微分中值定理与导数的应用整章

《微分中值定理与导数的应用整章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分中值定理与导数的应用整章（142页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 中 值 定 理 及 其 应 用 2.3.1 中 值 定 理 一 、 罗 尔 中 值 定 理 二 、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 三 、 柯 西 中 值 定 理 四 、 小 结 思 考 题 一 、 罗 尔 (Rolle)定 理 罗 尔 （ Rolle） 定 理 如 果 函 数 )(xf 在 闭 区 间 , ba上 连 续 ,在 开 区 间 ),( ba 内 可 导 ,且 在 区 间 端 点 的 函 数 值 相 等 ， 即 )()( bfaf ,那 末 在 ),( ba 内 至 少 有 一 点)( ba ,使 得 函 数 )(xf 在 该 点 的 导 数 等 于 零 ， 即 0)( f )1

2、()2( )3(例 如 , 32)( 2 xxxf ).1)(3( xx,3,1 上 连 续在 ,)3,1( 上 可 导在 ,0)3()1( ff且)3,1(1(,1 取 .0)( f),1(2)( xxf 点 击 图 片 任 意 处 播 放 暂 停物 理 解 释 :变 速 直 线 运 动 在折 返 点 处 ,瞬 时 速度 等 于 零 . 几 何 解 释 : a b1 2 xyo )(xfy.,水 平 的在 该 点 处 的 切 线 是点 上 至 少 有 一在 曲 线 弧C AB C 证 .)1( mM 若 ,)( 连 续在 baxf .mM 和 最 小 值必 有 最 大 值.)( Mxf 则.

3、0)( xf由 此 得 ),( ba .0)( f都 有.)2( mM 若 ),()( bfaf .取 得最 值 不 可 能 同 时 在 端 点 ),(afM 设 .)(),( Mfba 使内 至 少 存 在 一 点则 在 ),()( fxf ,0)()( fxf ,0 x若 ;0)()( x fxf则 有,0 x若 ;0)()( x fxf则 有 ;0)()(lim)( 0 x fxff x ;0)()(lim)( 0 x fxff x ,)( 存 在f).()( ff .0)( f只 有 注 意 :若 罗 尔 定 理 的 三 个 条 件 中 有 一 个 不 满 足 ,其结 论 可 能 不

4、成 立 .例 如 , ;2,2, xxy , ,)0(2,2的 一 切 条 件 满 足 罗 尔 定 理不 存 在 外上 除在 f .0)( 2-2 xf使 内 找 不 到 一 点 能，但 在 区 间 ;0,0 1,0(,1 x xxy .1,0, xxy又 例 如 , 例 1 .1 0155的 正 实 根 有 且 仅 有 一 个 小 于证 明 方 程 xx证 ,15)( 5 xxxf设 ,1,0)( 连 续在则 xf.3)1(,1)0( ff且 由 介 值 定 理.0)(),1,0( 00 xfx 使 即 为 方 程 的 小 于 1的 正 实 根 .,),1,0( 011 xxx 设 另 有

5、.0)( 1 xf使 ,)( 10 件之 间 满 足 罗 尔 定 理 的 条在 xxxf 使 得之 间在至 少 存 在 一 个 ),( 10 xx .0)( f)1(5)( 4 xxf但 )1,0(,0 x 矛 盾 , .为 唯 一 实 根 二 、 拉 格 朗 日 (Lagrange)中 值 定 理 拉 格 朗 日 （ Lagrange） 中 值 定 理 如 果 函 数 f(x)在闭 区 间 , ba 上 连 续 ,在 开 区 间 ),( ba 内 可 导 ,那 末 在),( ba 内 至 少 有 一 点 )( ba ， 使 等 式 )()()( abfafbf 成 立 . )1()2( ).

6、()(: bfaf 去 掉 了与 罗 尔 定 理 相 比 条 件 中注 意 ).()()( fab afbf结 论 亦 可 写 成 a b1 2x xoy )(xfyA BC DNM几 何 解 释 : ., ABC AB线 平 行 于 弦在 该 点 处 的 切一 点 上 至 少 有在 曲 线 弧证 分 析 : ).()( bfaf 条 件 中 与 罗 尔 定 理 相 差弦 AB方 程 为 ).()()()( axab afbfafy ,)( ABxf 减 去 弦曲 线 ., 两 端 点 的 函 数 值 相 等所 得 曲 线 ba 作 辅 助 函 数 ).()()()()()( axab afb

7、fafxfxF ,)( 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件xF .0)(,),( Fba 使 得内 至 少 存 在 一 点则 在 0)()()( ab afbff即 ).)()()( abfafbf 或 拉 格 朗 日 中 值 公 式注 意 :拉 氏 公 式 精 确 地 表 达 了 函 数 在 一 个 区 间 上 的增 量 与 函 数 在 这 区 间 内 某 点 处 的 导 数 之 间 的 关 系 . ,),(,)( 内 可 导在上 连 续 ，在设 babaxf ).10()()()( 000 xxxfxfxxf 则 有),(, 00 baxxx ).10()( 0 xxxfy也 可 写 成

8、.的 精 确 表 达 式增 量 y拉 格 朗 日 中 值 定 理 又 称 有 限 增 量 定 理 .拉 格 朗 日 中 值 公 式 又 称 有 限 增 量 公 式 .微 分 中 值 定 理推 论 .)( ,)(上 是 一 个 常 数在 区 间那 末 上 的 导 数 恒 为 零在 区 间如 果 函 数 Ixf Ixf 例 2 ).11(2arccosarcsin xxx证 明证 1,1,arccosarcsin)( xxxxf设 )1 1(1 1)( 22 xxxf .01,1,)( xCxf 0arccos0arcsin)0( f又 20 ,2.2C即 .2arccosarcsin xx 例

