；5)对 于 塑 性 材 料 (如 低 碳 钢 )抗 剪 能 力 差 ， 扭 转 破 坏 时 ， 通 常 是 横 截 面 上 的 最 大 剪 应 力 使 圆 轴 沿 横 截 面 剪 断 ；6)对 于 脆 性 材 料 (如 铸 铁 、 粉 笔 )抗 拉 性 能 差 ， 扭 转 破 坏 时 ， 通 常 沿 与 轴 线 成 45o的 螺 旋 面 发 生 拉 断 。 ne W/MABCD)1 t：单 元 体围 绕 圆 轴 外 表 面 一 点 取解 ：例9-2 分 析 圆 轴 扭 转

33、 时 的 应 力 状 态 。 二 、 平 面 应 力 分 析 的 图 解 法 应 力 圆 1.理 论 依 据 ： t+-t t-+ 2cos2sin2 2sin2cos22 xyyxyx xyyxyxx 22xy2yx2 yx2yxx 22 t+ -t+ +- 以 、 t为 坐 标 轴 ， 则 任 意 斜 截 面 上 的 应 力 x、 txy为 ：以 ) 为 半 径 的 圆 。 2xy2yxyx 2/)(0,2/)( t+-+ 为 圆 心 ， 以2.应 力 圆 的 绘 制 ： 定 坐 标 及 比 例 尺 ； 取 x面 ， 定 出 D( )点 ； 取 y面 ， 定 出 D( )点 ； xyx,t

34、 yxy,t 连 DD交 轴 于 C点 ， 以 C为 圆 心 ， DD1为 直 径 作 圆 ； xx txytyxtxy tyxyy O txy n C 20 A1B1 2(,t)E G 1tG 2 t D(y, tyx)B AD(x, txy)t 3.应 力 圆 的 应 用 点 面 对 应 关 系 ： 应 力 圆 上 一 点 坐 标 代 表 单 元 体 某 个 面 上 的应 力 ； 角 度 对 应 关 系 ： 应 力 圆 上 半 径 转 过 2， 单 元 体 上 坐 标 轴 转过 ; 旋 向 对 应 关 系 ： 应 力 圆 上 半 径 的 旋 向 与 单 元 体 坐 标 轴 旋 向相 同 ；

35、 求 外 法 线 与 x轴 夹 角 为 斜 截 面 上 的 应 力 ， 只 要 以 D为 起 点 ，按 转 动 方 向 同 向 转 过 2到 E点 ， E点 坐 标 即 为 所 求 应 力 值 。 用 应 力 圆 确 定 主 平 面 、 主 应 力 ： 由 主 平 面 上 剪 应 力 t=0， 确定 D转 过 的 角 度 ； D转 至 轴 正 向 A 1点 代 表 所 在 主 平 面 ， 其 转过 角 度 为 2 ， 转 至 轴 负 向 B1点 代 表 所 在 主 平 面 ；*0 确 定 极 值 剪 应 力 及 其 作 用 面 ： 应 力 圆 上 纵 轴 坐 标 最 大 的 G 1点为 t，

36、纵 轴 坐 标 最 小 的 G 2点 为 t”， 作 用 面 确 定 方 法 同 主 应 力 。 求 ： 1)=30o斜 截 面 上 的 应 力 ； 2)主 应 力 及 其 方 位 ； 3)极 值 剪 应 力 。 O t D(30,-20)D(-40,20) C 60 o (29.8,20.3)MPa3.20MPa8.29 oo 3030 t ， 35.3-45.3MPa3.450MPa3.35 321 - ， 29.8ooo*01 9.142/8.29x 轴 夹 角 ：与 40 3020单 位 ： MPa xt 40.3 -40.3MPa3.40 tt 例9-3 用 应 力 圆 法 重 解

37、例 9-1题 。 1.三 向 应 力 状 态 应 力 圆 ： 平 行 3斜 截 面 上 应 力 由 1、 2作 出 应 力 圆 上 的 点 确 定 ； 平 行 2斜 截 面 上 应 力 由 1、 3作 出 应 力 圆 上 的 点 确 定 ； 平 行 1斜 截 面 上 应 力 由 2、 3作 出 应 力 圆 上 的 点 确 定 ； 由 弹 性 力 学 知 ， 任 意 斜 截 面 上 的 应 力 点 落 在 阴 影 区 内 。一、三向应力状态下的应力圆2.三 向 应 力 状 态 下 的 最 大 剪 应 力2 3113max -tt tmax所 在 平 面 与 1和 3两 个 主 平 面 夹 角 为

38、 45o。 二 、 例 题 32123 12 13 3 C1 C3 12O t t12t23 t13C2 例9-4 试 确 定 左 图 所 示 应 力 状 态 的主 应 力 和 最 大 剪 应 力 ， 并 确 定 主 平面 和 最 大 剪 应 力 作 用 面 位 置 。 x300150y140z 90解 ： 给 定 应 力 状 态 中 有 一 个 主应 力 是 已 知 的 ， 即 z=90MPa。因 此 ， 可 将 该 应 力 状 态 沿 z方 向投 影 ， 得 到 平 面 应 力 状 态 ， 可 直接 求 主 应 力 及 其 方 位 。 x=300MPa， y=140MPa， txy=-15

