四边形中的面积和周长问题

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1、专练 09 四边形中的面积和周长问题1如图1,在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF,交点为G.(1) 求证：AE丄BF；(2) 将厶BCF沿BF对折，得到 BPF (如图2),延长FP到与BA的延长线于点Q,求BP的值；BQ(3) 将厶ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到 AHM (如图3),若AM和BF 相交于点N,当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积.【答案】 (1)证明：如图 1，E, F分别是正方形ABCD边BC, CD的中点，.CF=BE,在 RtA ABE 和 RtA BCF 中,AB= BCZABE = ZBCFBE

2、 = CF.RtA ABERt BCF (SAS),AZBAE=ZCBF,又VZBAE+ZBEA=90,AZCBF+ZBEA=90, .ZBGE=90。， .AE 丄 BF.( 2)解：如图 2,根据题意得,FP=FC, ZPFB=ZBFC, ZFPB=90VCD# AB,AZCFB=ZABF,AZABF=ZPFB,.QF=QB,令 PF=k (k0)，则 PB=2k在 RtA BPQ 中，设 QB=x,. x2 = (x - k)2 + 4k2 ,x = 5kBPQB253 )解：如图 3 ，正方形ABCD的面积为4,边长为 2, AM=AB= V5ZBAE=ZEAM, AE丄BF,AN=A

3、B=2, ZAHM=90,GNHM, AGNsAHM,SAAGN = (AN)2 ,SAAHMam,SAAGN = (-2)2 ,1V5SaagnS= S S = 1 4 =1四边形 GHMN aAHM aAGN55四边形GHMN的面积是12如图，四边形ABCD为矩形，连接对角线AC,分另IJ作ZBAC、ZBCA、ZACD、ZDAC的角平分线AE、CE、 CF、 AF(1)当AB=BC时，求证：四边形AECF是菱形;(2) 设AB=4, BC=3，分别作EM丄AC于点M, FN丄AC于点N,求MN的长；(3) 分别作EG丄BC于点G, FH丄CD于点H,当GC = 3, HC=4时，求矩形AB

4、CD的面积.【答案】(1)解：四边形ABCD为矩形，.ABCD,AZBAC=ZDCA, AE 平分ZBAC, CF 平分 ZACD,AZEAC=ZFCA,.AECF,同理，AFCE,四边形AECF是平行四边形， AB=BC,AZBAC=ZACB, AE 平分ZBAC, CE 平分ZACB,AZEAC=ZECA,.AE=CE,四边形AECF是菱形(2)解：过E作EH丄BC于点H, EG丄AB于点G,分别作EM丄AC于点M, FN丄AC于点N, ZB = 90。，四边形BHEG为矩形， AE 平分ZBAC, CE 平分ZACB,. EM= EG= EH,四边形BHEG是正方形，. BG= BH,

5、EM= EG= EH, AE= AE, CE= CE,.RtA AEGRtA AEM (HL), RtA CEHRtA CEM (HL),.AM=AG, CM=CH,VAB=4, BC = 3,.AC = 5,x+y=5x= 3设 AM=AG=x, CM=CH=y, BH=BG=z，贝x + z = 4，解得，y = 2 , y + z = 3z = 1.AM = 3, CM=2,由(1)知四边形AECF是平行四边形，.AF=CE, AFCE,AZFAN=ZECM, ZANF= ZCME=90,.ANF9ACME (AAS),AN=CM=2,.MN=AM - AN=3 - 2=1(3)解：过E

6、作EK丄AB于点K, EL丄AC于点L,如图， 矩形 ABCD 中 ABCD,/.ZBAC=ZACD, AE、CF分别平分ZBAC和ZACD,/.ZKAE=ZHCF,四边形AECF是平行四边形，. AE= CF,VZAKE=ZCHF=90,/.AEKCHF (AAS),. AK= CH= 4,TAE 平分ZBAC, CE 平分ZACB,.EK=EL=EG,VAE=AE, CE=CE,.RtA AEKRtA AEL (HL), RtA CEGRtA CEL (HL),.AK=AL=4, CG=CL=3, AC=AL+CL=4+3 = 7,VEK=EG, ZEKB = ZB = ZEGB = 90