9、3 .)1ln(1,0 xxxxx 时证 明 当证 ),1ln()( xxf 设 ,0)( 上 满 足 拉 氏 定 理 的 条 件在 xxf )0(),0)()0()( xxffxf ,1 1)(,0)0( xxff 由 上 式 得 ,1)1ln( xxx0又 x 111 ,11 11 1 x,11 xxxx .)1ln(1 xxxx 即 三 、 柯 西 (Cauchy)中 值 定 理 柯 西 （ Cauchy） 中 值 定 理 如 果 函 数 )(xf 及 )(xF 在 闭 区 间 , ba 上 连 续 ,在 开 区 间 ),( ba 内 可 导 ,且)( xF 在 ),( ba 内 每 一

10、 点 处 均 不 为 零 ， 那 末 在 ),( ba 内 至 少 有 一 点 )( ba ,使 等 式 )( )()()( )()( FfaFbF afbf 成 立 . 几 何 解 释 : )( 1F )( 2F xoy )( )(xfY xFX)(aFA )(bF BC D)(xF NM. ),(),(AB fFC AB弦该 点 处 的 切 线 平 行 于 在一 点 上 至 少 有在 曲 线 弧 证 作 辅 助 函 数 ).()()()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx ,)( 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件x .0)(,),( 使 得内 至 少 存 在 一

11、 点则 在 ba ,0)()()( )()()( FaFbF afbff即 .)( )()()( )()( FfaFbF afbf .0)(,),( 使 得内 至 少 存 在 一 点则 在 ba ,)( xxF 当 ,1)(,)()( xFabaFbF)( )()()( )()( FfaFbF afbf ).()()( fab afbf 例 4 ).0()1(2)(),1,0( :,)1,0(,1,0)( fffxf 使至 少 存 在 一 点 证 明内 可 导在上 连 续在设 函 数证 分 析 : 结 论 可 变 形 为 2 )(01 )0()1( fff .)( )(2 xx xf ,)(

12、2xxg 设 ,1,0)(),( 条 件上 满 足 柯 西 中 值 定 理 的在则 xgxf 有内 至 少 存 在 一 点在 ,)1,0( 2 )(01 )0()1( fff ).0()1(2)( fff 即 四 、 小 结Rolle定 理 Lagrange中 值 定 理 Cauchy中 值 定 理xxF )()()( bfaf 罗 尔 定 理 、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 及 柯 西 中 值 定 理之 间 的 关 系 ；注 意 定 理 成 立 的 条 件 ；注 意 利 用 中 值 定 理 证 明 等 式 与 不 等 式 的 步 骤 . 思 考 题 试 举 例 说 明 拉 格 朗 日 中

13、 值 定 理 的 条 件缺 一 不 可 . 思 考 题 解 答 1,3 10,)( 21 x xxxf不 满 足 在 闭 区 间 上 连 续 的 条 件 ；,1)(2 baxxxf 且 0ab不 满 足 在 开 区 间 内 可 微 的 条 件 ；以 上 两 个 都 可 说 明 问 题 . 一 、 填 空 题 ： 1、 函 数 4)( xxf 在 区 间 1,2上 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 则 =_. 2、 设 )4)(3)(2)(1()( xxxxxf ， 方 程0)( xf 有 _个 根 ， 它 们 分 别 在 区 间 _上 . 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定

14、 理 之 间 的 关 系 是 _. 4、 微 分 中 值 定 理 精 确 地 表 达 函 数 在 一 个 区 间 上 的 _与 函 数 在 这 区 间 内 某 点 处 的 _之 间 的 关 系 . 5、 如 果 函 数 )(xf 在 区 间 I 上 的 导 数 _， 那 么 )(xf 在 区 间 I上 是 一 个 常 数 . 练 习 题 二 、 试 证 明 对 函 数 rqxpxy 2 应 用 拉 氏 中 值 定 理 时 所 求 得 的 点 总 是 位 于 区 间 的 正 中 间 . 三 、 证 明 等 式 21arctan1arcsin 22 xxx )1,0( x . 四 、 设 0 ba

15、 ， 1n ， 证 明 )()( 11 banababanb nnnn . 五 、 证 明 下 列 不 等 式 ： 1、 baba arctanarctan ； 2、 时当 1x ， exex . 六 、 设 函 数 )(xfy 在 0 x 的 某 邻 域 内 且 有 n阶 导 数 ， 且 )0()0()0( )1( nfff 试 用 柯 西 中 值 定 理 证 明 ： ! )()( )( n xfxxf nn ， （ 10 ） . 七 、 设 )(xf 在 ba, 内 上 连 续 ， 在 ( ba, )内 可 导 ， 若 ba 0 ,则 在 ( ba, )内 存 在 一 点 ， 使 )()(

16、)()( baffabfbaf . 一 、 1、 3 415；2、 3,(1,2),(2,3),(3,4)； 3、 前 者 是 后 者 的 特 殊 情 形 ,加 )()( bfaf 即 可 ；4、 增 量 ,导 数 ； 5、 恒 为 零 . 练 习 题 答 案 2.3.2 洛 必 达 法 则洛 必 达 法 则型 未 定 式 解 法型 及一 、 :00 型 未 定 式 解 法二 、 00 ,1,0,0 三 、 小 结 洛 必 达 法 则型 未 定 式 解 法型 及一 、 :00 定 义 .00)( )(lim )()( )()( 型 未 定 式或常 把 这 种 极 限 称 为 在 通可 能 存

17、在 、 也 可 能 不 存极 限 大 ， 那 末都 趋 于 零 或 都 趋 于 无 穷与 时 ， 两 个 函 数或如 果 当 xF xfxFxf xaxx ax例 如 , ,tanlim0 x xx ,sinlnsinlnlim0 bxaxx)00( )( .)( )(lim)( )(lim );()( )(lim)3( ;0)( )()(,)2( ;)()(,)1( xF xfxF xfxF xfxF xFxfa xFxfax axaxax 那 末 或 为 无 穷 大存 在且 都 存 在及点 的 某 去 心 邻 域 内在 都 趋 于 零及函 数时当 设定 理定 义 这 种 在 一 定 条 件

