[高考]第十二章--第二节--直线与圆的位置关系课件

会证明和应用以下定理：会证明和应用以下定理：（1）圆周角定理；）圆周角定理；（2）圆的切线判定定理与性质定理；）圆的切线判定定理与性质定理；（3）相交弦定理；）相交弦定理；（4）圆内接四边形的性质定理与判定定理）圆内接四边形的性质定理与判定定理（5）切割线定理）切割线定理.1圆周角圆周角定定理理圆圆周角的度数周角的度数等于等于 O为圆为圆心，心，A、B、C为圆为圆上任意三上任意三点，点，则则有有 ACB 它所它所对对弧弧的度数的一半的度数的一半 AOB推推论论1同弧或等弧同弧或等弧所所对对的的圆圆周周角角 O为圆为圆心，心，A、B、C、D为圆为圆上任意上任意四点，四点，则则有有 ACB ADB同同圆圆或等或等圆圆中，相等的中，相等的圆圆周角所周角所对对的弧的弧 O为圆为圆心，心，A、B、C、D为圆为圆上任意四上任意四点，且点，且 CAD ACB，则则有有相等相等 AOB相等相等推推论论2半半圆圆(或直或直径径)所所对对的的圆圆周角等于周角等于 O为圆为圆心，心，A、B、C为圆为圆上三点，且上三点，且BC为圆为圆的直的直径，径，则则有有 BAC90的的圆圆周周角所角所对对的弦的弦为为 O为圆为圆心，心，A、B、C为圆为圆上上三点，且三点，且 BAC90，则则 BC为圆为圆的的9090直径直径直径直径2圆的切线圆的切线判判定定定定理理经过圆经过圆的半径的的半径的外端且外端且 于于这这条半径的直条半径的直线线是是圆圆的切的切线线 O为圆为圆心，心，A为圆为圆上一点，直上一点，直线线l经经过过点点A且且OA，与与O相交于点相交于点A，则则直直线线l是是圆圆的一条的一条切切线线，切点，切点为为A垂直垂直垂直垂直性性质质定定理理圆圆的切的切线线经经过过切点的半径切点的半径 O为圆为圆心，直心，直线线l 与与圆圆相切于点相切于点A，则则l OA垂直于垂直于垂直于垂直于切切线线长长定定理理从从圆圆外一点引外一点引圆圆的的两条切两条切线长线长 O为圆为圆心，心，C为为圆圆外的一点，由外的一点，由 C向向圆圆作切作切线线，分分别别交交圆圆于点于点A、B，则则有有相等相等CACB3弦切角定理及其推论弦切角定理及其推论定定理理弦切角的度弦切角的度数等于它所数等于它所夹夹的弧的度的弧的度数的数的 AB是是O的切的切线线，BAC的度数等于的的度数等于的度数度数一半一半推推论论弦切角等于它弦切角等于它所所夹夹弧所弧所对对的的 AB是是O的切的切线线，C、D 为圆为圆上两点，上两点，则则 BAC ADC圆圆周角周角4圆中的比例线段圆中的比例线段相相交交弦弦定定理理圆圆内的两条相交弦，被交内的两条相交弦，被交点分成的两条点分成的两条线线段段长长的的积积PAPBPCPD相等相等割割线线定定理理从从圆圆外一点引外一点引圆圆的两条割的两条割线线，这这点到每条割点到每条割线线与与圆圆的交点的两条的交点的两条线线段段长长的的积积PAPBPCPD相等相等切切割割线线定定理理从从圆圆外一点引外一点引圆圆的一条割的一条割线线和一条切和一条切线线，切，切线长线长是是这这点点到割到割线线与与圆圆的两个交点的两的两个交点的两条条线线段段长长的的PAPBPC2比例中比例中项项5圆内接四边形的性质定理和判定定理圆内接四边形的性质定理和判定定理性性质质定定理理圆圆内接四内接四边边形形对对角角四四边边形形ABCD内接内接于于O，A C ，B D互互补补判判定定定定理理如果四如果四边边形形的的对对角互角互补补，则则此四此四边边形形内接于内接于圆圆在四在四边边形形ABCD中，中，A C或或 B D，则则四四边边形形ABCD 圆圆内接于内接于1如图，如图，AB是是O的直径，的直径，延长延长AB到点到点P，使，使AB2 BP，过点，过点P作作O的切线，的切线，切点为切点为C，连结，连结AC，求，求 CAP的大小的大小解：解：设设 CAP，连结连结OC、BC，则则 OCP90，ACO，COP2.AB2BP，OBBP，在在Rt OCP中，中，BCOPOBOC，CBO COP OCB2.260，30.2如图，如图，PT切切O于点于点T，PA交交O于于 A、B两点，且与直径两点，且与直径CT交于点交于点D，CD2，AD3，BD6，求，求PB的长的长解：解：由相交弦定理得由相交弦定理得，DT9.