【人教版】2018届高三二轮数学(文)阶段提升突破练含答案(共6份)

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1、阶段提升突破练(一)(三角函数及解三角形)(6 0分 钟1 00分)一、选择题(每小题5分，共4 0分)1.要 得 到 函 数f (x)=2 s in x cos x,x R的 图 象，只 需 将 函 数g(x)=2 cos 2 x T,x R 的 图 象()71 71A.向左平移2个单位 B.向右平移5个单位71 71C.向左平移0个单位 D.向右平移2个单位【解析】选 D.因为 f (x)=2 s in x cos x=s in 2 x,g(x)=2 cos2x-1 =cos 2 x,/7T1 71.,所以千(x)可由g(x)向右平移4个单位得到.yl3sin 0)在平面直角坐标系中的部分

2、图象如图所示，若N AB C=90，则 3=()所以 s i n 2 x=cos 2/=cos兀A.4C.6D.1 2兀B.8【解析】选B.根据三角函数图象的对称性可知，B C=CP=P A,又因为NAB C=90,所 以B P是R t AAB C斜边的中线，所 以B P=B C=CP,所以4 B CP$271 71是等边三角形，所 以2 BP=4/3nBp=8,所以3=2 X 8=3=W3.在4ABC 中，“角 A,B,C 成等差数列”是“sinC=(或cosA+sinA)cosB”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件71【解析】选A.因为角A,B,

3、C成等差数列，所以B二 ,又 s i nC=(7 3cosA+s i nA)cosB,所以 s i n(A+B)=cosAcosB+s i nAcosB,所以 cosAs i nB-cosAcosB,所以 cosA(s i nB-、1 3cosB)=0,7C 71I-即 cosA=0 或 tanB二、3,即 A=2或 B=3,故选 A.4.已 矢 口 tana=3,ta n(a 2B)=1,贝!J tan4B 的值为()4 4A.3 B.-3 C.2 D.-2【解析】选B.因为2B=a-(a-2 B),所 以 tan2 B=tan a-(a-2tana-tana-2 0)-3-1B)=1+ta

4、n atan a-2s)=1+(-3)x 1=2,2tan2/3 2 x 2 42分?一所以 tan4 B=1-tan 20=1-2=-3.（4%+-）5.将 函 数y=3sinl 6）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,71再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）4%H【解析】选A.将函数y=3sinl 的图象上各点的横坐标伸长为原(71 7118%H J 来 的2倍 变 为y=3sinl 6人 再 向 右 平 移6个 单 位 变 为H7 T H.6/7 n 77r k n 77r1 8%-1 =3sin 6人令 8x-6=k n=x=8+48,kZ,显然 A 选项，当 k=0

5、时满足.阳 J a)6.若 ae14 人且 3cos2 a=4sin14 人则 sin2 a 的 值 为()7 7 1 1A.9 B.-9 C.-9 D.9【解析】选 C.3(cos2 a-sin2 a)=2、5(cos a-sin a),因为 a Q ),所以A/2cos a-sin a=A0,所以 3 (cos a+sin a)=2,2,即 cos a+sin a=3，两8 1边平方可得 l+sin2 a=9=sin2 a=-9.7.已 知 锐 角A是AABC的一个内角，a,b,c是各内角所对的边，若1s in2A-cos2A=2,则下列各式正确的是()A.b+cW2 a B.a+cW2

6、bC.a+b W2 c D.a Wb c【解题导引】根据题中条件可以求出角A,结合余弦定理求出a,b,c三边的关系，选项可以看成比较大小，平方作差即可.1 1【解析】选A.因为s inL，A-cos?A=-cos 2 A=2,且A为锐角，所 以cos 2 A=-2271 7 1 兀=2 A=3=4 A=3,由余弦定理可得 a2=b2+c2-2 b ccos 3,即 a2=b2+c2-b c,T选项 A,(b+c)2 4 a2=b2+c2+2 b c-4 (b2+c2-b c)=-3 b2-3 c2+6 b c=-3 (b-c)0,故选 A.8.已知函数 f (x)=2 s in(a x-0)T

7、(a 0,|(p|0,k,t Z,所以 3 5=3,此时一9一 0 二 t n+2,t Z,所以 11 117T=-t n-18 n(t e Z),因为 IQI 0,(p )1 0.函 数 f (x)=2 s in(a x+0)I 2/的部分图象如图所示，则f(0)的值是.(27r,2 1112限入,7 1k G Z,因为一2 7 1 7 1 (71(71、0 0)的最小正周期为兀.(1)求函数y 二 f (x)图象的对称轴方程.7 T()讨 论 函 数 f(x)在 2 J 上的单调性.【解析】(1)因为 f (x)=s in c o x-c o s c o x=，2 s in /,且 T=T

8、 T,所以 3=2.(7 T 7i 7 i k jr 3 7 r于是 f (x)=5 s ir A I 令 2 x l k n+5(k Z),得 x=2 +8 (k Z),k/T 3T T即函数f(x)的对称轴方程为X=2+8 (k e z).兀 兀 7 1(2)令 2 k n -2 2 x-4 2 k n+2(k e Z),7i 3 7 rk/r kir+得函数f(x)的单调增区间为 8 8 J(keZ).注意到x G,7 T,0,一2 J,令 k=0,得函数f(x)在 n0 1 一2 J 上的单调增区间为1 3 7 t T3 71 T C 同理，其单调减区间为1.8 2.1 4.在4 A

