《非线性回归》PPT课件

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1、1 第 8章 非 线 性 回 归信 计 学 院 统 计 系 沈 菊 红 2 非 线 性 回 归学 习 目 标1. 因 变 量 y 与 x 之 间 不 是 线 性 关 系2. 可 通 过 变 量 代 换 转 换 成 线 性 关 系3. 用 最 小 二 乘 法 求 出 参 数 的 估 计 值4. 并 非 所 有 的 非 线 性 模 型 都 可 以 化 为 线 性模 型 3 如 下 列 模 型 0 1 0 1xy e y x 20 1 2 ppy x x x 0 1ln lnbxy ae e y a bx y x bxy ae 0 1 1 2 2 p py x x x (1)(2) (3)(4)对

2、于 模 型 (4)， 不 能 通 过 对 等 式 两 边 同 时 取 自 然 对 数的 方 法 将 模 型 线 性 化 ， 只 能 用 非 线 性 最 小 二 乘 法 求 解 。注 意 ： 新 引 进 的 自 变 量 只 能 依 赖 于 原 始 变 量 ， 而 不 能与 未 知 参 数 有 关 。 b未 知 4 在 SPSS中 给 出 了 10种 常 见 的 可 线 性 化 的 曲 线 回 归方 程 (误 差 项 的 形 式 能 够 使 回 归 模 型 线 性 化 )。 其中 ， 自 变 量 以 t表 示 。 5 英 文 名 称 中 文 名 称 方 程 形 式Linear 线 性 函 数Log

3、arithm 对 数 函 数Inverse 逆 函 数Quadratic 二 次 函 数Cubic 三 次 函 数Power 幂 函 数Compound 复 合 函 数 S S形 函 数Logistic 逻 辑 函 数 G rowth 增 长 函 数 Exponent 指 数 函 数 0 1y b bt 0 1 lny b b t 0 1 /y b b t 20 1 2y b bt b t 2 30 1 2 3y b bt b t b t 10 by b t 0 1exp( / )y b b t 0 11 ,1 ty ub bu 是 预 先 给 定 的 常 数0 1ty b b 0 1exp(

4、 )y b bt 0 1exp( )y b bt 6 对 以 上 各 种 曲 线 回 归 ， 选 用 SPSS的 Regression命 令 下 的 Curve Estimation命 令 ， 即 可 直 接 拟 合 各 种曲 线 回 归 ， 不 必 作 任 何 变 量 变 换 。 除 此 之 外 ， 下 面 再 介 绍 几 种 常 用 的 曲 线 回 归 。 7 1. 基 本 形 式 ：2. 线 性 化 方 法 令 ： , 则 有 3. 图 像 1/ , 1/y y x x y x 8 1. 基 本 形 式 ：2. 线 性 化 方 法n 两 端 取 对 数 得 ： n 令 ： ， 则 3.

5、图 像 ln ln ln y xln , ln y y x x ln y x 9 1. 基 本 形 式 ：2. 线 性 化 方 法 令 , 则 有3. 图 像 y xlnx x 10 1. 基 本 形 式 ：2. 线 性 化 方 法 两 端 取 对 数 得 ： 令 ： ， 则 有 3. 图 像 ln ln y xlny y ln y x 11 1. 基 本 形 式 ：2. 线 性 化 方 法n 令 ： , 则 有 3. 图 像 1/a 01/ , xy y x e y x 12 非 线 性 回 归 (例 题 分 析 )【 例 1】 一 种 商 品 的 需 求 量 与 其 价 格 有 一 定 的

6、 关 系 。现 对 一 定 时 期 内 的 商 品 价 格 与 需 求 量 进 行观 察 ， 取 得 的 样 本 数 据 如 下 表 。 试 判 断 商 品 价格 与 需 求 量 之 间 回 归 函 数 的 类 型 ， 并 求 需 求 量对 价 格 的 回 归 方 程 。商 品 价 格 与 需 求 量 的 关 系价 格 (元 ) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 需 求 量 (千 克 ) y 58 50 44 38 34 30 29 26 25 24 13 非 线 性 回 归 (例 题 分 析 ) 价 格 与 需 求 量 的 散 点 图 0 20 40 60 80 0 5 10 1

