子集、全集、补集

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1、子集、全集、补集（一）教学目标（一）教学知识点1理解子集、真子集概念2会判断和证明两个集合包含关系3会判断简单集合的相等关系（二）能力训练要求1通过概念教学，提高学生逻辑思维能力2渗透等价转化思想（三）德育渗透目标渗透问题相对论观点教学重点子集的概念，真子集的概念教学难点1元素与子集，属于与包含间的区别2描述法给定集合的运算教学过程1. 复习回顾1集合的表示方法列举法、描述法2. 集合的分类有限集、无限集由集合元素的多少对集合进行分类，由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法.故问题解决的关键主要在于寻求集合中的元素，进而判断其多少II.讲授新课师同学们从下面问题的特殊性，去寻找其一般规律-我

2、们共同观察下面几组集合(1) A = 1, 2, 3, B=1, 2, 3, 4, 5(2) A = x I x3, B=x I 3x60(3) A = 正方形, B=四边形(4) A= 0 , B=0(5) A = 直角三角形, B=三角形(6) A a, b, B=a, b, c, d, e生通过观察上述集合间具有如下特殊性(1) 集合A的元素1, 2, 3同时是集合B的元素.(2) 集合A中所有大于3的元素，也是集合B的元素.(3) 集合A中所有正方形都是集合B的元素.(4) A中没有元素，而B中含有一个元素0,自然A中“元素”也是B中元素.(5) 所有直角三角形都是三角形，即A中元素都

3、是B中元素.(6) 集合A中元素A、B都是集合B中的元素.师由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.1.子集定义：一般地，对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元 素，我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A.记作A峯B (或辞A)这时我们 也说集合A是集合B的子集.师请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.师当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时，则记作A字B (或辞A.女口： A 2, 4, B3, 5, 7，则A峯B.师依规定，空集0是任何集合子集.请填空：0A (A为任何集合).生0匚A师由A =

4、正四棱柱, B=正棱柱, C=棱柱，则从中可以看出什么规律？生由题可知应有A匸B，B匸C.这是因为正四棱柱一定是正棱柱,正棱柱一定是棱柱,那么正四棱柱也一定是棱柱故 A匸C.师从上可以看到，包含关系具有“传递性”( 1)任何一个集合是它本身的子集师如A = 9, 11, 13, B=20, 30, 40，那么有A匸A, B匸B.师进一步指出：如果A UB,并且A工B,则集合A是集合B的真子集.这应理解为：若AUB,且存在bUB,但b纟A,称A是B的真子集.A是B的真子集，记作A呈B (或B宰A)真子集关系也具有传递性若A呈B, B呈C,则那么是任何非空集合的真子集.生应填0( 2)集合相等两个

5、集合相等、应满足如下关系：A = 2, 3, 4, 5, B=5, 4, 3, 2,即有集合A的元素都是集合B的元素，集合B 的元素都是集合A的元素.一般地，对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时 集合B的任何一个元素都是集合A的元素.我们就说集合A等于集合B.记作A=B.用式子表示：如果AUB,同时BUA,那么A=B.如: a, b, c, d与b, c, d, a相等;2, 3, 4与3, 4, 2相等;2, 3与3, 2相等.师请同学互相举例并判断是否相等 稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.女口： A = x 丨 x=2m+l, mZ, B=x I

6、 x=2n1, nZ.2. 例题解析例1写出a、b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集. 分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.解：依定义：a，b的所有子集是0、a、b、a，b，其中真子集有0、a、b.注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有21个.例2解不等式x32，并把结果用集合表示.解：由不等式x32知x5所以原不等式解集是x I x5III.课堂练习(一)课本P9练习1、2、31.解：集合a，b，c的所有的子集有0、a、b、c、a, b、a, c、b, c、 a， b， c .其中真子集有0 、 a、 b、 c、 a， b、 a， c、 b， c.x3. (

7、1)解方程x+3= 2 5,并把结果用集合表示.x解：+3= 2 5.x= 16那么解集为x I x= 16.(2)解不等式3x+2V4x1,并把结果用集合表示.解：由 3x+2V4x1 知 x3故原不等式的解集为x I x3.二）补充练习已知A = x I xV2或x3, B=x I 4x+mV0,当A二B时，求实数m的取值范围.分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系需 用数形结合.解：将A及B两集合在数轴上表示出来要使A二B,则B中的元素必须都是A中元素 即B中元素必须都位于阴影部分内m那么由xV2或x3及xV 4知m4 V2 即 m8故实数m取值范围是

8、m8W.课时小结1. 能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集2. 清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明.V.课后作业（一）课本 P0习题 1.21, 2, 31. 图中 A、B、C 表示集合,说明它们之间有什么包含关系.解：由图形结构及子集定义A是B的子集，而B又是C的子集.故A UB匸C2.下列各题中，指出关系式A匸B、A二B、A呈B、A宰B、A=B中哪些成立:(1) A = 1, 3, 5, 7, B=3, 5, 7.解：因B中每一个元素都是A的元素，而A中每一个元素不一定都是B的元素，故A二B及A宰B成立.(2) A = 1, 2，4，8，