9、B C 中，角 A,B,C所对边分别为a,b,c,且 4 b s in A=a.(1)求 s in B 的值.(2)若 a,b,c 成等差数列,且公差大于0,求 c o s A-c o s C 的值.解析】(1)由4 b s i n A=7 a,根据正弦定理得4 s i n B s i n A=7s i n A,所以啦s in B 二 4 .也(2)由已知和正弦定理以及(1)得 s in A+s in C=2，设 c o s A-c o s C-x ，7 2+2,得 2-2 c o s (A+C)=4 +x?，又 a b c,A B C,所 以71 3 70 B c o s C,故 c o s

10、(A+C);-c o s B=-4,代入式得 x?=4,因此啦c o s A_c o s C-2 .1 5.公园里有一扇形湖面，管理部门打算在湖中建一三角形观景平台，7 C希望面积与周长都最大.如图所示扇形A 0 B,圆心角A 0 B 的大小等于3,半径为2百米,在半径0 A 上取一点C,过 点 C作平行于0 B 的直线交弧A B 于点 P 设/C O P=0.求 A P O C 面 积 S(。)的函数表达式.(2)求 S (。)的最大值及此时0的值.【解题导引】根据正弦定理求出对应边长，然后利用面积公式求出.根 据(1)的结果展开，重新化一，转化成三角最值问题即可.Tl【解析】(1)因为CP

11、OB,所以NCPO=NP0B=3-e,2OP CP.27r CP-sin-在a P O C中，由正弦 定理得S讥/P C。二sin。，即 3=s in 8,所以4C P K 3sine,oc27r471又OP4s i n 0,X 由 知s(esin 0,sin6 s 3,所以 o c=3 sin GIn.于是S(e)=2cp OCsin 3小 1 cosO sinO=2s i n 0 cos 0 i n2 0e14222=sin2 0A/3#2邪+3 cos2 0-3=3 sin7 1 兀令 2 e+M k n+2,kZ,7 1 7 1即 6=kn+6,k e z,因为 0e3,7 T#所以当

12、。=%时，5(6)取得最大值为3.色16.已 矢 口 a=(sin%，3cos%),b=(cosx,-cosx 函数 f(x)=a b+2.世纪金榜导学号46854172 求 函 数y=f G）图象的对称轴方程.1 若 方 程f G）=在兀）上的解为x i,X2,求c o s的 一句的值.【解题导引】（1）根据向量的数量积，表示出f（x）,并化简即可.根据对称性找到X”X2的等量关系，结合三角恒等变换知识可解.【解析】f(x)=a b+2=(sin%,cos%),(cos%,-cos%)+2色1 色二sinx,cosx-3cos?x+2=2S j n2x-2 cos2x7 1 7 1 5 7

13、T k令 2x-3二k n+2，得 x=12+2 n(k E Z),k即y=f(x)的对称轴方程为x=12+2n(k G Z)5 7 1 2 7 1且 0 X 1 2 X2 l,则 a2,+a7=（）A.1 2 9 B.1 2 8 C.6 6 D.3 6【解析】选 C.由 a】+a6=3 3,a2 a5=3 2=2 a,得 s,i 1,a6=3 2,贝 M a2+a7=6 6.9 一 all3 .已知等比数列 a j 中，a3=2,a4 a6=1 6,贝%一。7=（）A.2 B.4 C.8 D.1 6【解题导引】设 等 比 数 列 a j 的 公 比 为 q,由 于 a3=2,a4a6=1 6

14、,可得3g-2 aiq2=2,alq=1 6,解得 q2.可 得 一 a7=q【解析】选 B.设等比数歹 a j 的 公 比 为 q,因 为 a3=2,a4a6=1 6,所以2a9-an ag（l-q）22a/=2,2 城=1 6,解得 q2=2,则-7=。5（1 7）=q，=4.4.（2 0 1 7 新余二模）九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意 思 为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这个

15、问题中，甲所得 为()5 4 3 5A.W 钱 B,钱 C.5钱 D.钱【解 析】选B.依 题 意 设 甲、乙、丙、丁、戊 所 得 分 别 为a-2d,ad,a,a+d,a+2d,则由题意可知，a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即 a=-6d,又 a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,所以 a=l,则 a2d=a-2 X 6，=3 a=3.5.已知数列 aj 的前 n 项和为 Sn,且 ai=2,a/i=Sn+l(n N*),贝 lj S5=()A.31 B.42 C.37 D.47【解 题 导 引】an+1=Sn+l(n N*),可得 Sn+1-Sn=Sn+l(n N*),

16、变形为：Sm+l=2(Sn+l)(nN*),利用等比数列的通项公式即可得出.【解析】选 D.因为an+i=Sn+l(nN*),所以S xS 产Sn+l(nN*),变形为:S n“+l=2(Sn+l)(nN*),所以数列 Sn+1 为等比数列,首项为3,公比为2.贝 I S5+1=3X2,解得 S5=47.6.若 数 列 an 满 足 a=1,且 对 于 任 意 的 n N*都 有 an+i=an+n+l,则1 1 1 1出+。2+。2 016+。2 017等于()4 030 2 015 4 034 4 036A.2 016 B,2 016 c.2 018 A 2 018【解析】选 C.由 an

17、+i=an+n+1 得，an+i-an=n+1,则 a2-ai=1+1,a?-a?=2+1,a4a3 3+1,an-an-F(n-1)+1,以上等式相加，得 an-ai=1+2+3+-+(n-1)+n-1,n(n+1)把 ai=1 代入上式得，an=1+2+3+(n7)+n=2,1 2 ri i an=n(n+1)=21rl 71+”，-则%+。2+.+a2 016+a2 017=2 2/+2 3/+.+2 016 2 017M2 017 2 018力=2 2 018)=2 018.7.已知数列 a j前n项和满足Sn-Sn-i=7+心乳一1(n 2 2),a i=l,则 a=()A.n B.