18、 下 通 过 分 子 分 母 分 别 求 导 再求 极 限 来 确 定 未 定 式 的 值 的 方 法 称 为 洛 必 达 法 则 . 证 定 义 辅 助 函 数 ,0 ),()(1 ax axxfxf ,0 ),()(1 ax axxFxF,),(0 xaU 内 任 取 一 点在 ,为 端 点 的 区 间 上与在 以 xa ,)(),( 11 件满 足 柯 西 中 值 定 理 的 条xFxf 则 有)()( )()()( )( aFxF afxfxF xf )( )(Ff )( 之 间与在 ax, aax 时当 ,)( )(lim AxF xfax ,)( )(lim AFfa .)( )(

19、lim)( )(lim AFfxF xf aax .,该 法 则 仍 然 成 立时当 x 使 用 洛 必 达 法 则 ， 即定 理 的 条 件 ， 可 以 继 续 满 足型 ， 且仍 属如 果 )(),(00)( )( xFxfxF xf .)( )(lim)( )(lim)( )(lim xF xfxF xfxF xf axaxax .)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf xx ., 也 有 相 应 的 洛 必 达 法 则时 的 未 定 式当 xax 例 1解 .tanlim0 x xx求 )( )(tanlim0 x xx原 式 1seclim 20 xx .1例 2解

20、.123lim 23 31 xxx xxx求 123 33lim 2 21 xx xx原 式 26 6lim1 x xx .23)00( )00( 例 3解 .1arctan2lim x xx 求 2 211 1lim xxx 原 式 221lim xxx .1例 4解 .sinlnsinlnlim0 bxaxx求 axbxb bxaxax sincos sincoslim0 原 式 .1)00( )( axbxx coscoslim0 例 5解 .3tantanlim2 xxx 求 xxx 3sec3seclim 222原 式 xxx 222 cos 3coslim31 xx xxx sin

21、cos2 3sin3cos6lim31 2 xxx 2sin6sinlim2xxx 2cos2 6cos6lim2 .3 )( 注 意 ： 洛 必 达 法 则 是 求 未 定 式 的 一 种 有 效 方 法 ，但 与 其 它 求 极 限 方 法 结 合 使 用 ， 效 果 更 好 .例 6解 .tantanlim 20 xx xxx 求 30 tanlim x xxx 原 式 x xxx 6 tansec2lim 20 220 3 1seclim xxx x xx tanlim31 0 .31 型 未 定 式 解 法二 、 00 ,1,0,0 例 7解 .lim 2 xx ex求 )0( xe

22、xx 2lim原 式 2lim xx e .关 键 :将 其 它 类 型 未 定 式 化 为 洛 必 达 法 则 可 解 决的 类 型 .),00( )( 型0.1步 骤 : ,10 .0100 或 例 8解 ).1sin1(lim0 xxx 求 )( 0101 .00 00 xx xxx sinsinlim0 原 式 xxx xx cossin cos1lim0 .0型.2步 骤 : 步 骤 : 型00 ,1,0.3 ln0 1ln0ln010 00 取 对 数 .0 例 9解 .lim0 xx x求 )0( 0 xxx e ln0lim原 式 xxxe lnlim020 11lim xxx

23、e 0e .1 xxxe 1lnlim0 例 10解 .lim 111 xx x 求 )1( xxx e ln111lim 原 式 xxxe 1lnlim1 11lim1 xxe .1 e例 11解 .)(cotlim ln10 xx x求 )( 0,)(cot )ln(cotln1ln1 xxx ex 取 对 数 得 )ln(cotln1lim0 xxx x xxx 1 sin1cot1lim 20 xx xx sincoslim0 ,1 .1 e原 式 例 12解 .coslim x xxx 求 1sin1lim xx 原 式 ).sin1(lim xx 极 限 不 存 在洛 必 达 法

24、则 失 效 。 )cos11(lim xxx 原 式 .1注 意 ： 洛 必 达 法 则 的 使 用 条 件 三 、 小 结洛 必 达 法 则 型00 ,1,0 型 型0型00 型 gfgf 1fg fggf 11 11 取 对 数令 gfy 思 考 题 设 )( )(lim xg xf 是 不 定 型 极 限 ， 如 果 )( )(xg xf 的 极 限 不 存 在 ， 是 否 )( )(xg xf 的 极 限 也 一 定 不 存 在 ？ 举 例 说 明 . 思 考 题 解 答不 一 定 例 ,sin)( xxxf xxg )(显 然 )( )(lim xg xfx 1cos1lim xx

25、极 限 不 存 在 但 )( )(lim xg xfx x xxx sinlim 1 极 限 存 在 一 、 填 空 题 ： 1、 洛 必 达 法 则 除 了 可 用 于 求 “ 00” ， 及 “ ” 两 种 类 型 的 未 定 式 的 极 限 外 ， 也 可 通 过 变 换 解 决_， _， _， _， _， 等 型 的 未 定 式的 求 极 限 的 问 题 . 2、 x xx )1ln(lim0 =_. 3、 xxx 2tanln 7tanlnlim0 =_. 练 习 题 二 、 用 洛 必 达 法 则 求 下 列 极 限 ： 1、 22 )2( sinlnlim xxx ； 2、 xx