7、5 价 格 需 求 量 散 点 呈 双 曲 线 趋 势 14 非 线 性 回 归 (例 题 分 析 )1. 用 双 曲 线 模 型 ：2. 按 线 性 回 归 的 方 法 求 解 和 ， 得 15 非 线 性 回 归 (例 题 分 析 ) 价 格 与 需 求 量 的 回 归 0 20 40 60 80 0 5 10 15 价 格 需 求 量 16 【 例 2】 对 GDP的 拟 合 ， 以 GDP为 因 变 量 ，拟 合 GDP关 于 时 间 t的 趋 势 曲 线 。 以 1981年 为 基 准 年 ， 取 值 t 1， 1998年 t=18，数 据 列 入 下 表 。 17 年 份 t y

8、Fit y err lny1981 1 4862.4 4296.35 566.05 8.491982 2 5294.7 5123.04 171.66 8.571983 3 5934.5 6108.8 -174.3 8.691984 4 7171 7284.24 -113.24 8.881985 5 8964.4 8685.86 278.54 9.11986 6 10202.2 10357.16 -154.96 9.231987 7 11962.5 12350.06 -387.56 9.391988 8 14928.3 14726.42 201.88 9.611989 9 16909.2 175

9、60.04 -650.84 9.741990 10 18547.9 20938.89 -2390.99 9.83 1991 11 21617.8 24967.89 -3350.09 9.981992 12 26638.1 29772.14 -3134.04 10.191993 13 34634.4 35500.81 -866.41 10.451994 14 46759.4 42331.77 4427.63 10.751995 15 58478.1 50477.13 8000.97 10.981996 16 67884.6 60189.8 7694.8 11.131997 17 74462.6

10、71771.35 2691.25 11.221998 18 79395.7 85581.38 -6185.68 11.28 18T 20100Y 100000 80000 60000 40000 20000 0 GDP对时间的散点图方 法 一 ： 直 接 用 SPSS软 件 的 Curve Estimation 命 令计 算 。从 散 点 图 中 看 到 ， GDP大 致 为 指 数 函 数 形 式 。 19 复 合 函 数 ， 增 长 函 数 ， 指 数函 数 是 等 价 的 ， 复 合 函 数 的 形 式 与 经 济意 义 更 相 符 合 。 同 时 作 复 合 函 数 的 曲 线 回 归

11、 ，和 简 单 线 性 回 归 ， 并 作 比 较 。0 1ty b b 0 1exp( )y b bt 0 1exp( )y b bt 0 1ty b b0 1y b bt 20 Multiple R .92528R Square .85615Adjusted R Square .84716Standard Error 9964.23063 Analysis of Variance DF Sum of Squares Mean Square F SigRegression 1 9454779005.1 9454779005.1 95.22782 0.0000Residuals 16 1588

12、574273.6 99285892.1 Variables in the EquationVariable B SE B Beta T Sig Time 4417.522807 452.685809 .925284 9.758 .0000(Constant) -13374.922222 4900.032018 -2.730 .0148 简 单 线 性 回 归 0 1y b bt 21 Multiple R .99593 R Square .99188 Adjusted R Square .99138 Standard Error .08760 Analysis of Variance DF S

13、um of Squares Mean Square F SigRegression 1 15.004878 15.004878 1955.31315 0.0000Residuals 16 0.122782 0 .007674 Variables in the Equation Variable B SE B Beta T Sig Time 1.192417 .004746 2.707250 251.269 0.0000(Constant) 3603.061130 155.215413 23.213 0.0000 复 合 函 数 回 归 0 1ty b b 22 为 了 与 线 性 回 归 的

14、拟 合 效 果 直 接 比 较 ， 先 存 储复 合 函 数 回 归 的 残 差 序 列 ， 然 后 计 算 出 复 合 函数 回 归 的 ， 进 而 得 拟 合 效 果 优 于 线 性 回 归 ， 故 采 用 复 合 函 数 回 归 。回 归 方 程 为 81017.2 SSE 98.010434.110 1017.21 882 R 3603.06(1.192417)ty 23 方 法 二 ： 线 性 化 求 解 法 。 对 复 合 函 数 两 端 取自 然 对 数 ， 得 0 1ty b b0 1ln ln lny b t b 令 ， 于 是 得 到 关 于 的 线 性 回 归 方 程0