18、2n-l C.n2 D.2n2-l【解题导引】利用平方差公式对已知数列的递推式化简整理，求 得 回-1=1,根据等差数列的定义判断出数列是 一个首项为1,公差为1 的等差数列.求得数列 回的通项公式，再由an=Sn-Sn-1 求得an.【解析】选 B.由 S n-SnT=、2 n+N 玉 T,得(Aj Sn+Sn _ 1)/Sn_ /Sn _ i)=yln+7 SR _ i,所以J S n-J S n-i=i,所以数列、后可是一个首项为1,公 差 为 1的等差数列.所以J S n=i +(n-1)X 1 =n,所以 S=n2.当 n2 2,an=S n-S n-i=n2-(n-1)2=2 n-

19、1.a,=1 适合上式，an=2 nT.2n+18.已 知 L 为数列I 2”)的前n 项和，若 nTl0+1 0 1 3 恒成立,则整数n的最小值为()A.1 0 2 6 B.1 0 2 5 C.1 0 2 4 D.1 0 2 3【解题指南】利用等比数列的求和公式可得T“，即可求解.【解析】选 C.因 为 2 =1 +1 2),所以L=n+1-2：1 1所以 T1 0+1 0 1 3=1 1-21 0+1 0 1 3=1 0 2 4-21 0,又 nT1 0+1 0 1 3 恒成立，所以整数n 的最小值为1 0 2 4.11+2【力 口 固 训练】1.已知数歹!H a J 中，前 n 项和为

20、S n,且 S、=3%,则的最大值为A.-3 B.-l C.3 D.1a-n+1 2【解题导引】利用递推关系可得与-1=九-1=1+-1,再利用数列的单调性即可得出.n+2 n+2 n+1【解析】选C.因为Sn=3 a,所以n 2 2时，an=Sn-Si=3 a,-3 a,1H,a-n+1 2 (2 化 为：/i-l=z i-1=1+7 1-1,由 数 列 九一“单 调 递 减，可 得：n=22时，九一1取得最大值2.所以册T 的最大值为3.ab2.已 知a 0,b 0,且、6为3 a与3 b的等比中项，则4a +9 b的最大值为()1111A.2 4 B.2 5 c.2 6 D.2 7【解题

21、导引】由 等 比 中 项 推 导 出 a+b=l,从 而11ab 4 9 /4 9 4 a+9b=b cL=b a)14a 9b+13二 b aab，由此利用基本不等式能求出4a +9 b的最大值.【解析】选B.因为a 0,b 0,且 为3 a与3 b的等比中项,.3a 3b=3*=(、/3)2=3,a+b=1,1ab 4 9-T+一14 97.H l(ci+b)/.4a+Sb-b a=W a)114a 9b+13 2 J+13 W4a 9ba=25.ab=b ab11当且仅当b=a 时，取等号，所以4a+9b的最大值为25.二、填空题（每小题5 分，共 20分）9.已知等比数列 a j 的各

22、项均为正数，且满足:a】a,=4,则数列 logzaj的前 7 项之和为【解题导引】由等比数列的性质可得：ad7=a2a6=a3a5=4,再利用指数与对数的运算性质即可求解.【解析】由等比数列的性质可得：aa7=a2a6=a3a5=4,所以数列 lo g za j 的前 7 项和为 Iog2ai+1og2a2+-+1og2a7=Iog2(aia2-a7)-1 og227=:7.答案：71【加固训练】若数列瓜 满足4=2,4=1-%-1,则 a2017=1【解题导引】数歹 aj满足a i=2,an=1-册-1,可得an+3=an,利用周期性即可得出.1【解析】数列 an 满 足 a F 2,a=

23、1-%-1 ,可 得1 13 2=1-2=2,a3=1-2=-1,a4=1-(-1)=1 12,a s=1-2=2,，所以an+3=an,数列的周期为3.所以 3 2 017 8 6 7 2 X 3+1-3 l =2.答案：210.设T n 为 数 列 aj的 前 n项 之 积，即T n=a i a 2 a 3 an-i an,若11a,=2,an-1-1=1,当 Tn=l l 时,n 的值为.世纪金榜导学号46 8 5 418 61 1【解题导引】由 题 意 可 得 数 列 是 以 1=1 为首项，以 1 为公差的等差数列，求其通项公式，可得数列 4 的通项公式，再由累积法求得 I,则 n

24、值可求.1 1【解析】由 限 2,4 -1 1 1可得数列I。，1J 是以 一 1=1为首项，以 1 为公差的等差数列，1 11+1贝 i j Q n-l=1+(nT)X 1=n,所以 2 尸1+小 n,2 3 n+1则 Tn=aia2a3-an-ian=l 2 n=n+1,由 L=n+1=11,得 n=10.答案：10119 21 1.若 数 列 a j满 足a1=2,an+1=220 an,则a包 4的 最 小 值 为【解 析】依 题易知:an0,I og2an+i=20+21 og2an今(Iog2an*+20)=2(log2an+20),则 Iog2an+20)是首项为 1,公比为 2