7、,四边形BGEK为正方形，. BG= BK,不妨设 BG=BK=x,则 AB=4+x, BC=3+x,在 RtA ABC 中，由勾股定理得，(x+3) 2+ (x+4) 2=72 ,解得，x = N，或x-9-(舍去)，22.AB=4+x= 97+1 , BC=3+x= 97-i , 22矩形ABCD的面积=ABBC =24.3.如图，正方形ABCD中， AB = 6，点E在边CD上，且，CD = 3DE将AADE沿AE翻折至AAFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF .(1)求证：AABGvAAFG( 2)求证： BG = GC ；(3)求AFGC的面积.【答案】(1)证明：四边形AB

8、CD是正方形,AB = DC = AD = 6 , ZB = ZD = 90 , 将AADE对折得到AAFE ,. AF = AD ， ZAFE = 90 ， ZAFG = 90 = ZB又 AG = AG ,AABG三AAFG(2) 证明： J AB = DC = 6 , CD = 3DE , DE = 2 ， CE = 4 ， EF = DE = 2 ，设 FG = x ，则 BG = FG = x ， CG = 6 - x ， CG = x + 2 ，在直角三角形 ECG 中，由勾股定理得， 42+(6-x)2=(x+2)2解得 x=3 ， BG = FG = 3 ， CG = 6 -

9、3 = 3， BG = GC (3) 解：过点F作FN丄CG于点N ,则 ZFNG = ZDCG = 90 ，又 ,ZFGN=ZEGC, AGFN AGEC , GF = FN = ,GE EC 3 = FN = ,54.FN= 12 ,5 SA CGF= 1 CGFN = 1 x 12 x3= 182 2 5 54.如图，四边形ABCD中，AD=CD , ZDAB=ZACB=90。,过点D作DE丄AC,垂足为F , DE与AB相交于点 E(2)已知AB=15cm, BC=9cm, P是射线DE上的动点，设DP=xcm(x 0),四边形BCDP的面积为ycm2求y关于x的函数关系式；当x为何值

10、时， PBC的周长最小，并求出此时y的值。【答案】(1)证明：*/ZDAB=90.ZDAF+ZBAC=90.DF 丄 AC.ZDFA=90, ZDAF+ZADF=90.ZBAC=ZADF,?ZDFA=ZACB=90.DFAsAACB AF = ADCB AB ABAF=CBAD, AD=CD,ABAF=CBCD ；(2)解:J AB=15, BC=9, ZACB=90,/. AC=VAB2 - BC2 = V152 - 92 = 12, AD=CD, DE 丄 AC, AF=CF=6,y/ (x + 9) 6 = 3x + 27；2 JBC=9, PBC 的周长=PB+PC+BC,.当PB+P

11、C最小时， PBC的周长最小，由（1）知，点C关于直线DE的对称点是点A,.PB+PC=PB+PA,当P、A、B三点共线时PB+PA最小，此时 DP=DE, PB+PA=AB, ABAF=CBAD,15x6=9AD, AD=10，FE是厶ABC中位线， AE=1AB=7.5,2 DE=VAE2 + AD2 = 77.52 + 102 = 25,2.当xJ5时, PBC周长最小，2/.y=3x+27=1.25如图，矩形ABCD中，AB = 8cm, BC=6cm，点O为对角线的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO-OC，以每秒2厘米的速度向终点运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ丄AB于点

12、Q,以PQ 为边向右作正方形PQMN，点P运动的时间为t (秒).CCS圍2备用图1)求点 N 落在 BD 上时 t 的值；(2) 当点O在正方形PQMN内部时，t的取值范围.(3) 当直线DN平分 BCD面积时求出t的值.答案】 (1)解：如图，当点 N 落在 BD 上时，四边形PQMN是正方形， PN/QM , PN = PQ = 2t , DPN DQB , xOy ， PN=PQ=PA=2t,DP=6-2t, QB=AB=862t 2t _ ,6812当t_172时，点N落在BD上;(2) 2 t112(3) 解：设直线DN与BC交于点E, 直线DN平分ABCD面积， BE_CE_3

13、,如图，点P在AD上，过点E作EH/PN交AD于点H, DPN DHE , xOy ， PN_PA_2t，DP_62t， DH_CE_3 ， EH_AB_8 ，62t 2t38解得t _ ;11如图，点P在DO上，连接OE,DE00AM 5有 OE=4， OE/DC/AB/PN ， DPN - DOE ,xOy ,/ DP = 2t - 6 , DO = 5 , OE = 4 ,.2 = EK ，即 pn = 8 (t - 3),545T BEQ BDA , BE = EQ* * BD DA，T BE = 6 + 10 - 2t = 16 - 2t ，.16-2t = Pa，即 EQ = 6