15、0 1 1ln , ln , lny y b b yt 0 1y t 得 输 出 结 果 如 下 24 Model Summary (b)Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate Durbin-Watson1 0.996 0.992 0.991 0.087601 0.616b. Dependent Variable: LNY ANOVAModel Sum of Squares df Mean Square F Sig.1 Regression 15.005 1 15.005 1,955.313 0.000Resi

16、dual 0.123 16 0.008 Total 15.128 17 25 CoefficientsModel Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients t Sig.B Std. Error Beta1 (Constant) 8.190 0.043 190.106 0.000T 0.176 0.004 0.996 44.219 0.000其 中 ， 得0 1 8.190, 0.176, 0.1761 1.1924,b e 8.1900 3604.7;b e 与 直 接 用 SPSS中 的 Curve Estimation命 令

17、 计 算 的 结 果 一 致 。 26 多 项 式 回 归 是 重 要 的 曲 线 回 归 模 型 ， 通 常 转 化 为 多 元 线 性 回归 来 作 处 理 。一 . 几 种 常 见 的 多 项 式 回 归 模 型一 元 二 阶 多 项 式 模 型 ： 20 1 11i i i iy x x 称 为 线 性 效 应 系 数 ， 为 二 次 效 应 系 数 。1 11一 元 三 次 多 项 式 模 型 ： 2 30 1 11 111i i i i iy x x x 27 以 上 两 个 模 型 只 含 有 一 个 自 变 量 x， 在 实 际 应 用 中 ，常 用 到 二 元 二 阶 多 项

18、 式 回 归 模 型 ：2 20 1 1 2 2 11 1 22 2 12 1 2i i i i i i i iy x x x x x x 交 叉 乘 积 项 系 数 表 示 与 的 交 互 作 用 ， 称 为交 互 影 响 系 数 。 12 1x 2x 28 例 题 分 析【 例 8.2】 下 表 列 出 的 数 据 是 关 于 18个 35岁 到 40岁 经 理 的 前 两 年 平 均 年 收 入 (千 美 元 )、 风 险 反 感 度 和 人 寿 保 险 额 (千 美 元 )。 研 究 者 想 研 究 三 者 之 间的 关 系 ， 预 计 收 入 和 人 寿 保 险 额 之 间 有 二

19、次 关 系 ，并 有 把 握 地 认 为 风 险 反 感 度 对 只 有 线 性 效 应 ， 而没 有 二 次 效 应 。 但 是 ， 研 究 者 不 知 两 个 自 变 量 是 否 对 有 交 互 效 应 ， 为 此 ， 拟 合 了 二 阶 多 项 式 回 归 模 型1x2x y 1x y2x yy 2 20 1 1 2 2 11 1 22 2 12 1 2i i i i i i i iy x x x x x x 检 验 是 否 有 交 互 效 应 ， 并 检 验 风 险 反 感 度 的 二 次 效 应 。 29 序 号 x1 x2 y1 66.29 7 1962 40.964 5 633

20、72.996 10 2524 45.01 6 845 57.204 4 1266 26.852 5 147 38.122 4 498 35.84 6 499 75.796 9 26610 37.408 5 49 11 54.376 2 10512 46.186 7 9813 46.13 4 7714 30.366 3 1415 39.06 5 5616 79.38 1 24517 52.766 8 13318 55.916 6 133 30 回 归 采 用 逐 个 引 入 自 变 量 的 方 式 ， 这 样 可 以 看 到 各项 对 回 归 的 贡 献 ， 使 显 著 性 检 验 更 加 明

21、确 。 依 次 引入 自 变 量 取 。2 21 2 1 2 1 2, , , , ,x x x x x x 0.05 31 ANOVAf 104474.1 1 104474.107 468.471 .000a 3568.170 16 223.011 108042.3 17 106758.4 2 53379.192 623.641 .000b 1283.893 15 85.593 108042.3 17 107996.8 3 35998.917 11070.29 .000c 45.526 14 3.252 108042.3 17 107999.9 4 26999.964 8274.003 .0