25、 的等比,2n-1-20 n20-20o21-20数 歹,log2ati+20=2=an=2,a,a2 an-2 2.2n-1-20-2n-l-2 0 n *r,2=2，令 b N-K O n,bnbn=2J2020=n，5,b j 递增，b5=-69最小，a a a。的最小值为2-69.答案：22 2 2【加固训练】正项数列 an满足:ai=l,a2=2,2,兀=an+l+an-1(neN n2 2),则 a7=.2 2 2 2【解题导引】由2a=a，+i+a让i(nN*,n，2),可得数列 2研是等差数2列，通过求出数列科研的通项公式，求得a”再求a7.2 2 2 2【解析】由2a用a n

26、+i+a n-i(n N*,n 2 2),可得数列但科是等差数列，2 2 2 2 I_公差 d=a2-ai=3,首项a*l,所以a匚 1+3X(n-1)=3n-2,a.=J3n-2,所以答案:亚12.高斯是德国著名的数学家,享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个,设x R,用 x表示不超过x的最大整数,并用 x=x-x表示x的非负纯小数,则丫=以 称为高斯函数，已知数列 a1满足:a尸、氏 a*an+&(n e N*),则 0 2 0 1 7=1【解题导引】由于：a、=小,an+1=+册 (n N*),经过计算可得：数列匕2成等差数列，首项为 3,公差为3.即可得出.1【

27、解析】满足:a、=出,an+1=an +册 (n e N*),-1所以 a2=1+平 1=2+2,1事-1a3=2+2=3+3=4+(8-1),-1a4=4+V3-1=5+2,1一-1a5=5+2=6+3=7+(3-1),-1a6=7+P-1=8+2,1书-1a7=8+2=9+3=10+(3-1),.,可得:数列匕2门 成等差数列，首项为 6,公差为3.贝 可 a20i7=+3 X(1009-1)=3024+行.答案：3 02 4+6【力口固训练】已知数列 a j满足:2 a 1+2 2 a 2+2%+2”a n=n(nN*),数列13 9 2 az iIo%*J的前门项和为 s,则 S,S2

28、-S3-S10=.1【解题指南】根 据2 a】+2 2 a 2+2 L 3+2 E,=n,求出a“=2：再利用对数的运1 1 1算性质和裂项法即可得到109 2 a/o g 2 a n+1=九_ 九+1,裂项求和得到sn代值计算即可.【解析】因为2 a 1+2 2 a 2+2-3+2、尸11,所以2 a 1+2 2 a 2+2 3+2r 飞 廿 二n 7,所以2%=1,1所以an=2：1 _ 1_所以+1=*10922 。2-S +1)=n(n+l)=n-n+1,1 1 1 1 1另 斤 以 Sn-,|2+2 3+TI Y L +11 n-y-n+1=71+1,1 2 3 9 10 1所以 S

29、i S2 S3SK)=5XX1X X 10 x 11=11.1 1 11答案：11三、解答题(每小题10分，共 40分)13.(2017 全国卷HI)设数列 即 满足 ai+3a2+(2nT)an=2n.(1)求Hn 的通项公式.求 数 列 忸+的前n 项和.(解析(1)由已知可得:ai+3a2+(2n-1)an=2n,所以当 n1 时有 ai+3a2+,+(2n-3)an-i-2(n-1),所以两式作差可得：(2n-1)a0=2,2即 an=2zi-181,且门 1)，又因为n=1时，ai=2符合，2所以 a=2n-l(n GN*).2 1 1设 bn=2n+1,则=(2九-1)(2九 +1

30、)=2九-l-2n+1an 所以数列12九+1J的前n 项和为1 1 1 1 1S n=bi+b2+,+bnz:1 -3+3 5+2几1 2几 +11 2n二 1一 2几 +l-2 n +1.3 a八 一 314.已知数列 4 的前n 项和为Sn,Sn=2(nN.).(1)求数列 a j的通项公式.7(2)若数列 bn满足 an bn=log3a4n+i,记 T,1=bi+b2+b3+-+bn,求证:Tn=an=(4n+1)13 j,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.3 a九 -3【解析】由 SL 2 (nN.)可知，当 n 1 时，ai=Si,2 Si+3=3 a”得 ai

31、 3.n=2 时，2 S2+3=3 a2,即 2 +3=3 a2,解得 a2=9.当 n，2 时，an Sn-Sn-i,因为 2 Sn+3=3 an(n e N+),2 Sn-i+3=3 an-b两式相减可得2 an=3 an-3 an-b所以 an 3 an-i,所以an=3n.对 n=1也成立.故数列 a j 的通项公式为a0=3n.(2)由 an bn=I og3a4n+i=I og334n+1=4n+1,得 =(4n+1),所以 Tn=b1+b2+b3+-+bn=5 3+9 3/+.+(4n+1)33 fn=5+92+,+(40+1),两式相减得，3fn=3+4X+3y+3 j-(4n

32、+1),133+4 X11 3-(4n+1),化简可得1 2-2(而+7)3 j 2.所以aH 1 2 02 03 曾4(i当 n 2 2 时,S L-2 0+3 X 回 +5 x E)+7 X +-+(2 n-1)X P士 2 州冲 价 绯+1 Sn=-2 5+3 X +5 X 5)+(2 n-3)X 5/+(2 n-1),5;,两式相减得5 sli=-1。0+2 5+2 J +1 5)(2 n-1)引=100+2 5-(2n-1),【5)73 128(斗+i 岗 +1=100+25-io 15)-(2n-1),w/137 价+i=20-(2n+9),W/,137 曾 所以和二 4-(Wn+