9、B=x I x 是 8 的约数.解：因x是8的约数，则x： 1，2，4，8那么集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素也都是集合A的元素，故A=B. 式子A匸B、A B、A=B成立.3. 判断下列式子是否正确，并说明理由.(1) 2匸x I xW10解：不正确.因数2不是集合，也就不会是x|xW10的子集.(2) 2Ux I xW10解：正确.因数2是集合x|xW10中数.故可用“u”(3) 2缸x I xW10解：正确.因2是x|xW10的真子集.(4) 0 ux I xW10解：不正确.因为0是集合，不是集合x I xW10的元素.(5) 0皐x I xW10解：不正确因为0是任何非空集

10、合的真子集(6) 0圭x I xW10 解：正确因为0是任何非空集合的真子集(7) 4，5，6，7字2, 3，5，7，11解：正确因为4， 5， 6， 7中 4， 6不是2， 3， 5， 7， 11的元素(8) 4，5，6，7芒2, 3，5，7，11解：正确因为4， 5， 6， 7中不含2， 3， 5， 7， 11中的 2， 3， 11(二) 1 预习内容：课本 P 92预习提纲：（1）求一个集合补集应具备的条件（2）能正确表示一个集合的补集板书设计 1.2.1子集、全集、补集（一）1.子集概念（定义）举例（1）任何一个集合是它本身子集练习作业（2）集合相等小结备课资料一、对子集的进一步理解1

11、. 正确理解子集的概念.一般地，对于两个集合A与B如果集合a中的任何一个元 素都是集合B的元素，我们就说集合A是集合B的子集，也就是说，如果由任一xUA,可 以推出xUB,那么集合A就是集合B的子集.在教学时，不宜把子集说成是由原来的集合 中的部分元素组成的集合.2. 在开始接触子集与真子集的符号时，要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错，例 如A =B与BA是同义的，A =B与A B是不同的.要区分一些容易混淆的符号.（1）u与匸的区别：丘是表示元素与集合之间关系的，因此，有1UN,1纟N.等; 匸是表示集合与集合关系的.因此，有N匸R，0匸R等.（2）a与a的区别：一般地，a表示一个元素，而

12、a表示只有一个元素的一个集合.因 此，有 1丘1, 2, 3，0丘0, 1匸1，2, 3，不能写成 0=0, 1丘1, 2, 3，1 匸1， 2， 3.（3）0与0的区别：0是含有一个元素的集合.0是不含任何元素的集合，因此 有0匸0不能写成0 =0, 0丘0.3. “事实上，设x是集合A的任意一个元素，因为A匸B,所以有xUB,又因为B匸C 所以xUC,从而A匚C”这段话是什么意思？这是“对于集合A、B、C,如果A匸B, B匸C,那么A匸C”这一命题的数学证明.这 种证明方法在集合论中常常用到.要证明关系式A匸C成立，我们的方法就是从关系式左边 的集合中任取一个元素x,证明x也属于关系式右边

13、的集合，即从x=A,推证x = C.4集合之间的关系图是一种什么性质的图形？使用时要注意些什么？这种图在数学上也称为文（Tohn Venn 1834年1923年英国逻辑学家）氏图它仅仅 起着说明各集合之间关系的示意图的作用（就像交通示意图只说明各车站之间的位置关系那 样），因此，边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素或 子集统统包在里边就行.决不能理解成圈内的每一点都是这个集合的元素（事实上，这个集 合可能与点毫无关系）；至于边界上的点是否属于这个集合，也都不必考虑.二、参考练习题1 .判断正误（ 1 ）空集没有子集（）（2）空集是任何一个集合的真子集（）（ 3）任

14、一集合必有两个或两个以上子集（）若B匸A,那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （）（5） 0 圭0（）分析：关于判断题应确实把握好概念的实质.解：该题的 5 个命题，只有（4）、（5）是正确的，其余全错.对于（1）、（2）来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子 集.对于（ 3）来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.对于（4）来讲，当xUB时必有xUA,则x电A时也必有x纟B.而（5）符合，空集是任一非空集合的真子集.2.集合A=x|1VxV3, xUZ，写出A的真子集.分析：区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的 子集有2

15、,真子集有2n1个.则该题先找该集合元素，后找真子集.解：因一1VxV3, xUZ,故x=0, 1, 2即 a=x|1VxV3, xUZ = 0, 1, 2真子集： 0 、1、2、0、0, 1、0, 2、1, 2,共 7 个A. 无限集的真子集是有限集B. 任何一个集合必定有两个子集C. 自然数集是整数集的真子集D. 1是质数集的真子集(2)0与0的关系是()A. 0= 0C. 0 0D. 0纟 0(3) 以下五个式子中，错误的个数为()1丘0, 1, 2 1,-3 = -3, 10, 1, 2匸1, 0, 20 丘0,1, 20 0A. 5B. 2C. 3D. 4( 4) M= xI3x4=

