专升本高数第二章导数

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1、 第 二 章 一 元 函 数 微 分 学 2.1. 导 数 与 微 分我 们 再 用 极 限 来 研 究 变 量 变 化的 快 慢 程 度 ， 这 即 是 微 分 学 中 的 重 要 概 念 导 数 。 的 导 数 。在 点则 称 此 极 限 值 为 函 数 极 限 存 在 ，时， 如 果 当 时 ， 相 应 的 函 数 有 增 量处 有 增 量在 点当 自 变 量 的 某 个 邻 域 内 有 定 义 ，在 点设 函 数定 义 ： 000 0 0)( 0)()( )( xxfy xyxxfxxfy xxx xxfy 1. 定 义 (一 ) 导 数 的 概 念 x xfxxfxyxf xfy x

2、xxx )()(limlim)( )( 00000 00即 或记 作 ： 等 。，导 数 也 可 记 作 ： 00 )( xxxx xfdxddxdy 如 果 函 数 f (x) 在 点 x0 处 的 导 数 存 在 ， 那 么 称 函 数 f (x) 在 点 x0 处 可 导 ， 反 之 ， 称 为 不 可 导 。 0 00 )()(lim)( 0 xx xfxfxf xx 导 数 的 一 个 等 价 定 义 ： xyxfxf x 000 lim)()( 即记 作 ： 处 的 左 导 数 。在 点称 此 极 限 值 为 函 数 存 在 ， 那 么左 极 限 如 果的 某 个 邻 域 内 有

3、定 义 ，在 点设 函 数 0 0000 0 )( )()(limlim )( xxfy x xfxxfxy xxfy xx 左 、 右 导 数 x xfxxfxyxf xf xx )()(limlim)( , )( 00000 0 即同 理 右 导 数 为 处 是 否 可 导 。在 点 考 虑 函 数例 0 0,12sin 0,)(.1 2 x xx xexf x 。在 ， 且点 处 的 左 、 右 导 数 均 存在 函 数点 处 可 导 的 充 要 条 件 是在定 理 ： 函 数 )()()( 000 0 xfxfx xxfy 21lim0 )0()(lim)0( 200 xex fxff

4、 xxx解 ： 2112sinlim0 )0()(lim)0( 00 xxx fxff xx 2)0()0()0(,0 fffx 点 可 导所 以 函 数 在 2. 导 数 的 几 何 意 义 曲 线 的 切 线 的 斜 率 即 为 函 数 的 导 数 。0 0 000 0( ) ( , )( ) ( )( ) lim tan ( )2x xy f x M x yf x f xf x x x 设 曲 线 的 方 程 为 ， 则 曲 线 在 点 处 切 线的 斜 率 0 00 0 0( ) ( , )( )( )y f x M x yy y f x x x 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程

5、 为 3. 可 导 与 连 续 的 关 系由 导 数 定 义 可 知 ： 可 导 连 续 00,0sin yxxxy 时 ，当解 ： 1sinlimsinlim)0( 00 x xxxf xx 1sinlimsinlim)0( 00 xxxxf xx( ) 0 , 0f x x x 所 以 在 连 续 但 在 处 不 可 导 。 处 的 连 续 性 和 可 导 性 。在讨 论 函 数例 0sin)(.2 xxxf 2 03 . ( ) sin 0( )xe b xf x ax xa b f x ，例 设 ，问 ， 为 何 值 时 ， 连 续 且 可 导 ？(0 ) 0 (0 ) (0) 1 1

6、f f f b b 解 ： ， ， ,sinlim)1(sinlim)0( 00 axaxx baxf xx (0) (0) 2f f a ，20 (1 )(0) lim 2xx e b bf x (二 ) 曲 线 的 切 线 方 程 及 法 线 方 程 00 00 0 0( ) ( )( , )( )( )y f x f x xM x yy y f x x x 设 曲 线 的 方 程 为 ， 若 在 处 可 导 ，则 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为0 0 00 00( ) 0 ( ) ( , )1 ( )( )f x y f x M x yy y x xf x 若 ， 则 曲 线