33、45)5/(n22).137当 n=1时，也符合上式，所 以SF 4-(Wn+45)阶段提升突破练（三）（概率与统计）（6 0分 钟1 0 0分）一、选择题（每小题5分，共4 0分）1.（2 0 1 7 宜宾二模）某生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件，这种零件的标准尺寸为8 51n m，现分别从他们生产的零件中各随机抽取8件检测，其尺寸用茎叶图表示如图（单位:m m）,则 估 计（）甲_3 9 09 8 5 4 2 8 4 4 5 5 6 89 8 7 8A.甲、乙生产的零件尺寸的中位数相等B.甲、乙生产的零件质量相当C.甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好D.乙生产的零件质量比甲生产的零

34、件质量好【解析】选D.甲的零件尺寸是：9 3,8 9,8 8,8 5,8 4,8 2,7 9,7 8；乙的零件尺寸是：9 0,8 8,8 6,8 5,8 5,8 4,8 4,7 8；8 5 +8 4故甲的中位数是：2 =8 4.5,8 5 +8 5乙的中位数是：2 =8 5；故A错误;根据数据分析，乙的数据稳定,故乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好，故 B,C错误.2.（2 0 1 7 长沙二模）一个样本a,3,5,7的平均数是b,且 a,b分别是数列 2巧（n N*）的第2 项和第4项,则这个样本的方差是（）A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选 C.因 为 样 本 a,3,5,7的平均

35、数是b,且 a,b分别是数列 2n*2 （n e N*）的第 2 项和第 4 项，所以 a=22-2=1,b=242=4,所以1S2=4（I-4）2+（3-4）2+（5-4）2+（7-4 力=5.3.（20 17黄冈一模）电子钟一天显示的时间从0 0:0 0 到 23:5 9的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为2 3的概率 为（）1111A.18 0 B,288 C.3 60 D.4 8 0【解析】选C.一天显示的时间总共有24 X 60=14 4 0 种，和为23 有0 9:5 9,4 119:5 8,18:5 9,19:4 9总共有4种,故所求概率为P=1 440=

36、360.4.在矩形A B C D 中，A B=2A D,在 C D 上任取一点P,A A B P 的最大边是A B 的概率是A B,A/3A.2 B.2 C.A/2-1 D.3 1【解析】选 D.设 A D=a,当 A B=A P 0 t,（2a）2=a2+（2a-P C）2=P C=（2-/5）a2（2-/3）QP C=（2+，）a （舍去），所以所求概率为1-2a=A 1.5.（20 17 大同一模）有一底面半径为1,高为2的圆柱，点0为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点0的距离大于1的 概 率 为（）1 2 3 1A.3 B.3 c.4 D.4【解析】选B.设点P

37、到点。的距离小于等于1的概率为P i,由几何概型,27r 2X T x rv 半 球 3 11 2则P尸圆柱=兀x 1?x 2=3,故点p到点。的距离大于1的概率P=l-3=3.6.为保障春节期间的食品安全,某市质量监督局对超市进行食品检查,如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据4 1的平均数为11.75,则。+石的最 小 值 为（）9 7A.9 B.2 C.3 .D.31【解析】选C.根据茎叶图中的数据，该组数据的平均数为(a+11 +13+20+b)=11.75,所以 a+b=3 ；4 1 (4 +b所以a+瓦 a bj 34 4 b a 1二 3+3办3 b+35

38、4 b a 5 j4 b a=3+3 +3 63+2,3 a 3 b5 2=3+2x 3二3,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时 取“二”；4 1所以a+石的最小值为3.7.利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如:3 4的最高位数 字 为3,5 67的最高位数字为5）的频数分布直方图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=l,2,9）的概率为P.下列选项中，最能反映P与d的 关 系 的 是（）数36211512用Mo频i二二23456789最高位数字(i+iA.P=lgd(d-5)2C.P=1201B.P=d+23J_D.pEx2d【解析】选A.P是

39、d的减函数，所以排除C;由P(l)+P(2)+-+P(9)=l1+)得，对于P=lgVdJ,P+P(2)+/23101I-X-X.X1-+P(9)=lgU29|g1o=1；对于p=d+2,111P+P+P(9)=3+4+111；313F1-对于P=52,P(1)+P(2)+-+P(9)=52 8.5)2s=q i 6t=i =q i 6 i =1 心0.2 1 2,d =i%1 6Z-1 8.4 3 9 J =l(x=x)(i 8.5)=-2.7 8,其 中Xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=l,2,16.世纪金榜导学号4 68 54 2 0 6(1)求(X”i)(i=l,2,，1 6)的相关系

40、数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|0.2 5,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在&-3 s,q+3 s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？在&-3 s,4+3 s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.0 1)附:样本(x U%)(i=l,2,n)的相关系数ni=l一历,J o.o o/o 0 9【解析】(1)