26、x arctan )11ln(lim ； 3、 xxx 2cotlim0 ； 4、 )1112(lim 21 xxx ； 5、 xx xsin0lim ； 6、 xx x tan0 )1(lim ； 7、 xx x)arctan2(lim . 三 、 讨 论 函 数 0, 0,)1()( 21 1 1 xe xexxf xx 当当 , 在 处点 0 x 的 连 续 性 . 一 、 1、 00,0,1,0 ； 2、 1； 3、 1. 二 、 1、 81； 2、 1； 3、 21； 4、 21； 5、 1； 6、 1； 7、 2e . 三 、 连 续 . 练 习 题 答 案 2.3.3 泰 勒 (

27、Taylor)定 理 一 、 问 题 的 提 出 二 、 Pn和 Rn的 确 定 三 、 泰 勒 中 值 定 理 四 、 简 单 应 用 五 、 小 结 思 考 题 一 、 问 题 的 提 出1.设 )(xf 在 0 x 处 连 续 ,则 有2.设 )(xf 在 0 x 处 可 导 ,则 有 例 如 , 当 x 很 小 时 , xex 1 , xx )1ln( )()( 0 xfxf )()()()( 0000 xxoxxxfxfxf （ 如 下 图 ）)()( 0 xfxf )()()( 000 xxxfxfxf xey xy 1 o xey o xy )1ln( xy 不 足 :问 题 :

28、 寻 找 函 数 )(xP ,使 得 )()( xPxf 误 差 )()()( xPxfxR 可 估 计1、 精 确 度 不 高 ； 2、 误 差 不 能 估 计 . 设 函 数 )(xf 在 含 有 0 x 的 开 区 间 ),( ba 内 具 有 直 到)1( n 阶 导 数 , )(xP 为 多 项 式 函 数 nnn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0202010 误 差 )()()( xPxfxR nn 二 、 nP 和 nR 的 确 定 0 x )(xfyo xy分 析 : )()( 00 xfxPn )()( 00 xfxPn )()( 00 xfxPn 2.若 有

29、相 同 的 切 线3.若 弯 曲 方 向 相 同近似程度越来越好 1.若 在 点 相 交0 x 假 设 nkxfxP kkn ,2,1)()( 0)(0)( ),( 00 xfa 代 入 )(xPn 中 得 nnn xxn xf xxxfxxxfxfxP )(! )( )(!2 )()()()( 00)( 200000 得 ),2,1,0()(!1 0)( nkxfka kk ),(1 01 xfa )(!2 02 xfa , )(! 0)( xfan nn 三 、 泰 勒 (Taylor)中 值 定 理泰 勒 (Taylor)中 值 定 理 如 果 函 数 )(xf 在 含 有 0 x 的

30、某 个 开 区 间 ),( ba 内 具 有 直 到 )1( n 阶 的 导 数 ,则当 x在 ),( ba 内 时 , )(xf 可 以 表 示 为 )( 0 xx 的 一 个n 次 多 项 式 与 一 个 余 项 )(xRn 之 和 : )()(! )( )(!2 )()()()( 00)( 200000 xRxxn xf xxxfxxxfxfxf nnn 其 中 10)1( )()!1( )()( nnn xxnfxR (在 0 x 与 x之 间 ). 证 明 : 由 假 设 , )(xRn 在 ),( ba 内 具 有 直 到 )1( n 阶导 数 ,且两 函 数 )(xRn 及 10

31、)( nxx 在 以 0 x 及 x 为 端 点 的区 间 上 满 足 柯 西 中 值 定 理 的 条 件 ,得 )()(1( )( 0101 1 之 间与在 xxxn R nn 0)( )()()( )( 10 010 n nnnn xx xRxRxx xR 0)()()()( 0)(000 xRxRxRxR nnnnn 如 此 下 去 ,经 过 )1( n 次 后 ,得 两 函 数 )(xRn 及 nxxn )(1( 0 在 以 0 x 及 1 为 端 点 的 区 间 上 满 足 柯 西 中 值 定 理 的 条 件 ,得0)(1( )()()(1( )( 01 0101 1 nnnnn x

32、n xRRxn R !1 )()( )( )1(10 nRxx xR nnnn ( 之 间与在 nx 0 ,也 在 0 x 与 x之 间 ) )()(1( )( 102102 2 之 间与在 xxnn R nn nk kkn xxk xfxP 0 00)( )(! )()( 称 为 )(xf 按 )( 0 xx 的 幂 展 开 的 n 次 近 似 多 项 式 nk nkk xRxxk xfxf 0 00)( )()(! )()( 称 为 )(xf 按 )( 0 xx 的 幂 展 开 的 n 阶 泰 勒 公 式 )()(!1 )()( 010)1( 之 间与在 xxxxnfxR nnn 则 由

33、上 式 得 ,0)()1( xP nn )()( )1()1( xfxR nnn 拉 格 朗 日 形 式 的 余 项 1010)1( )(!1)(!1 )()( nnnn xxnMxxnfxR )()(! )()( 000 0)( nknk k xxoxxk xfxf )()(!1 )()( 010)1( 之 间与在 xxxxnfxR nnn 皮 亚 诺 形 式 的 余 项0)( )(lim 00 nnxx xx xR及 .)()( 0 nn xxoxR 即 注 意 : 1. 当 0n 时 ,泰 勒 公 式 变 成 拉 氏 中 值 公 式 )()()()( 000 之 间与在 xxxxfxfx

34、f 2.取 00 x , 在 0与 x之 间 ,令 )10( x 则 余 项 1)1( )!1( )()( nnn xn xfxR )( ! )0(!2 )0()0()0()( )(2n nnxO xnfxfxffxf )10()!1( )( ! )0(!2 )0()0()0()( 1)1( )(2 nn nnxn xf xnfxfxffxf 麦 克 劳 林 (Maclaurin)公 式 四 、 简 单 的 应 用 例 1 求 xexf )( 的 n阶 麦 克 劳 林 公 式 .解 ,)()()( )( xn exfxfxf 1)0()0()0()0( )( nffff xn exf )()1