7、 在 点 处 的法 线 方 程 为 (三 ) 求 导 公 式函 数 在 任 意 点 x 处 的 导 数x xfxxfxf x )()(lim)( 0仍 是 x 的 函 数 ， 称 为 f (x)的 导 函 数 。 1. 基 本 导 数 表 10 ( )c x x ，( ) ln ( )x x x xa a a e e ，1 1(log ) (ln )lna x xx a x ，(sin ) cos (cos ) sinx x x x ，2 2(tan ) sec (cot ) cscx x x x ，(sec ) sec tan (csc ) csc cotx x x x x x ，2 21

8、1(arcsin ) (arccos )1 1x xx x ， 2 21 1(arctan ) (arccot )1 1x xx x ， 2. 函 数 和 、 差 、 积 、 商 的 导 数 )()()()( )()(. xvxuxvxu xxvxu 处可导，则在点和设函数定理1 )()()()()()( )()(. xvxuxvxuxvxu xxvxu 处可导，则在点和设函数定理2 23. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )u x v x xu x u x v x u x v xv x v x 定 理 设 函 数 和 在 点 处 可 导 ， 则 4.

9、tany x y例 设 ， 求cot5. xx xy ye x 例 设 ， 求6. cos n xy x a x y例 设 ， 求 x2sec 22 )( )1)(cot()csc)(cot( xe exxxxxxey x xx xaxxaaxxanxy xnxnxn sincos)(lncos1 3. 复 合 函 数 和 反 函 数 的 导 数 dxdududydxdyxufxf xxfyu ufyxxu 或且处可导，在点处可导，则复合函数对应点在可导，又函数在点设函数定理)()()( )( )()(. 45. ( ) ( )( )1 1( ) ( )y f x x yy dyf x dxy

10、 dx dy 定 理 设 是 单 调 连 续 函 数 的 反 函 数 ，又 设 存 在 ， 且 不 为 零 ， 则 有或 7. y x y 例 设 ， 为 任 意 实 数 ， 求3 18. 1 2y yx 例 设 ， 求29. ln( 1)y x x y 例 设 ， 求ln ln ln 1x x xy e e y e xx ， 431 (1 2 ) 23y x 11)211211(11 222 xxxxxy ( )10. ( ) ( )x f xf x y f e e例 设 可 导 ， 求 的 导 数11. arcsiny x y例 设 ， 求12. arctany x y例 设 ， 求 )(

11、)()( )()( xfeefeeefy xfxxfxx 21 1cos1)(sin1 xyy 22 1 1sec1)(tan1 xyy 4.分 段 函 数 的 导 数1 2 3见 例 、 、 (四 ) 隐 函 数 的 导 数， 举 例 说 明 。 求 导 ， 即 可 解 出， 两 边 对导 数 ， 由 于 的所 确 定 的 隐 函 数现 在 讨 论 由 方 程)( 0)(,( )(0),(xy xxyxF xyyyxF 2 2 213. ( )x y r y y x 例 求 由 方 程 所 确 定 的 隐 函 数的 导 数 。 2222 22)2(1211 xr xxxry xry 所 以，

12、： 由 方 程 可 以 解 出解 2 ( ) 2 2 0 x y xxx y y y y 解 ： 方 程 两 边 对 求 导 把 看 成 的 函 数 ：， 214. cos 5sin(3 )( ) y x xyy y x 例 求 由 方 程 所 确 定 的 隐 函 数的 导 数 。 )(3)3cos(5sincos2 :)( 2 yxyxyxyxyy xyx 的 函 数看 成把求 导解 ： 方 程 两 边 对 )3cos(15cos2 sin)3cos(15 2 xyxxy xyxyyy ( )15. ( ) v xy u x y例 设 ， 求 )(ln)(ln2 xuxvy：两 边 先 取