41、因为1,2,3,，1 6的平均数为8.5,所以样本(X i)(i=1,2,n)的相关系数16i=l如16f加 一 8寸-2.7 8=4 x 0.2 1 2 x 1 8.4 3 9%-0,1 7 8,|r|=0.1 7 8 0.2 5,所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.x-3 s=9.9 7-3 X 0.2 1 2=9.3 3 4,x+3s=9.9 7+3 X0.2 1 2=1 0.60 6,第1 3个零件的尺寸为9.2 2,9.2 2 7,8 7 9.因此能在犯错误的概率不超过0.0 0 5的前提下认为喜欢外卖与年龄有关.设“抽 到6或1 0号”为事件A,先

42、后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x,y).所有的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),，(6,6),共3 6个.事件A包含的基本事件有：(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4),共 8 个,8 2所以 P(A)=3 6=5.1 6.(2 0 1 7 贵阳二模)为检测空气质量,某市环保局随机抽取了甲、乙两地2 0 1 6年2 0天PM2.5日平均浓度（单位:微克/立方米）监测数据,得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表.世纪金榜导学号4 6 8 5 4 2 0 8甲地20天 PM 2.

43、5日平均浓度频率分布直方图乙地2 0天PM2.5日平均浓度频数分布表PM2.5日平均浓度（微克/立方米）0,2 0(2 0,4 0(4 0,6 0(6 0,8 0(8 0,1 0 0 频数（天）23465 根 据 乙 地2 0天PM2.5日平均浓度的频数分布表作出相应的频率分布直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值,给出结论即可）.通过调查,该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：满意度等级非常满意满意不满意P M 2.5日平均浓度（微克/立方米）不超过2 0大 于2 0不超过6 0超 过6 0记事件C:“甲地市民对空气质量的

44、满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级”，假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求事件C的概率.【解题导引】（1）根据乙地2 0 天 P M 2.5日平均浓度的频数分布表能作出相应的频率分布直方图，由频率分布直方图能求出结果.记 4表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A?表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，B i表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B 2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则 A i与 B i独立,A与

45、 B 2 独立,B i与 B z 互斥,C=B A U B 2 A 2,由此能求出事件C的概率.【解析】（1）根据乙地2 0 天 P M 2.5日平均浓度的频数分布表作出相应的频率分布直方图，如图：由频率分布直方图得：甲地P M 2.5 日平均浓度的平均值低于乙地P M 2.5日平均浓度的平均值,而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散.（2）记 A 1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A 2 表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，Bi表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B?表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则

46、人与&独立,A 2与B 2独立,B l与B 2互斥,C=B A U B 2A2,P(C)=P(BAUB2 A 2)=P(B1)P(A1)+P(B2)P(A2),9 1 11 7 11由题意 P(AI)=10,P(A 2)=10,P(BJ=2 0,P(B2)=2 0,所以 p(c)=2 0 x9 7 1 5310+20 x10=100.阶段提升突破练（四）（立体几何）（60分 钟100分）一、选择题（每小题5分，共 4 0 分）1.（2 0 16 浙江高考）已知互相垂直的平面a ,B交于直线I.若直线叫n满足 m a ,n,B ,则（）A.m/1 B.m/nC.n/D.m n【解题导引】根据线、

47、面垂直的定义判断.【解析】选 C.由题意知，a n B=/,所 以/U B ,因为n_ L B ,所以n/.2.（2 0 17 长沙二模）如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为 2的等腰直角三角形,正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为正视图 侧视图俯视图2 4 8A.3 B.3 c.3 D.2【解析】选 A,由四面体的三视图得该四面体为棱长为2 的正方体1ABCD A B C D中的三棱锥C-BDE,其中点E是CD中点，ABDE面积S=2X1 2三棱锥G-BDE的高h=CG=2,所以该四面体的体积:V=3sh=3.3.（2017 全国卷I）某多面体的三视图如图所示,

48、其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和 为（）C.14 D.16【解题导引】主要考查如何将三视图转化为几何体问题，突出考查考生的空间想象能力.【解析】选B.由三视图可画出立体图，该立体图各面中只有两个相同的梯形的面，S 睇=（2 +4）X 2 ：2=6,S 金棕=6 X 2=12.【加固练习】（2 0 17 黄冈二模）某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（）A.13 J t B.16 J i C.2 5 J t D.2 7 五【解析】选 C 几何体为底面为正方形的长方

49、体,底面对角线为4,高为3,所以长方体底面边长为2 5,则长方体外接球半径为r,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5则 2 r=J（2 2）2 +（2 2）2+那=5,所以 r=2,所以长方体外接球的表面积S=4 n r2=2 5 n.4.（2 0 1 7 合肥二模）若平面a 截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面a 平 行 的 棱 有（）A.0 条 B.1 条C.2 条 D.1 条或2 条【解析】选 C.如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则 EF/7GH,因 为EFQ平 面BCD,GHU平 面BCD,所 以EF 平 面BCD,因 为EFU平 面ACD,平 面

50、BCDCI平 面ACD=CD,所 以EFCD,所 以CD 平 面EFGH,同 理AB 平 面EFGH.5.如图所示,在正方体ABCD-A.B.C,D,中，E,F,G,H分别为AAb AB,BB B C的中点，则异面直线EF与 GH所 成 的 角 等 于（）A.45 B.60 C.90 D.120【解析】选 B.如图，取 A B 的中点M,连接GM,HM.由题意易知E F G M,且 G M H 为正三角形.所以异面直线E F 与 G H 所成的角即为G M 与 G H 的夹角N H G M.而在正三角形 G M H 中 Z H G M=6 0 .6.（2 0 1 7 全国卷H I）在 正 方