16、, a=n ,则下列关系正确的是()A. a圭MB. a纟MC. a MD. aWM解：(1)该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支.必须对概念把握准确,并不是 所有有限集都是无限集子集，如1不是x I x=2k, kZ 的子集，排除A.由于0只有一 个子集，即它本身，排除B.由于1不是质数，排除D.故选C.(2) 0是一个元素，0是不含任何元素的集合，符合上述意义的选D.(3) 该题涉及到的是元素与集合,集合与集合关系.应是1匸0, 1, 2,应是0匸0, 1, 2,应是0匸0故错误的有，选C.(4) M=x I 3VxV4, a=n因3VaV4,故a是M的一个元素.a是x I 3x4的子

17、集，那么a呈M.选D.4. 判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系:(1) A = x I x=2k1, kuZ, B=x 丨 x=2m+l, mZ(2) A = x I x=2m, mUZ, B=x I x=4n, nUZ解：(1)因 A = x|x=2k1, kUZ, B=x|x=2m+1, mUZ,故 A、B 都是由奇 数构成的，即A=B.(2)因 A=x I x=2m, mUZ, B=x I x=4n, nUZ,又 x=4n = 2 2n在x=2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x=4n中，2n只能是偶数.故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成，则有B罕A.评

18、述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求.5. 已知集合P=x I x2+x6 = 0, Q=x I ax+1=0满足QWP,求a所取的一切值.解：因 P=x I x2+x6=0 = 2,3当 a = 0 时，Q=x I ax+1=0= 0 , Q早P 成立.1又当 aM0 时，Q=x I ax+1=0 = a ,1 1 1 1要Q圭P成立，则有一 a =2或一 a =3, a= 2或a= 3 .1 1综上所述，a=0或a= 2或a= 3评述：这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉 a= 0, ax+ 1= 0 无解,即 Q 为空集情况.而当Q= 0时，满足Q呈P.6.

19、 已知集合A = xUR I x23x+4=0, B=xURI(x+1) (x2+3x4=0，要使 A呈P匚B,求满足条件的集合P.解：由题 A= xU RI x2 3x+ 4= 0= 0B=xURI(x+1)(x2+3x4)=0=1, 1,4由A呈P匸B知集合P非空，且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为：1或1或4或1, 1或1,4或1,4或1, 1,4评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素.而做到这点，必须化简A、B,充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问 题的首要条件.7. 已知A匸B, A匸C, B=0, 1, 2, 3, 4, C=0, 2, 4, 8，则满足

20、上述条件的 集合 A 共有多少个？解：因 A匸B, A匸C, B=0, 1, 2, 3, 4, C=0, 2, 4, 8，由此，满足A匸B, 有， 0， 1， 2, 3, 4, 0, 1, 0, 2, 2, 3, 2, 4, 0, 3, 0, 4, 1，2，1，3，1，4，3，4，0，2，4，0，1，2，0，1，3，0，1，4，1， 2, 3,1,2, 4,2, 3, 4, 0, 3, 4,0,1,2,3, 1,2,3, 4, 0, 1, 3, 4,0, 2,3,1, 3,4, 0, 1, 2, 4, 0,2,3,4,0, 1,2,3, 4，共 25 = 32 个.又满足A匸C的集合A有, 0

21、, 24, 8, 0, 2, 0, 4, 0, 82, 4, 2, 8, 4, 8, 0, 2, 4, 0, 2, 8, 0, 4, 8, 2, 4, 8, 0, 2, 4, 8,共 24=8X2=16 个.其中同时满足A匸B, A匸C的有8个, 0, 2, 4, 0, 2, 0, 4, 2, 4, 0, 2, 4,实际上到此就可看出,上 述解法太繁.由此得到解题途径.有如下思路：题目只要A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元 素组成集合的子集数是多少.显然公共元素有0、 2、 4,组成集合的子集有23=8(个)8. 设A = 0, 1, B=x I x匸A，则A

22、与B应具有何种关系？解：因 A=0, 1, B=x I x A故 x 为 0 , 0, 1, 0, 1,即0, 1是 B 中一 -元素.故AUB.评注：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素.9. 集合A=x |-2x2m 1 即 mV2 时，B= 0满足 B A.当m+lW2m1即m三2时，要使BWA成立，Jm +1 -2需2m 1 口 5，可得 2WmW3综上mW3时有B匸A(2) 当 xUZ 时，A = 2,1, 0, 1, 2, 3, 4, 5所以，A的非空真子集个数为：282=254(3) VxR,且 A = x 丨一2WxW5, B=x I m+1x2m 1,得mV2时满足条件.Jm +1 2m 1 Jm +1 5或12m 1V 2解之m4综上有mV2或m4评述：此问题解决：(1)不应忽略0 ； (2)找A中的元素；(3)分类讨论思想的运用.