13、对 数：解 )( )( )()(ln)(1 xuxu xvxuxvyy ln ln1 , ( ln )v u v u vy e y e v u uu 解 ： ( )( ( )ln ( ) ( )( )v xy y v x u x u xu x 1lnv vu u v v u u ( ) ( ) 1( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v x v xu x u x v x v x u x u x 利 用 先 取 对 数 再 求 导 的 求 导 方 法 称 为 对 数 求 导 法 。2 32 23( 1) 3 216. 1 (2 1)x xy yx x 例 设 ， 求 )12ln(

14、32)1ln(21)23ln(31)1ln(2ln 2 xxxxy ：两 边 先 取 对 数解 ： 12 232122123 331121 2 xx xxxyy (五 ) 对 数 求 导 法 (六 ) 高 阶 导 数1 . 高 阶 导 数 概 念 处 的 二 阶 导 数 。在 为 函 数存 在 ， 那 么 称 此 极 限 值如 果 的 函 数 ，仍 然 是的 导 数在 任 意 点设 函 数 xxf x xfxxf xxfxxfyx)( )()(lim )()(0 2222 )(),(, dx xfddxydxfy 或记 作 ： 阶 导 数 。处 的在 点极 限 值 为 存 在 ， 那 么 称

15、此阶 导 数 存 在 ， 如 果的设 函 数 nxxf x xfxxf nxf nnx )( )()(lim )1()( )1()1(0 阶 导 数 的 定 义 ：n nnnnnn dx xfddxydxfy )(),(, )()( 或记 作 ：为 了 形 式 上 统 一 的 一 阶 导 数 。称 为把 ，或定 义 )()( )()(, )0()0( xfxf xfxfyy ( )17. , ny x y例 设 求 ( )18. sin , ny x y例 设 求 )2cos()(cos )( nxx n 同 理 ( )19. ln , ny x y例 设 求 二 阶 及 二 阶 以 上 阶

16、导 数 统 称 为 高 阶 导 数 nxn )1()1( ) 2sin()(sin )( nxx n nn x n )!1()1( 1 (七 ) 微 分1. 微 分 的 定 义微 分 是 微 积 分 学 中 又 一 基 本 概 念 ， 它 和 导 数 有着 极 其 密 切 的 关 系 。 00)( 0 yxxxf 时 ，点 处 连 续 ： 当在 Axyxxxf 时 ，点 处 可 导 ： 当在 0)( 0定 义 ： 设 函 数 y = f (x)在 x0 的 某 个 邻 域 内 有 定 义 ,如 果 存 在 一 个 与 x 无 关 的 量 A 及 一 个 x 的 高 阶 无 穷 小o(x) ，

17、使 得 函 数 增 量 y 可 表 示 为 y=Ax+o(x) ，则 称 函 数 f (x) 在 点 x0 处 微 分 存 在 , Ax 称 为 函 数 在 x0 处 的 微 分 ， xAdy xx 0记 作 ： 若 函 数 f (x) 在 点 x0 的 微 分 存 在 ， 则 称 函 数 在 该 点 可 微 。3 . 微 分 与 导 数 的 关 系 00 01.(1) ( ) ( ) ( )y f x x f xx f x A 定 理 如 果 函 数 在 点 处 可 微 分 ， 那 么在 点 处 可 导 ， 且 )( )()()2( 00 0 xfAx xfxxfy 处 可 微 分 ， 且在

18、 点 处 可 导 ， 那 么在 点如 果 函 数0 00( ) ( )x xf x xdy f x x 因 此 ， 当 在 点 可 微 分 时 ， 其 微 分 为 ： 2 . 微 分 的 几 何 意 义 为 了 形 式 上 统 一 ， 记 dx= x ， 则 dy = f (x)dx故导数又称为微商。或,)( dxdyxf 任 意 点 x 处 的 微 分 称 为 函 数 的 微 分 ， 记 作 dy 或 df (x)即 dy = f (x) x 4 . 基 本 微 分 表 和 微 分 运 算 法 则dxxdxdc 1,0 dxedeadxada xxxx ,ln dxxxddxaxxd a 1