51、体 A B C D-A B C D 中，E为 棱 CD的中点,则（）A.A E J _ D G B.A j E lB DC.A E J _ B G D.A】E _ L A C【解析】选 C.根据三垂线逆定理，平面内的线垂直过平面的斜线，那也垂直于斜线所在平面内的射影.A.若 A i E _ L D G,那么A E _ L D G,显然不成立;B.若 A i E _ L B D,那 么 B D A E,显然不成立；C.若 A i E _ L B G,那么B G _ L B Q 成立，反过来B G _ L B ,也能推出C E J L B&;D.若 A i E J _ A C,那么A E A C,

52、显然不成立.7.（2 0 1 7 洛阳二模）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三 角 形；（2）四 边 形；（3）五 边 形；（4）六 边 形.其 中 正 确 的 结 论 是（）A.(1)(3)B.(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)【解析】选B.正方体容器中盛有一半容积的水,无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心.三角形裁面不过正方体的中心，故不正确;过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故正确;正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是五边

53、形，故（3）不正确;过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（4）正确.8.如图,在矩形A B C D中,AB=A/3,B C=1,将4ACD沿AC折起，使 得D折起的位置为Db且D i在平面A B C的射影恰好落在AB上,在四面体D,A B C的四个面中，其中有n对平面相互垂直，则n等 于（）A.2B.3C.4D.5【解析】选B.设Q在平面A B C的射影为E,连接D E,则 以E _ L平面A B C,因 为DiEu平 面ABDb所 以 平 面ABD】_L平 面ABC.因 为D正_L平 面ABC,BCu平 面ABC,所以 D1E B C,又因为 AB_LBC,D

54、1EAAB=E,所 以BC_L平 面ABDb又 因 为B C c平 面BCD”所 以 平 面BCD 平 面ABDb因 为BC _L平 面ABD”AD V平 面ABDb所以 BC _L ADb 又因为 C _L ADb BC A CDFC,所 以AD 平 面BCDb又因为A D V平 面ACD所 以 平 面ACD 平 面BCD”所 以 共 有3对平面互相垂直.二、填空题（每小题5分，共 2 0 分）19.（2 0 1 7 山东高考）由一个长方体和两个区圆柱构成的几何体的三视图如图，则 该 几 何 体 的 体 积 为.【解 析】由三视图可知长方体的体积为=2义1义1=2,两个四分之一圆17 C柱

55、的 体 积 之 和 为V2=4 x n X T X 1 X 2=2,所 以 该 几 何 体 的 体 积 为71V=2+2.兀答案:2+5【加固训练】（2 0 1 7 大庆二模）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为【解析】由三视图可知:该几何体为三棱锥P-A B C,其中底面是底边与底边上的高都为2的等腰三角形A B C,侧 面P A C _ L底面A B C,高 为2.1 1 4所以这个几何体的体积V=3 x 2 x 2?X 2=3.4答案：1 0.（2 0 1 7 全国卷I ）已知三棱锥S-A B C的所有顶点都在球。的球面上,S C是球0的直径.若平面S C A _ L平面S

56、C B,S A=A C,S B=B C,三棱锥S-A B C的体积为9,则球0的表面积为.【解析】取S C的中点0,连接0 A,0 B,因为 SA=AC,SB=BC,所以 OASC,OBSC.因为平面SAC_L平 面SBC,所以OA_L平面SBC.设OA=r1 1 1 1VA-SBC=3 x SASBCX 0A=3 X 2 X 2r X r X r=31所以3 r3=9=-3,所以球的表面积为4 n r2=36 n.答案：3 6T T1 1.（2 0 1 7 本溪二模）已 知a,b表示两条不同直线，a,B ,Y表示三个不同平面，给出下列命题：若 a G B =a,b e a,ab,则 a _

57、L B ;若aU a,a垂直于B内的任意一条直线,则a J _ B ;若 a _ L B ,a A B =a,a G y =b,则 a_ L b;若a不垂直于平面a,则a不可能垂直于平面a内的无数条直线；若 a a,a B ,则 a B .上述五个命题中，正 确 命 题 的 序 号 是.【解析】对于，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于同一平面内两条相交的直线，故a _ L b,a不一定垂直平面B,故不正确，对于,aU a,a垂直于B内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到a_L B,又aU a,则a _L B,故正确，对于，a 0,a A 0=a,a Cl 丫 二b,贝 a b或

58、ab,或相交，故不正确，对于，若 a 不垂直于平面a,则 a 可能垂直于平面a 内的无数条直线,故不正确，对于，根据线面垂直的性质，若 a_ L a,a_ L B,则 a B ,故正确.答案：1 2 .在长方体A B C D-A.B.C,D,中,B.C和G D与底面AE C D所成的角分别为4 5 和6 0 ,则异面直线B E和G D所 成 的 角 的 余 弦 值 为.【解析】设 B B 二 a,因为B和 GD与底面ABCD所成的角分别为4 5 和 6 0 ,色所以 B C=a,D C=3 a,2 73 2 73所以 A N 二&a,D C 尸 3 a,A C=3 a,AR?+DC：-Ac,4