22、00d 42.422 13 3.263 108042.3 17 108005.8 5 21601.164 7110.202 .000e 36.457 12 3.038 108042.3 17 Regression Residual Total Regression Residual Total Regression Residual Total Regression Residual Total Regression Residual Total Model 1 2 3 4 5 Sum of Squares df Mean Square F Sig. Predictors: (Constant

23、), X1a. Predictors: (Constant), X1, X2b. Predictors: (Constant), X1, X2, XX1c. Predictors: (Constant), X1, X2, XX1, XX2d. Predictors: (Constant), X1, X2, XX1, XX2, XXe. Dependent Variable: Yf. 32 Coefficientsa -140.550 12.170 -11.548 .000 5.040 .233 .983 21.644 .000 -158.768 8.324 -19.074 .000 4.843

24、 .149 .945 32.472 .000 5.201 1.007 .150 5.166 .000 -62.349 5.200 -11.989 .000 .840 .207 .164 4.052 .001 5.685 .198 .164 28.738 .000 .037 .002 .785 19.515 .000 -60.910 5.414 -11.250 .000 .930 .227 .182 4.090 .001 4.453 1.278 .129 3.483 .004 .036 .002 .760 15.815 .000 .116 .119 .038 .975 .347 -65.386

25、6.123 -10.679 .000 1.017 .228 .198 4.460 .001 5.217 1.349 .151 3.868 .002 .036 .002 .758 16.342 .000 .166 .120 .055 1.383 .192 -.020 .014 -.046 -1.401 .186 (Constant) X1 (Constant) X1 X2 (Constant) X1 X2 XX1 (Constant) X1 X2 XX1 XX2 (Constant) X1 X2 XX1 XX2 XX Model 1 2 3 4 5 B Std. Error Unstandard

26、ized Coefficients Beta Standardized Coefficients t Sig. Dependent Variable: Ya. 33 最 终 的 回 归 方 程 为 21 2 1 62.349 0.840 5.685 0.037y x x x 标 准 化 回 归 方 程 为 21 2 1 0.164 0.164 0.785y x x x 研 究 者 可 用 这 个 回 归 方 程 研 究 经 理 的 年 平 均 收 入 和风 险 反 感 度 对 人 寿 保 险 额 的 效 应 。 34 多 项 式 回 归 常 用 于 分 析 试 验 设 计 的 数 据 。 在

27、试 验 设 计中 ， 目 标 变 量 y与 试 验 因 子 间 的 函 数 关 系 往 往 是 未 知的 ， 因 而 常 用 多 项 式 回 归 近 似 y与 试 验 因 子 的 关 系 。 35 例 题 分 析【 例 8.3】 用 均 匀 设 计 法 研 究 从 烤 烟 中 提 取 粗 蛋 白 的实 验 条 件 ， 三 个 实 验 因 子 分 别 为 ： 代 表 提 取 液 PH值 ； 代 表 提 取 时 间 (小 时 )； 代 表 提 取 温 度 ( )；目 标 变 量 y是 提 取 液 中 的 蛋 白 质 浓 度 ( ) ， 采用 如 下 的 试 验 安 排 ： C1x2x 3x 3/g

28、 cmx 1 x2 x3 y10.00 32.00 100.00 8.501.56 8.00 80.00 5.8013.10 48.00 60.00 73.606.66 24.00 45.00 2.200.86 2.00 35.00 8.3012.40 40.00 20.00 19.603.00 16.00 10.00 3.50 36 首 先 用 对 作 线 性 回 归 ， 计 算 结 果 如 下y 1 2 3, ,x x x Model Summary .734a .539 .078 24.43408 Model 1 R R Square Adjusted R Square Std. Err

29、or of the Estimate Predictors: (Constant), X3, X2, X1a. ANOVA 2093.024 3 697.675 1.169 .451 1791.073 3 597.024 3884.097 6 Regression Residual Total Model 1 Sum of Squares df Mean Square F Sig. 37 Coefficientsa -14.798 24.445 -.605 .588 -5.845 11.180 -1.183 -.523 .637 2.812 3.402 1.860 .827 .469 .061