19、ln,ln1log xdxxdxdxxd sincos,cossin xdxxdxdxxd 22 csccot,sectan xdxxxdxdxxxd cotcsccsc,tansecsec dx xxddxxxd 22 1 1arccos,1 1arcsin dxxxddxxxd 11cotarc,11arctan 22 微 分 运 算 法 则 )()()()( xdvxduxvxud )()()()()()( xdvxuxduxvxvxud )( )()()()()( )( 2 xv xdvxuxduxvxv xud 5. 微 分 形 式 不 变 性 1221. cosln( )xy x

20、e 例 求 函 数 的 微 分 .2arcsin( 1)20. xy xdy 例 设求 duufdxxufdy xfyxuufy )()()( )()(,)( 的 微 分 为 ： ， 则 复 合 函 数设 函 数这 一 性 质 又 称 微 分 形 式 不 变 性 。 dxx xxxxdy 2 222 )1arcsin()1(1 2 dxxexexexdy xxx )1(2(1)ln(sin 211212 （ 一 ） 洛 必 达 法 则” 型 的 定 值 法不 定 型 “ 00.1 )( )(lim)( )(lim )( )(lim) )(,)(),() )(lim,)(lim) )()(. x

21、g xfxg xf xg xf xgxgxfx xgxf xxxgxf xxxx xx xxxx 000 003 02 001 1 0 00则存在（或为无穷大）且存在的某个邻域内在点内有定义，如果可除外）的某个邻域（在点和设定理 2.2.导 数 的 应 用 001) 0 x x x 注 意 ： 型 ， 将 改 成 ， 定 理 同 样 成 立 .0 0( )2) lim ( ) ( )lim ( )x x x xf xg x f xg x 当 不 存 在 且 不 为 无 穷 大 时 ，并 不 能 说 明 不 存 在 .( )3) ( )f xg x当 仍 是 不 定 型 时 ， 可 再 用 洛

22、必 达 法 则 . xxxx tan 1sinlim 20例 如 ： 30 sinlim.1 x xxx 求例 xx xee xx x sin 2lim.2 0 求例 xex xee xxxx 42 3cos0 tan)1)(1ln( )1(lim.3 3 求例 22 )2( )ln(sinlim.4 xxx 求例 30 cossinlim.5 x xxxx 求例 arctan26. lim 1x xx 例 求 值 法及 其 它 一 些 不 定 型 的 定不 定 型 .2 0 x x x 当 或 时 ， 对 于 不 定 型 也 有 相 应 的洛 必 达 法 则 . )1ln( 2tanlnli

23、m.7 1 xxx 求例 )(lnlim.8 为 正 整 数求例 nxxnx )0,1,(lim.9 anaxxnx 为 正 整 数求例 xxxkxaax kkx x ln,ln,),1(),1(, .ln,ln,),1),1(,!, ( nnnknaann kknn 的 速 度 快 慢 依 次 为时 ， 趋 于当 x快 慢 依 次 为 的 速 度时 ， 趋 于对 于 数 列 ， 当 n xx xxx sincoslim.10 求例 0 00 00 1 0 除 了 不 定 型 、 外 ， 还 有 下 列 几 种 不 定 型 ：， ， ， ， 0 0 这 些 不 定 型 均 可 化 为 不 定