35、(注 意 到 代 入 公 式 ,得 ).10()!1(!21 12 nxnx xnenxxxe 由 公 式 可 知 !21 2 nxxxe nx 估 计 误 差 )0( x设 !1!2111,1 nex 取 .)!1( 3 n其 误 差 )!1( n eRn ).10()!1()!1()( 11 nxnxn xnexnexR 常 用 函 数 的 麦 克 劳 林 公 式 )()!12()1(!5!3sin 221253 nnn xonxxxxx )()!2()1(!6!4!21cos 22642 nnn xonxxxxx )(1)1(32)1ln( 1132 nnn xonxxxxx )(11

36、1 2 nn xoxxxx )(! )1()1( !2 )1(1)1( 2 nnm xoxn nmmm xmmmxx 例 2 计 算 40 3cos2lim 2 x xexx .解 )(!211 4422 xoxxex )(!4!21cos 542 xoxxx )()!412!21(3cos2 442 xoxxex 4 440 )(127lim x xoxx 原 式 .127 xy xy sin 播 放 五 、 小 结1.Taylor公 式 在 近 似 计 算 中 的 应 用 ; 思 考 题利 用 泰 勒 公 式 求 极 限 30 )1(sinlim x xxxexx 思考题解答 )(!3!2

37、1 332 xoxxxex )(!3sin 33 xoxxx 30 )1(sinlim x xxxexx 3 333320 )1()(!3)(!3!21lim x xxxoxxxoxxxx 3 3330 )(!3!2lim x xoxxx .31 一 、 当 10 x 时 ， 求 函 数 xxf 1)( 的 n 阶 泰 勒 公 式 . 二 、 求 函 数 xxexf )( 的 n 阶 麦 克 劳 林 公 式 . 三 、 验 证 210 x 时 ， 按 公 式 621 32 xxxex 计 算xe 的 近 似 值 ， 可 产 生 的 误 差 小 于 0.01， 并 求 e 的 近 似 值 ， 使

38、 误 差 小 于 0.01 . 四 、 应 用 三 阶 泰 勒 公 式 求 3 30的 近 似 值 ， 并 估 计 误 差 . 五 、 利 用 泰 勒 公 式 求 极 限 ： 1、 xex xx 4 20 sincoslim 2 ； 2、 )11ln(lim 2 xxxx . 练 习 题 一 、 )1()1()1(11 2 nxxxx )1,0()1(1 )1()1( 211 nnn xx . 二 、 )!1(!232 nxxxxxe nx )10(,)1()!1( 1 1 nx xexnn . 三 、 645.1e . 四 、 533 1088.1,10724.330 R . 五 、 1、

39、121 . 2、 21 . 练 习 题 答 案 xy xy sin五 、 小 结1.Taylor公 式 在 近 似 计 算 中 的 应 用 ; xy xy sin !33xxy o五 、 小 结1.Taylor公 式 在 近 似 计 算 中 的 应 用 ; xy xy sin !33xxy o!5!3 53 xxxy 五 、 小 结1.Taylor公 式 在 近 似 计 算 中 的 应 用 ; xy xy sin!33xxy !5!3 53 xxxy !7!5!3 753 xxxxy o五 、 小 结1.Taylor公 式 在 近 似 计 算 中 的 应 用 ; 2.4.1 一 函 数 单 调

40、 性 的 判 定 法 一 、 单 调 性 的 判 别 法 二 、 单 调 区 间 求 法 三 、 小 结 思 考 题 一 、 单 调 性 的 判 别 法xyo )(xfy xyo )(xfy a bA B0)( xf 0)( xf定 理 .,)( 0)(),()2(, )(0)(),(1. ),(,)( 上 单 调 减 少在那 末 函 数 ，内如 果 在上 单 调 增 加 ；在 ， 那 末 函 数内如 果 在）（导 内 可上 连 续 ， 在在设 函 数 baxfy xfbaba xfyxfba babaxfy a bBA 证 ),(, 21 baxx ,21 xx 且 应 用 拉 氏 定 理

41、,得)()()()( 211212 xxxxfxfxf ,012 xx ,0)(),( xfba 内 ，若 在 ,0)( f则).()( 12 xfxf .,)( 上 单 调 增 加在 baxfy ,0)(),( xfba 内 ，若 在 ,0)( f则).()( 12 xfxf .,)( 上 单 调 减 少在 baxfy 例 1解 .1的 单 调 性讨 论 函 数 xey x.1 xey ,)0,( 内在 ,0y函 数 单 调 减 少 ； ,),0( 内在 ,0y .函 数 单 调 增 加注 意 :函 数 的 单 调 性 是 一 个 区 间 上 的 性 质 ， 要 用导 数 在 这 一 区 间

42、 上 的 符 号 来 判 定 ， 而 不 能 用 一点 处 的 导 数 符 号 来 判 别 一 个 区 间 上 的 单 调 性 ).,(: D又 二 、 单 调 区 间 求 法问 题 :如 上 例 ， 函 数 在 定 义 区 间 上 不 是 单 调 的 ，但 在 各 个 部 分 区 间 上 单 调 定 义 :若 函 数 在 其 定 义 域 的 某 个 区 间 内 是 单 调的 ， 则 该 区 间 称 为 函 数 的 单 调 区 间 .导 数 等 于 零 的 点 和 不 可 导 点 ， 可 能 是 单 调 区 间的 分 界 点 方 法 : . ,)( )(0)(数 的 符 号 然 后 判 断 区

43、 间 内 导的 定 义 区 间来 划 分 函 数 不 存 在 的 点的 根 及用 方 程 xf xfxf 例 2解 .312 92)( 23的 单 调 区 间确 定 函 数 x xxxf).,(: D 12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx得 ，解 方 程 0)( xf .2,1 21 xx时 ，当 1 x ,0)( xf 上 单 调 增 加 ；在 1,(时 ，当 21 x ,0)( xf 上 单 调 减 少 ；在 2,1时 ，当 x2 ,0)( xf 上 单 调 增 加 ；在 ),2 单 调 区 间 为 ，1,( ，2,1 ).,2 例 3解 .)( 3 2 的 单 调 区 间确