30、 .320 .077 .189 .862 (Constant) X1 X2 X3 Model 1 B Std. Error Unstandardized Coefficients Beta Standardized Coefficients t Sig. Dependent Variable: Ya. 从 以 上 结 果 看 出 ， 拟 合 效 果 极 差 。 38 采 用 二 次 多 项 式 拟 合 ， 首 先 生 成 三 个 自 变 量 的 平 方项 及 三 个 交 互 作 用 项 ， 然 后 采 用 逐 步 回 归 法 选 择 变量 。 Model Summary .843a .711

31、.653 14.98636 .989b .979 .968 4.55869 .999c .998 .997 1.48885 1.000d 1.000 1.000 .10568 Model 1 2 3 4 R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate Predictors: (Constant), X22a. Predictors: (Constant), X22, X1b. Predictors: (Constant), X22, X1, X13c. Predictors: (Constant), X22, X1, X13, X

32、2d. 39 ANOVA 2761.142 1 2761.142 12.294 .017 1122.955 5 224.591 3884.097 6 3800.970 2 1900.485 91.450 .000 83.127 4 20.782 3884.097 6 3877.447 3 1292.482 583.072 .000 6.650 3 2.217 3884.097 6 3884.075 4 971.019 86950.42 .000 .022 2 .011 3884.097 6 Regression Residual Total Regression Residual Total

33、Regression Residual Total Regression Residual Total Model 1 2 3 4 Sum of Squares df Mean Square F Sig. 40 Coefficientsa -3.344 8.182 -.409 .700 .025 .007 .843 3.506 .017 13.940 3.488 3.997 .016 .076 .007 2.566 10.090 .001 -8.889 1.257 -1.799 -7.074 .002 14.517 1.143 12.697 .001 .078 .002 2.632 31.40

34、4 .000 -9.940 .448 -2.011 -22.200 .000 .014 .002 .206 5.874 .010 16.170 .106 152.870 .000 .080 .000 2.710 400.486 .000 -9.017 .049 -1.825 -182.308 .000 .013 .000 .203 81.531 .000 -.400 .016 -.264 -24.361 .002 (Constant) X22 (Constant) X22 X1 (Constant) X22 X1 X13 (Constant) X22 X1 X13 X2 Model 1 2 3

35、 4 B Std. Error Unstandardized Coefficients Beta Standardized Coefficients t Sig. Dependent Variable: Ya. 41 逐 步 回 归 最 终 的 回 归 方 程 为 21 1 3 2 2 16.170 9.017 0.013 0.400 0.080y x x x x x 标 准 化 回 归 方 程 为 21 1 3 2 2 1.825 0.203 0.264 2.710y x x x x x 从 以 上 分 析 结 果 看 出 ， 拟 合 效 果 极 好 。 42 非 线 性 回 归 模 型(N

36、on-Linear Regression Model) 43 非 线 性 最 小 二 乘非 线 性 回 归 模 型 的 一 般 形 式 为 ：n 式 中 f(.)为 一 个 可 微 分 的 非 线 性 函 数 ， 为 p 1未 知 参 数 向 量 ， 为 满 足 独 立 同 分 布 假 定 的 随 机 误 差 项 。此 时 我 们 无 法 将 待 估 计 参 数 表 示 为 由 已 知 的 X和Y表 示 的 线 性 函 数 ， 这 种 情 况 被 称 作 参 数 非 线 性 。( , ) , 1,2, ,i i iy f i n x i 1 2( , , , ) ,i i i ikx x x

37、x 44 131121 3211 21 323232 32 32 , , ,0 KLKLKL XfXfXfXf KLXf NeeKLQ非 线 性 模 型 案 例 1C-D生 产 函 数 45 非 线 性 模 型 案 例 2不 变 替 代 弹 性 生 产 函 数 (CES)：假 定 模 型 有 两 个 解 释 变 量 ， 其 一 般 形 式 可 以 表 示为 式 中 ： 为 技 术 效 率 系 数 ， 为 分 配 系 数 ， 为 替 代 系 数 ， 为 规 模 报 酬 系 数 ， 随 机 误 差项 服 从 正 态 分 布 。 32 20 1 1 1 21Y X X u 0 2 1 1(0 1)