24、型 、然 后 由 洛 必 达 法 则 计 算 其 极 限 。xx x ln)arctan2(lim.11 求例 0 1 112. lim( )1xx x e 例 求 3.其 它 一 些 不 定 型 的 定 值 法 (二 ) 导 数 的 应 用1. 函 数 单 调 性 的 判 别 法如 果 函 数 可 导 的 话 ， 导 数 与 函 数 的 增 减 有 很 大 的 关 系 。上严格单调减少。在时，函数当上严格单调增加；在时，函数则当内可导，在设函数定理,)()( ,)()( ,)(. baxfxf baxfxf baxfy0 01 定 理 1的 条 件 结 论 可 改 写 成 ： 。且 只 在

25、个 别 点 上 等 于 零或上在 的 充 要 条 件 是 ：或 严 格 单 调 减 少上 严 格 单 调 增 加 在内 可 导 ， 函 数在设 函 数 )0(0)(, )( ,)(,)( xfba baxfbaxfy )15()1)(1()( 2 xxxxf解 ： 1,51,10)( xxxxf 得列 表 讨 论 一 般 来 说 ， 用 导 数 为 零 的 点 来 划 分 单 调 区 间 ， 有时 ， 导 数 不 存 在 的 点 也 可 用 来 划 分 单 调 区 间 。“ ” 表 示 单 调 增 加 “ ” 表 示 单 调 减 少 。)(xf 51)51,1( )1,51( ),1( )1,

26、( x 1 1)(xf 0 0 0 的 单 调 区 间 。确 定 函 数例 32 )1()1()(.1 xxxf 的 单 调 区 间 。确 定 函 数例 xxxf 3 2)(.2 的 单 调 区 间 。确 定 函 数例 xexxf 1)6()(.3 2. 函 数 的 极 值 及 其 求 法极 小 值 ,极 大 值 统 称 极 值 ， 极 小 点 ,极 大 点 统 称 极 值 点 。注 意 ： 极 小 值 、 极 大 值 与 最 小 值 、 最 大 值 的 差 异 。0( )f x x定 义 ： 设 函 数 在 点 的 某 个 邻 域 内 有 定 义0 00 0(1) 0 ( ) ( )( )

27、x x f x f xf x x 如 果 当 时 ，则 称 为 函 数 的 极 小 值 ， 为 极 小 值 点 。0 00 0(2) 0 ( ) ( )( ) x x f x f xf x x 如 果 当 时 ，则 称 为 函 数 的 极 大 值 ， 为 极 大 值 点 。 对 可 导 函 数 来 说 ， 极 值 点 必 为 驻 点 ， 而 驻 点 不 一 定是 极 值 点 。什 么 条 件 下 驻 点 必 为 极 值 点 呢 ？。即 处 的 导 数 为 零 ，在 点处 取 得 极 值 ， 那 么点 处 可 导 ， 且 在在 点设 函 数必 要 条 件定 理 0)( )( )()(.2 0 0

28、0 0 xf xxfx xxf 的 驻 点 。的 点 ， 称 为 函 数 )(0)( xfxf 3. ( )定 理 第 一 充 分 条 件0 0( ) ( ) 0f x x f x 设 函 数 在 点 的 某 个 邻 域 内 可 导 ， 且00 0(1) ( ) ( )x x f xf x x 如 当 从 左 至 右 经 过 时 ， 由 正 变 负 ，则 为 极 大 值 ， 为 极 大 值 点 。00 0(2) ( ) ( )x x f xf x x 如 当 从 左 至 右 经 过 时 ， 由 负 变 正 ，则 为 极 小 值 ， 为 极 小 值 点 。00(3) ( ) ( )x x f x

29、f x 如 当 从 左 至 右 经 过 时 ， 不 变 号 ，则 不 是 极 值 。 4.( )定 理 第 二 充 分 条 件00 ( )( ) 0f x xf x 设 函 数 在 点 的 某 个 邻 域 内 具 有 二 阶 导 数 ，且 0 0(1) ( ) 0 ( )f x f x x 当 时 ， 函 数 在 处 取 得 极 大 值 ；0 0(2) ( ) 0 ( )f x f x x 当 时 ， 函 数 在 处 取 得 极 小 值 ；0 0(3) ( ) 0 ( )f x f x 当 时 ， 不 能 确 定 是 否 为 极 值 。 2 34. ( ) ( 1)f x x x 例 求 函