44、 定 函 数 xxf ).,(: D )0(,32)( 3 xxxf .,0 导 数 不 存 在时当 x 时 ，当 0 x ,0)( xf 上 单 调 增 加 ；在 ),0 时 ，当 x0 ,0)( xf 上 单 调 减 少 ；在 0,(单 调 区 间 为 ，0,( ).,0 3 2xy 例 4证 .)1ln(,0 成 立试 证时当 xxx ),1ln()( xxxf 设 .1)( xxxf 则 ,0)(),0(,),0)( xfxf 可 导 ，且上 连 续在 上 单 调 增 加 ；在 ),0 ,0)0( f时 ，当 0 x ,0)1ln( xx ).1ln( xx 即注 意 :区 间 内 个

45、 别 点 导 数 为 零 ,不 影 响 区 间 的 单 调 性 .例 如 , ,3xy ,00 xy .),( 上 单 调 增 加但 在 三 、 小 结单 调 性 的 判 别 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 重 要 应 用 .定 理 中 的 区 间 换 成 其 它 有 限 或 无 限 区 间 ， 结 论仍 然 成 立 .应 用 ： 利 用 函 数 的 单 调 性 可 以 确 定 某 些 方 程 实根 的 个 数 和 证 明 不 等 式 . 思 考 题 若 0)0( f ， 是 否 能 断 定 )(xf 在 原 点 的充 分 小 的 邻 域 内 单 调 递 增 ？ 思 考 题 解 答不

46、能 断 定 . 例 0,0 0,1sin2)( 2 x xxxxxf )0(f )1sin21(lim0 xxx 01但 0,1cos21sin41)( xxxxxf )212( 1kx当 时 ， 0)212( 41)( kxf kx 21当 时 ， 01)( xf注 意 可 以 任 意 大 ， 故 在 点 的 任 何 邻域 内 ， 都 不 单 调 递 增 k 00 x)(xf -0.1-0.050.050.1 -0.075 -0.05 -0.025 0.025 0.05 0.075 一 、 填 空 题 ：1、 函 数 71862 23 xxxy 单 调 区 间 为 _ _.2、 函 数 21

47、 2 xxy 在 区 间 -1,1上 单 调 _， 在 _上 单 调 减 .3、 函 数 22 ln xxy 的 单 调 区 间 为 _， 单 减 区 间 为 _.二 、 确 定 下 列 函 数 的 单 调 区 间 ： 1、 xxxy 694 10 23 ；2、 3 2)(2( xaaxy ( 0a )； 3、 xxy 2sin . 练 习 题 三 、 证 明 下 列 不 等 式 ：1、 当 0 x 时 ， 22 1)1ln(1 xxxx ； 2、 当 4x 时 ， 22 xx ；3、 若 0 x ， 则 361sin xxx . 四 、 方 程 )0(ln aaxx 有 几 个 实 根 .五

48、 、 设 )(xf 在 ba, 上 连 续 ， 在 ( ba, )内 )(xf ,试 证 明 ： 对 于 ba, 上 任 意 两 1x ， 2x 有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf 提 示 ： 方 法 （ 1） 0)( xf ， )(xf 单 增 ； 方 法 （ 2） 0)( xf ， 利 用 泰 勒 公 式 一 、 1、 ),3,1,( 单 调 增 加 , 3,1 单 调 减 少 ； 2、 增 加 , ),1,1,( 3、 1,( , ),1 ； 1,0(,1,(;1,0(),0,1 . 二 、 1、 在 ),1,21,0(),0,( 内 单 调 减 少 , 在 1,21 上

49、单 调 增 加 ； 2、 在 ),32,( aa 内 单 调 增 加 , 在 ,32 aa 上 单 调 减 少 ； 练 习 题 答 案 3、 在 32,2 kk 上 单 调 增 加 , 在 22,32 kk 上 单 调 减 少 , ),2,1,0( k .四 、 (1) ea 1 时 没 有 实 根 ； (2) ea 10 时 有 两 个 实 根 ；(3) ea 1 时 只 有 ex 一 个 实 根 . 二 函 数 极 值 及 其 求 法 一 、 函 数 极 值 的 定 义 二 、 函 数 极 值 的 求 法 三 、 小 结 思 考 题 一 、 函 数 极 值 的 定 义o xya b)(xf

50、y 1x 2x 3x 4x 5x 6xo xy o xy0 x 0 x .)()( ,)()(, , ;)()( ,)()(, ,),( ,),()(0 0000 000 0的 一 个 极 小 值是 函 数 就 称均 成 立外除 了 点任 何 点 对 于 这 邻 域 内 的的 一 个 邻 域如 果 存 在 着 点 的 一 个 极 大 值是 函 数 就 称均 成 立外除 了 点任 何 点 对 于 这 邻 域 内 的的 一 个 邻 域如 果 存 在 着 点内 的 一 个 点 是内 有 定 义在 区 间设 函 数 xfxf xfxfxx xxfxf xfxfxx xba xbaxf 定 义函 数 的

51、 极 大 值 与 极 小 值 统 称 为 极 值 ,使 函 数 取 得极 值 的 点 称 为 极 值 点 . 二 、 函 数 极 值 的 求 法 设 )(xf 在 点 0 x 处 具 有 导 数 ,且在 0 x 处 取 得 极 值 ,那 末 必 定 0)( 0 xf .定 理 1(必 要 条 件 )定 义 .)( )0)(的 驻 点做 函 数 叫的 实 根即 方 程使 导 数 为 零 的 点xf xf 注 意 : . ,)( 是 极 值 点但 函 数 的 驻 点 却 不 一 定 点的 极 值 点 必 定 是 它 的 驻可 导 函 数 xf例 如 , ,3xy ,00 xy .0不 是 极 值