38、3 46 非 线 性 最 小 二 乘 法1. 非 线 性 最 小 二 乘 法 的 原 理 与 线 性 最 小 二 乘 法 相同 ， 即 求 解 使 残 差 平 方 和 最 小 的 参 数 ：2. 在 满 足 要 求 的 条 件 下 ， 模 型 参 数 可 以 由 求 解 一阶 条 件 构 成 的 方 程 组 得 出 ， 即 ：3. 对 于 非 线 性 方 程 组 ， 通 常 我 们 无 法 确 保 得 到 估计 参 数 的 解 析 解 ， 但 是 总 能 够 利 用 数 值 逼 近 方法 得 到 上 述 问 题 的 解 。 (如 用 Newton迭 代 法 ) 21( ) ,n i iiMin

39、 Q Min y f x 1 2 , 0n i iij jQ fy f x 47 非 线 性 最 小 二 乘 法表 示 成 矩 阵 形 式 后 有 ： 1 112 22, , ,n nny f xy f xfy f x y x 1 111, , , ,pn npf x f xf X Zf x f x 48 非 线 性 最 小 二 乘 法估 计 非 线 性 最 小 二 乘 法 包 括 以 下 步 骤 ：n 在 未 给 定 初 始 值 的 情 况 下 ， 利 用 OLS方 法 估 计 系 数作 为 初 始 值 ， 反 之 利 用 给 定 的 初 始 值 ，n 对 该 组 值 求 导 以 确 定 每

40、 个 参 数 的 变 化 方 向 及 步 长 ，或 采 用 泰 勒 级 数 展 开 转 化 为 线 性 方 程 求 解 得 到 新 的参 数 估 计 值 。 n 重 复 上 述 过 程 ， 直 到 参 数 达 到 给 定 的 收 敛 标 准 时 为止 ， 或 达 到 最 大 迭 代 次 数 时 为 止 。n 此 时 得 到 的 结 果 包 括 最 后 一 次 计 算 得 到 的 参 数 估 计值 ， 对 应 的 渐 近 t统 计 值 ， R2值 等 。 49 在 非 线 性 回 归 模 型 中 ， 平 方 和 分 解 式 SST=SSR+SSE不 再 成 立 。 类 似 于 线 性 回 归 中

41、 的 复 决 定 系 数 ， 定 义 非线 性 回 归 的 相 关 指 数 2 1 SSER SST 50 例 题 分 析【 例 8.3】 一 位 药 物 学 家 使 用 下 面 的 非 线 性 模 型 对 药物 反 应 拟 合 回 归 模 型 100 21i icicy c xc 其 中 ， 自 变 量 x为 药 剂 量 ， 用 级 别 表 示 ； 因 变 量 y为 药物 反 应 程 度 ， 用 表 示 。 三 个 参 数 是 非 负 的 ， 初 始 值取 为 。 测 得 9个 反 应 数 据 如 下表 。 0 1 2100, 5, 4.8c c c 51 1 2 3 4 5 6 7 8 9

42、0.5 2.3 3.4 24.0 54.7 82.1 94.8 96.2 96.4x(%)y首 先 画 出 散 点 图 X 1086420 Y 100 80 60 40 20 0 -20 52 SPSS Regression 点 选 Nonlinear Iteration Residual SS C0 C1 C2 1 172.7877170 100.000000 5.00000000 4.80000000 1.1 32.60704413 97.7943996 6.57938197 4.74460195 2 32.60704413 97.7943996 6.57938197 4.74460195

43、 2.1 20.20240372 99.5785656 6.73691756 4.80074972 3 20.20240372 99.5785656 6.73691756 4.80074972 3.1 20.18814307 99.5334850 6.76307032 4.79941696 4 20.18814307 99.5334850 6.76307032 4.79941696 4.1 20.18803580 99.5411768 6.76104088 4.79966204 5 20.18803580 99.5411768 6.76104088 4.79966204 5.1 20.1880