30、数 的 极 值 。3 25. ( )f x x x 例 求 函 数 的 极 值 。 1 2 1 21 2 1 2( ) , (1) , , ,( ) ( ) ( )2 2( ) f x abx x ab x xx x f x f xff x 定 义 ： 设 函 数 在 上 有 定 义如 果 当 时 ，有则 称 的 图 象 是 凹 的 。 x1 x2y0 xy0 x 1 x2 x1 2 1 21 2 1 2(2) , , ,( ) ( )( )2 2( ) x x ab x xx x f x f xff x 如 果 当 时 ，有则 称 的 图 象 是 凸 的 。 3. 曲 线 的 凹 凸 性 用

31、 定 义 来 判 定 函 数 f (x)的 图 形 是 凹 还 是 凸 是 非 常 困难 的 ， 下 面 给 出 充 分 条 件 。6. ( ) , (1) ( ) 0 ( ) , (2) ( ) 0 ( ) , f x abf x f x abf x f x ab 定 理 设 函 数 在 内 具 有 二 阶 导 数当 时 ， 函 数 的 图 象 在 上 是 凹 的 。当 时 ， 函 数 的 图 象 在 上 是 凸 的 。226. ( ) 1xf x x 例 试 求 函 数 的 凹 凸 区 间 。 4. 曲 线 的 拐 点我 们 把 曲 线 凹 凸 性 发 生 转 变 的 转 折 点 称 为

32、拐 点 。00 00 0 00 07. ( )( ) 0(1) ( ) ( , ( ) ( )(2) ( ) ( , ( ) ( )f x xf xx x f xx f x y f xx x f xx f x y f x 定 理 设 函 数 在 点 的 某 个 邻 域 内 具 有二 阶 导 数 ， 且如 当 从 左 至 右 经 过 时 ， 变 号 ，则 是 曲 线 的 拐 点 。如 当 从 左 至 右 经 过 时 ， 保 号 ，则 不 是 曲 线 的 拐 点 。 27. ln( 1)y x 例 求 曲 线 的 凹 凸 区 间 及 拐 点 。538. ( 2)y x 例 求 曲 线 的 拐 点

33、。 2） 水 平 渐 近 线1） 垂 直 渐 近 线5. 曲 线 的 渐 近 线的 渐 近 线 。曲 线 为的 距 离 趋 于 零 ， 则 称上 的 点 与曲 线 时 ，或， 当定 义 ： 如 果 存 在 直 线)( )( )(0 xfy LLxfy xxxL 的 垂 直 渐 近 线 。 为 曲 线则 称 直 线如 果 )()(lim 00 xfyxxxfxx 的 水 平 渐 近 线 。 为 曲 线则 称 直 线如 果 )()(lim xfybybxfx 22 29. 1x xy x 例 求 曲 线 的 渐 近 线 。32( 1)10. ( 1)xy x 例 求 曲 线 的 渐 近 线 。 6

34、. 最 大 值 、 最 小 值 问 题由 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 知 闭 区 间 的 连 续 函 数必 能 取 到 最 大 值 、 最 小 值 。最 大 (小 )值 必 在 端 点 或 极 大 (小 )点 处 取 到 。所 以 只 要 计 算 端 点 值 和 可 能 极 值 点 的 函 数 值 加 以比 较 即 可 。 111. ( ) arctan 0,11 xf x x 例 求 函 数 在 上 的 最 大 值和 最 小 值 。 312. ( ) 1 0,2f x x x 例 求 函 数 在 上 的 最 大 值和 最 小 值 。13. R例 求 内 接 于 半 径 为 的 球 的 正 圆 锥 的 最 大 体 积 .