39、0MPa， 因 此 ：MPa50390170220 )150()2140300(2140300 22minmax -+-+ 根 据 1、 2、 3的 排 列 顺 序 ， 可 知 ： 1=390MPa， 2=90MPa， 3=50MPa xz yxz y90 300150140A y=140txy=150 x=300A视 2 y 31o 31o1 x3 主 应 力 方 位 ： o0o0o0 yx xy0 121231622 815140300 150222tg + - t- 最 大 剪 应 力 所 在 平 面 法 线 与 主 平 面 夹 角 45 o即 与 x轴 夹 角 76o或 -14o。 M

40、Pa1702 503902 31max -t 单 元 体 内 的 最 大 剪 应 力 ： 一、广义虎克定律1.有 关 概 念 ： 主 应 变 ： 沿 主 应 力 方 向 的 应 变 ， 分 别 用 e1e2e3表 示 ； 正 应 力 只 引 起 线 应 变 ， 剪 应 力 只 引 起 剪 应 变 ；2.广义虎克定律： 推 导 方 法 ：叠加原理 主 应 变 与 主 应 力 关 系 ： +-e+e+ee +-e+e+ee +-e+e+ee )(E1 )(E1 )(E1 2133333 1322222 3211111 一 般 情 况 ： ttt +-e +-e +-e G/G/G/ )(E1 )(

41、E1 )(E1 zxzxyzyzxyxy yxzz xzyy zyxx ， 123 11 I 22II 3III1 1 221方 向 上 的 应 变 ：2方 向 上 的 应 变 ： 3方 向 上 的 应 变 ： E E E 13 12 11 1 -e -e e E E E 23 22 21 2 -e e -e E E E 33 32 31 3 e -e -e 3 +-e+e+ee +-e+e+ee +-e+e+ee )(E1 )(E1 )(E1 2133333 1322222 3211111 用 应 变 表 示 应 力 ： ttt e+e+e+e-+ e+e+e+e-+ e+e+e+e-+ z

42、xzxyzyzxyxy zzyxz yzyxy xzyxx GGG 1E)()21)(1( E 1E)()21)(1( E 1E)()21)(1( E ，上 式 中 ： )1(2 EG +二、例题 例9-5 在 一 体 积 较 大 的 钢 块 上 有 一 直 径 为 50.01mm的 凹 座 ，凹 座 内 放 置 一 直 径 为 50mm的 钢 制 圆 柱 如 图 ， 圆 柱 受 到P=300kN的 轴 向 压 力 。 假 设 钢 块 不 变 形 ， 试 求 圆 柱 的 主 应 力 。取 E=200G Pa， =0.30。 P pP P/A pp pp MPa153MPa43.8p 321 -

43、 ， 柱 内 各 点 的 三 个 主 应 力 为 ： 求 得 ： MPa43.83.01 1020002.03.0153p 5 - - 0002.0E153EpEpEEE 1122 +-e 由 广 义 虎 克 定 律 ： 0002.05 5001.52 -e 在 轴 向 压 缩 下 ， 圆 柱 将 向 横 向 膨 胀 ， 当 它 胀 到 塞 满 凹 座 后 ， 凹座 与 柱 体 之 间 将 产 生 径 向 均 匀 压 力 p。 柱 体 内 任 一 点 均 为 二 向 均 压应 力 状 态 ， 柱 内 任 一 点 的 径 向 与 周 向 应 力 均 为 -p， 考 虑 到 柱 与 凹座 之 间

44、的 间 隙 ， 可 得 应 变 e2的 值 为 ： MPa153)50( 410300AP 233 - - 解 ： 在 柱 体 横 截 面 上 的 压 应 力 为 ： 一、总应变比能1.有 关 概 念 ： 应 变 能 (变 形 能 )： 伴 随 弹 性 体 的 变 形 而 储 存 在 弹 性 体 的 能 量 。 用 U表 示 ； 比 能 ： 单 位 体 积 的 应 变 能 ， 用 u表 示 ； 2.总 应 变 比 能 ： 取 主 应 力 状 态 ， 假 定 三 个 主 应 力 按 某 一 比 例 由 零 增 加 到 最 终 值 ，则 该 单 元 体 所 储 存 的 应 变 能 为 ： dxdy

45、dz)(21U 332211 e+e+e 比 能 ： )(21VUu 332211 e+e+e 代 入 虎 克 定 律 ： )(2E21u 133221232221 +-+ dy)dxdz(21 dz)dxdy(21 dx)dydz(21U 33 22 11 e +e +e2 13 e1e2e3 dx dydz 二、体积改变比能uv与形状改变比能ud1.有 关 概 念 ： 单 元 体 的 变 形 ： 体 积 改 变 和 形 状 改 变 。 体 积 改 变 比 能 ： 与 体 积 改 变 相 对 应 的 那 一 部 分 比 能 ， 用 uv表 示 ； 形 状 改 变 比 能 ： 与 形 状 改

46、变 相 对 应 的 那 一 部 分 比 能 ， 用 ud表 示 ； dv uuu +2.u v、 ud公 式 体 积 改 变 比 能 ： 23212m 2m2m2m2m2m2mv )(E621E2 )21(3 )(2E21u +- +-+ 3 2 1 体 积 应 变 只 与 平 均正 应 力 有 关 ， 则 体积 改 变 比 能 只 与 平均 正 应 力 有 关 。体 积 改 变m m m3 - m2- m1 - m 形 状 改 变 形 状 改 变 比 能 ： )()()(E61uuu 233232221vd -+-+-+- 一 般 情 况 ： )(6)( )()(E61u 2zx2yz2xy2xz 2zy2yxd t+t+t+- +-+-+