52、点但 x (1)如 果 ),( 00 xxx 有 ;0)( xf 而 ),( 00 xxx , 有 0)( xf ， 则 )(xf 在 0 x 处 取 得 极 大 值 . (2)如 果 ),( 00 xxx 有 ;0)( xf 而 ),( 00 xxx 有 0)( xf ， 则 )(xf 在 0 x 处 取 得 极 小 值 . (3)如 果 当 ),( 00 xxx 及 ),( 00 xxx 时 , )( xf符 号 相 同 ,则 )(xf 在 0 x 处 无 极 值 . 定 理 2(第 一 充 分 条 件 )xyo xyo0 x 0 x (是 极 值 点 情 形 ) xyo xyo0 x 0

53、 x 求 极 值 的 步 骤 :);()1( xf求 导 数 ;0)()2( 的 根求 驻 点 ， 即 方 程 xf ;,)()3( 判 断 极 值 点在 驻 点 左 右 的 正 负 号检 查 xf.)4( 求 极 值 (不 是 极 值 点 情 形 ) 例 1解 .593)( 23 的 极 值求 出 函 数 xxxxf 963)( 2 xxxf ，令 0)( xf .3,1 21 xx得 驻 点 列 表 讨 论x )1,( ),3( )3,1(1 3)(xf )(xf 0 0 极大值 极小值)3(f极 小 值 .22)1(f极 大 值 ,10 )3)(1(3 xx 593)( 23 xxxxf

54、 M m图 形 如 下 设 )(xf 在 0 x 处 具 有 二 阶 导 数 ,且 0)( 0 xf , 0)( 0 xf , 那 末 (1)当 0)( 0 xf 时 , 函 数 )(xf 在 0 x 处 取 得 极 大 值 ;(2)当 0)( 0 xf 时 , 函 数 )(xf 在 0 x 处 取 得 极 小 值 . 定 理 3(第 二 充 分 条 件 )证 )1( x xfxxfxf x )()(lim)( 0000 ,0异 号 ，与故 xxfxxf )()( 00 时 ，当 0 x )()( 00 xfxxf 有 ,0时 ，当 0 x )()( 00 xfxxf 有 ,0 所 以 ， 函

55、 数 )(xf 在 0 x 处 取 得 极 大 值 同 理 可 证 (2). 例 2解 .20243)( 23 的 极 值求 出 函 数 xxxxf 2463)( 2 xxxf ，令 0)( xf .2,4 21 xx得 驻 点 )2)(4(3 xx,66)( xxf )4(f ,018 )4(f故 极 大 值 ,60 )2(f ,018 )2(f故 极 小 值 .4820243)( 23 xxxxf 图 形 如 下 M m注 意 : .2 ,)(,0)( 00仍 用 定 理 处 不 一 定 取 极 值在 点时 xxfxf 例 3解 .)2(1)( 32的 极 值求 出 函 数 xxf )2(

56、)2(32)( 31 xxxf .)(,2 不 存 在时当 xfx 时 ，当 2x ;0)( xf时 ，当 2x .0)( xf .)(1)2( 的 极 大 值为 xff .)( 在 该 点 连 续但 函 数 xf注 意 :函 数 的 不 可 导 点 ,也 可 能 是 函 数 的 极 值 点 .M 三 、 小 结极 值 是 函 数 的 局 部 性 概 念 :极 大 值 可 能 小 于 极 小值 ,极 小 值 可 能 大 于 极 大 值 .驻 点 和 不 可 导 点 统 称 为 临 界 点 .函 数 的 极 值 必 在 临 界 点 取 得 .判 别 法 第 一 充 分 条 件 ;第 二 充 分

57、条 件 ; (注 意 使 用 条 件 ) 思 考 题下 命 题 正 确 吗 ？ 如 果 0 x 为 )(xf 的 极 小 值 点 ， 那 么 必 存 在0 x 的 某 邻 域 ， 在 此 邻 域 内 ， )(xf 在 0 x 的 左 侧 下 降 ， 而 在 0 x 的 右 侧 上 升 . 思 考 题 解 答不 正 确 例 0,2 0),1sin2(2)( 2 xxxxxf 当 0 x 时 ， )0()( fxf )1sin2(2 xx 0 于 是 0 x 为 )(xf 的 极 小 值 点 当 0 x 时 ， 当 0 x 时 ， ,0)1sin2(2 xx x1cos 在 1和 1之 间 振 荡

58、 因 而 )(xf 在 0 x 的 两 侧 都 不 单 调 .故 命 题 不 成 立 xxxxf 1cos)1sin2(2)( 一 、 填 空 题 ：1、 极 值 反 映 的 是 函 数 的 _性 质 . 2、 若 函 数 )(xfy 在 0 xx 可 导 ， 则 它 在 点 0 x 处 到 得 极 值 的 必 要 条 件 中 为 _. 3、 函 数 32)1(2 xy 的 极 值 点 为 _ ；31)1(23 xy 的 极 值 为 _. 4、 已 知 函 数 0,1 0,)( 3 xx xxxf x 当 _x 时 ，为 极_y 小 值 ； 当 时_x ，为 极_y 大 值 . 练 习 题 二

59、 、 求 下 列 函 数 的 极 值 ： 1、 xey x cos ； 2、 xxy 1 ； 3、 方 程 02 ye yx 所 确 定 的 函 数 )(xfy ； 4、 0,0 0,2 1x xey x . 三 、 证 明 题 ： 1、 如 果 dcxbxaxy 23 满 足 条 032 acb ， 则 函 数 无 极 值 . 2、 设 )(xf 是 有 连 续 的 二 阶 导 数 的 偶 函 数 0)( xf ， 则 0 x 为 )(xf 的 极 值 点 . 一 、 1、 局 部 ； 2、 0)( 0 xf ； 3、 (1,2),无 ； 4、 1,0,)1(,1 3eee ; 二 、 1、