59、由余弦定理得：COSNGDAF 2A1D-DC1-4答案：4三、解答题（每 小 题1 0分，共4 0分）1 3 .（2 0 1 7 江苏高考）如图，在 三 棱 锥A-B C D中，A B _ L A D,B C _ L B D,平面A B D J _平 面B C D,点E,F（E与A,D不重合）分别在棱A D,B D上,且E F A D.求证：（D E F平面A B C.(2)A D A C.A【解题导引】（1）利用A B E F及线面平行判定定理可得结论.利用面面垂直的性质得B C _ L A D,又A B _ L A D,从而得到A D J平面A B C,即可得A D _ L A C.【证

60、明】（1）在平面A B D内，因为A B _ L A D,E F A D,所 以E F/A B.又因为E F C平面A B C,A B c平面A B C,所以E F平面A B C.因为平面A B D J平面B C D,平面A B D C I平面B C D=B D,B C u 平面 B C D,B C B D,所以B C _ L平面A B D.因为A D c平面A B D,所 以B C A D.又因为 A B _ L A D,B C A A B=B,A B u 平面 A B C,B C u 平面 A B C,所以A D _ L平面A B C,又因为A C c平面A B C,所以A D _ L A

61、 C.1 4.如图，在三棱锥P-A B C中,D,E,F分别为棱P C,A C,A B的中点，已知P AA C,P A=6,B C=8,D F=5.求证：直 线P A平面D E F.(2)平面B D E _ L平 面A B C.【证 明】（1）在4 P A C中，D,E分 别 为PC,A C的中点，则 PA D E,PA d 平面 D EF,D Eu 平面 D EF,因 此PA 平 面D EF.1 1 在ZkD EF 中，D E=2 PA=3,EF=2BC=4,D F=5,所以 D F?=D E?+EF2,所以 D EEF,又 因 为PA A C,所 以D E_ LA C.因 为EFD A C

62、二E,所 以D E_ L平 面A BC,所 以 平 面BD E_ L平 面A BC.【加固训练】1.如图，在三棱锥S-A B C 中，平 面 S A B _ L 平 面 S B C,A B B C,A S=A B.过点A作 A F S B,垂足为F,点E,G分别是棱S A,S C 的中点.求证：（1）平面E F G 平面A B C.（2）B C S A.【证 明】（1）因 为A S=A B,A F_ LSB,垂 足 为F,所 以 点F是SB的中点.又因为点E是SA的中点，所以 EF/7 A B.因 为E F a平 面ABC,A B u平 面ABC,所 以EF 平 面ABC.同 理EG 平 面A

63、BC.又因为EFAEG=E,所 以 平 面EFG 平 面ABC.(2)因 为 平 面SAB_L平 面SBC,且 交 线 为S B,又 因 为A F u平 面SAB,AFSB,所 以A F L平 面SBC.因 为B C u平 面SBC,所以 AF_LBC.又因为 ABBC,AFAAB=A,AFu 平面 SAB,ABu 平面 SAB,所 以BC_L平 面SAB.因 为S A c平 面SAB,所 以BCSA.2.如图所示，已知P A,平面A B C D,A B C D是矩形,P A=A D,M,N分别为A B,P C的中点，求证：(1)M N平面P A D.平面P M C _ L平面P D C.【证

64、 明】如图所示，建立空间直角坐标系,设 PA=AD二 a,AB=b.(1)易知AB为平面PAD的一个法向量，AB=(b,o,O).l(0,竿)又因为MN=22),所以 A8.MN=o,所以 AB j_ MN.又因为M N Q 平面PAD,所以MN平面PAD.佟 o,o)(2)由知 P (0,0,a),C (b,a,0),M2 人 D (0,a,0),-七,0,-a 一所以PC=(b,a,-a),PM=2 PD=(o,a,-a),设平面PMC的一个法向量为ni=(xb yb z0,n PC=0,即ti PM=0,由，b%i+ay1-azx=0,b-%1-az1=0,f 2a所以y i=-z i，

65、令 Zi b,则 iii (2a,b,b),设平面PDC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),正=(),严2+叼2-丫2=0，则 即ay2 一 az2 0,5=(),x2=0,解得 丫2=Z2，令 Z21，则 112=(0,1,1),由于 m n2=0-b+b=0,所以 m _L n2,所 以 平 面PMC_L平 面PDC.15.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC J_平面 ABCD,ABDC,DCAC.求证:DC _L平 面PAC.求 证：平面PAB_L平 面PAC.【解题指南】证 明D C P C,又因为DCAC,从 而DC_L平 面PAC.只 需 证 明AB_L平 面PAC.【证

66、 明】(1)因 为PC_L平 面ABCD,DCu平 面ABCD,所 以PCDC.又因为 DCAC,PCAAC=C,PC,ACu 平面 PAC,所以 DC_L平面 PAC.(2)因为 AB/DC,DC_L 平面 PAC,所以 AB_L 平面 PAC.又因为A B u平 面PAB,所 以 平 面PAB_L平 面PAC.71 116.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC,ZBAD=2,AB=BC=2AD=a,E 是 AD的中点,。是A C与B E的交点,将A A B E沿B E折起到图中A A iB E的位置，得到四棱锥A-B C D E.小 证 明：C D J _平 面A Q C.当 平 面A B E _ L平 面B C D E时，四棱锥A-B C D E的体积为3 6 2求a的值.17 T【解析】在题图中，因为A B=BC=5AD=a,E是A D的中点，N B A D=Z所以B E A C.则在题图中，B E _ L A Q,B E O C,且 A,0 A 0 C=0,从而B E _ L平面A,O C.又C D/B E,所以C D _ L平面A Q C.(2)由已知,平面A B E