44、3473 99.5404447 6.76127045 4.79964160 6 20.18803473 99.5404447 6.76127045 4.79964160 6.1 20.18803472 99.5405197 6.76124800 4.79964382 53 Nonlinear Regression Summary Statistics Source DF Sum of Squares Mean Square Regression 3 37839.85197 12613.28399 Residual 6 20.18803 3.36467 Uncorrected Total 9 3

45、7860.04000 (Corrected Total) 8 14917.88889 R squared = 1 - Residual SS / Corrected SS = .99865 Asymptotic 95 % Asymptotic Confidence Interval Parameter Estimate Std. Error Lower Upper C0 99.540519705 1.567325922 95.705411332 103.37562808 C1 6.761248001 .421980052 5.728700011 7.793795992 C2 4.7996438

46、16 .050165520 4.676893210 4.9223944212 21 ny y (离 差 平 方 和 ) 2 21 ny y 总 平 方 和 54 总 平 方 和 21 ( ) 14917n iiSST y y 回 归 平 方 和 21 37839n iiSSR y 55 序 号1 1 0.5 0 0.5 -50.492 2 2.3 0.27 2.03 -50.223 3 3.4 3.98 -0.58 -46.54 4 24 22.48 1.52 -28.015 5 54.7 56.61 -1.91 6.126 6 82.1 81.52 0.58 31.037 7 94.8 92

47、.34 2.46 41.858 8 96.2 96.49 -0.29 469 9 96.4 98.14 -1.74 47.65均 值 5 50.49 50.20 0.286 0.285离 差 平 方 和 60 14917.89 15156.55 19.43 15156.55平 方 和 285 37860.04 37839.92 20.16 15157.28 x y y e y y回 归 离 差 平 方 和 ， 而 ， 并 且 15156.55SSR 14917.89SST SSR ;SST SSR SSE 0ie 56 通 过 以 上 分 析 可 以 认 为 药 物 反 应 程 度 与 药 剂

48、 量符 合 非 线 性 回 归 方 程 y x6.761299.541 99.541 1 4.7996y x 57 【 例 8.3】 龚 珀 兹 模 型 是 计 量 经 济 学 中 的 一 个 常用 模 型 ， 用 来 拟 合 销 售 量 增 长 趋 势 ， 龚 珀 兹 曲线 形 式 为其 中 ， 为 销 售 量 增 长 上 限 。 当 未 知 时 ， 龚珀 兹 模 型 不 能 线 性 化 ， 可 以 用 非 线 性 最 小 二 乘法 求 解 ， 或 三 和 值 求 解 法 。 tbty LaL L 58 解 ： 1. 用 三 和 值 求 解 ：3 22 1ln lnln ln62.1424

49、59.303959.3039 54.28350.5654 t tn t ty yb y y7 0.5654 0.9218 b 59 由 22 1 1ln ln ln ( 1)2.0783 t t nba y y b可 得由 0.1251a 11 1ln ln ln19.4048 nt bL y an b可 得 12146.54L 60 由 此 求 得 龚 珀 兹 模 型 为 0.9218 12146.54 0.1251 tty 61 2. 用 非 线 性 最 小 二 乘 法 求 解以 三 和 值 法 的 参 数 估 计 值 为 初 值 ， 用 SPSS软 件的 非 线 性 最 小 二 乘 法

50、功 能 求 解 ：12146.54,L0.1251, 0.9218 a b 62 Source DF Sum of Squares Mean Square Regression 3 561508401.100 187169467.033 Residual 18 6323848.90008 351324.93889 Uncorrected 21 567832250.000 Total (Corrected 20 86753100.2857 Total) R squared = 1 - Residual SS / Corrected SS = .92711 Asymptotic 95 % Asym

51、ptotic Confidence Interval Parameter Estimate Std. Error Lower Upper L 15355.84 7524.962 -453.522 31165.195 a .113861 .04414 .021126 .206595 b .940897 .02573 .8868395 .995 63 用 非 线 性 最 小 二 乘 法 求 得 的 方 程 为增 长 上 限 为 ， 1981年 的 实 际销 售 量 为 7470万 只 ， 与 上 限 相 比 ， 还 有 一 倍的 增 长 空 间 。 0.9409 15355.83 0.1139 tty 15355.83L