60、 极 大 值 keky 2422)24( ,极 小 值 ),2,1,0(22)12(4( )12(4 keky k ； 2、 极 大 值 eeey 1)( ；3、 极 小 值 1)0( y ； 4、 极 小 值 0)0( y . 练 习 题 答 案 三 最 大 值 、 最 小 值 问 题 一 、 最 值 的 求 法 二 、 应 用 举 例 三 、 小 结 思 考 题 一 、 最 值 的 求 法o xy o xyba o xya b a b. ,)(,)( 在上 的 最 大 值 与 最 小 值 存 在为 零 的 点 ， 则并 且 至 多 有 有 限 个 导 数 处 可 导 ，上 连 续 ， 除

61、个 别 点 外 处在若 函 数 baxfbaxf 步 骤 :1.求 驻 点 和 不 可 导 点 ;2.求 区 间 端 点 及 驻 点 和 不 可 导 点 的 函 数 值 ,比较 大 小 ,那 个 大 那 个 就 是 最 大 值 ,那 个 小 那 个 就是 最 小 值 ;注 意 :如 果 区 间 内 只 有 一 个 极 值 ,则 这 个 极 值 就是 最 值 .(最 大 值 或 最 小 值 ) 二 、 应 用 举 例例 1解 )1)(2(6)( xxxf . 4,3141232 23上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 在求 函 数 xxxy 得解 方 程 ,0)( xf .1,2 21 xx

62、计 算 )3(f ;23 )2(f ;34)1(f ;7 ;142)4(f ，最 大 值 142)4( f比 较 得 .7)1( f最 小 值 141232 23 xxxy 点 击 图 片 任 意 处 播 放 暂 停 例 2 敌 人 乘 汽 车 从 河 的 北 岸 A处 以 1千 米 /分 钟的 速 度 向 正 北 逃 窜 ， 同 时 我 军 摩 托 车 从 河 的南 岸 B处 向 正 东 追 击 ，速 度 为 2千 米 /分 钟 问 我 军 摩 托 车 何时 射 击 最 好 （ 相距 最 近 射 击 最 好 ） ？ 解 公 里5.0(1)建 立 敌 我 相 距 函 数 关 系).(分追 击

63、至 射 击 的 时 间处 发 起为 我 军 从设 Bt敌 我 相 距 函 数 22 )24()5.0()( ttts 公 里4B A)(ts )(ts.)()2( 的 最 小 值 点求 tss )(ts .)24()5.0( 5.75 22 ttt ,0)( ts令得 唯 一 驻 点 .5.1t .5.1 分 钟 射 击 最 好处 发 起 追 击 后故 得 我 军 从 B 实 际 问 题 求 最 值 应 注 意 :(1)建 立 目 标 函 数 ;(2)求 最 值 ; 小 ） 值 值 即 为 所 求 的 最 （ 或 最 点 ， 则 该 点 的 函 数若 目 标 函 数 只 有 唯 一 驻 例 3

64、 某 房 地 产 公 司 有 50套 公 寓 要 出 租 ， 当 租 金 定为 每 月 180元 时 ， 公 寓 会 全 部 租 出 去 当 租金 每 月 增 加 10元 时 ， 就 有 一 套 公 寓 租 不 出 去 ，而 租 出 去 的 房 子 每 月 需 花 费 20元 的 整 修 维 护费 试 问 房 租 定 为 多 少 可 获 得 最 大 收 入 ？解 设 房 租 为 每 月 元 ，x租 出 去 的 房 子 有 套 ， 1018050 x每 月 总 收 入 为)(xR )20( x 1018050 x 1068)20()( xxxR 101)20(1068)( xxxR 570 x0

65、)( xR 350 x （ 唯 一 驻 点 ）故 每 月 每 套 租 金 为 350元 时 收 入 最 高 .最 大 收 入 为 1035068)20350()(xR )(10890 元 点 击 图 片 任 意 处 播 放 暂 停 例 4形 面 积 最 大 所 围 成 的 三 角及线处 的 切 线 与 直使 曲 线 在 该 点 上 求 一 点 ，曲 边成 一 个 曲 边 三 角 形 ， 在 围及 抛 物 线，由 直 线 80 80 2 2 xy xy xyxy 解 如 图 , ),( 00 yxP设 所 求 切 点 为为则 切 线 PT ),(2 000 xxxyy ,200 xy ),0,2

66、1( 0 xA )16,8( 200 xxB ),0,8(C Txyo PA BC)16)(218(21 2000 xxxS ABC )80( 0 x ,0)1616643(41 020 xxS令解 得 ).(16,316 00 舍 去 xx 8)316( s .0 .274096)316( 为 极 大 值s .274096)316( 最 大 者为 所 有 三 角 形 中 面 积 的故 s 三 、 小 结注 意 最 值 与 极 值 的 区 别 .最 值 是 整 体 概 念 而 极 值 是 局 部 概 念 .实 际 问 题 求 最 值 的 步 骤 . 思 考 题 若 )(af 是 )(xf 在 , ba 上 的 最 大 值 或 最小 值 ， 且 )(af 存 在 ， 是 否 一 定 有 0)( af ？ 思 考 题 解 答结 论 不 成 立 . 因 为 最 值 点 不 一 定 是 内 点 .例 xxfy )( 1,0 x在 有 最 小 值 ， 但0 x 01)0( f 一 、 填 空 题 ：1、 最 值 可 _处 取 得 . 2、 函 数 23 32 xxy ( 41 x )的 最 大