14、(8 - t),1065T EN = EQ ，. 8(t-3) =6(8-t)，解得 t = ；557如图，点P在OC上，设DE与OC交于点S,连接OE,交PQ于点R,有 OE=4， OE/DC ， DSC ESO ， SC = DCSO OE SC = 2SO ，OC = 5SO = OC = 533/ PN/AB/DC/OE , SPN SOE ,xOy ,J SP = 6 + 5 + 5-2t = 38-2t ,3338-2t353即 PN = l52-t ,55J PR/MN/BC ，. ORP OEC ，-OP = PR = ,OC CEOC = 5 ， EC = 3 ，J OP=2

15、t-112t11 = PR53即 PR = 6t 33 ,55QR = BE = 3 PQ = PR + QR = 6t 33 + 3 = 6t 18 ,5555J PN = PQ ，.! t = 6t 18，解得 t = 17 ,55553综上：t的值为24 ,亜,17 .1173【解析】解：（2）如图，当MN过点O时,QM = QP = 2t ， MB = 8 2t ，四边形PQMN是正方形，. MN/DQ ，点O是DB中点，.QM=BM, 2t = 8 - 2t，解得 t=2 ,如图，当PQ过点O时，四边形 ABCD 是矩形 ZA = 9O。， AB=8， AD=6， DB=10，点 O

16、 是 DB 的中点， DO=5， 2t = AD + DO = 6 + 5 = 11，解得 t = 11，2当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2t11 ；2故答案为：2tS1 ），求 PBD 的面积（用含S1 、 S2 的代数式表示）；（3）如图3,点P为0ABCD内一点（点P不在BD上）过点P作EF/AD， HG/AB，与各边分 别相交于点E、F、G、H .设四边形AEPH的面积为S】，四边形PGCF的面积为S2 （其中S2 S1 ），求 PBD 的面积（用含 S1 、 S2 的代数式表示）；（4）如图4,点A、B、C、D把OO四等分请你在圆内选一点P （点P不在AC、BD上）, 设P

17、B、PC、BC围成的封闭图形的面积为S1 , PA、PD、AD围成的封闭图形的面积为S2 , PBD 的面积为 S3 , PAC 的面积为 S4 根据你选的点 P 的位置,直接写出一个含有 S1 、 S2 、S3 、 S4 的等式（写出一种情况即可） 答案】 （ 1） 122）解：如图,连接 PA 、 PC在 APB 中,因为点 E 是 AB 中点,可设 Sape = SBPE = a，同理，SABPF = SACPF = b,SMPG = SADFG = C,LdPH = LaPH = d，所以 S四边形 AEPH+ S四边形 PFCG = /PE + LaPH + SCPF + SMPG

18、= a + b + c + d ,S四边形 EDFP + S四边形 HPGD =BPE + LbPF + LdPH + LdPH = a + b + c + d所以S四边形EBFP + S四边形HPGD + S四边形AEPH + S四边形PFCG = S1 + S2，所以 SAABD =；Sabcd= Si + S2，所以 Ldph = SpH = Si-a SAPBD = SAABD 一 (S1 + SABPE + SPDH) = (S1 + S2) - ( + a + -a)=笃-Si3）解：易证四边形 EBGP 、四边形 HPFD 是平行四边形.所以S四边形EDGP2SAEBPS四边形H

19、PFD所以SaABD = 1S讪CD = 1(S1 + S2 + 2Saebf + %PD)=1(S! + S2)+ SEBP + SPDSaFBD = SAABD -(S1 + SaEBP + SaHPD)= 2 - V (4)解：答案不唯一，如：如图1或图2,此时IS】 S2I =S3+S4 ； 如图3或图4，此时 |S1-S2|=|S3-S4| .【解析】解：（1）过P点作ABMN,S +S =S +S =S -S 矩形 AEPM 矩形 DFPM矩形 CFPN矩形 DFPM 矩形 ABCD 矩形 BEPN又 SAAEP=1S, S m = 1S,2 矩形 AEPM CFP 2 矩形 CFPNSSSAAEP = ACFP =6, S1 + S2 = 12.