在在Rt PDT中有中有PT2PD2DT2，由切割线定理由切割线定理PT2PBPAPB(PB9)，PDPB6，联立联立解得解得PB15.3如图，在如图，在Rt ABC中，中，ABBC，以以AB为直径的为直径的O交交AC于点于点D，过过D作作DE BC，垂足为，垂足为E，连接，连接 AE交交O于点于点F.求证：求证：BECEEFEA.证明：证明：在在Rt ABC中，中，ABC90，所以所以OB CB，所以所以CB为为O的切线的切线所以所以EB2EFEA.连接连接OD，因为，因为ABBC，所以所以 BAC45，又，又ODOA，所以所以 BOD90.在四边形在四边形BODE中，中，BOD OBE BED90，ODOB，所以四边形所以四边形BODE为正方形为正方形所以所以BEODOBABBC，所以，所以BECE.所以所以BECEEFEA.1.判定切线通常有三种方法判定切线通常有三种方法(1)和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线.2.圆的切线的性质定理及推论有如下结论：如果一条直圆的切线的性质定理及推论有如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个个:（1）垂直于切线；）垂直于切线；(2)过切点；过切点；(3)过圆心过圆心.于是在于是在利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线.如图所示，如图所示，O的直径为的直径为6，AB为为O的直径，的直径，C为圆周上一点为圆周上一点BC3，过，过C作圆的切线作圆的切线l，过，过A作作l的的垂线垂线AD，AD分别与直线分别与直线l、圆交于、圆交于D、E，求，求 DAC及线段及线段AE的长度的长度思路点拨思路点拨利用利用ACD+ACB+BCF=90，求，求DAC；利用；利用RtABE RtBAC，求，求AE.课堂笔记课堂笔记由已知由已知 ABC是直角三角形，易知是直角三角形，易知 CAB30，由于直线由于直线l与与O相切，由弦切角定理知相切，由弦切角定理知 BCF30，由由 DCA ACB BCF180，知，知 DCA60，故在故在Rt ADC中，中，DAC30.则则 EAB60 CBA，连结连结BE，如图所示，则，如图所示，则Rt ABE Rt BAC，所以所以AEBC3.圆内接四边形的重要结论有：圆内接四边形的重要结论有：1内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的平行四边形是矩形；2内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的菱形是正方形；3内接于圆的梯形是等腰梯形内接于圆的梯形是等腰梯形如图所示，已知如图所示，已知AP是是O的切线，的切线，P为切点，为切点，AC是是O的割线，与的割线，与O交于交于B，C两点，圆心两点，圆心O在在 PAC的内部，点的内部，点M是是BC的中点的中点(1)证明：证明：A，P，O，M四点共圆；四点共圆；(2)求求 OAM APM的大小的大小思路点拨思路点拨(1)连结连结OP,OM,利用圆内接四边形对角互补证明；利用圆内接四边形对角互补证明；(2)先证先证OAM=OPM，再证明，再证明OPM+APM=90课堂笔记课堂笔记(1)证明：连结证明：连结OP，OM，如图所示，如图所示因为因为AP与与O相切于点相切于点P，所以所以OP AP.因为因为M是是O的弦的弦BC的中点，的中点，所以所以OM BC.于是于是 OPA OMA180.由圆心由圆心O在在 PAC的内部，可知四边形的内部，可知四边形APOM的对角互补，所的对角互补，所以以A，P，O，M四点共圆四点共圆(2)由由(1)得得A，P，O，M四点共圆，四点共圆，所以所以 OAM OPM.由由(1)得得OP AP.又圆心又圆心O在在 PAC的内部，可知的内部，可知 OPM APM90.所以所以 OAM APM90.应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的常见应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的常见解决方法解决方法（1）找过渡乘积式证明等积式成立；）找过渡乘积式证明等积式成立；（2）为三角形相似提供对应边成比例的条件；）为三角形相似提供对应边成比例的条件；（3）利用等积式来证明有关线段相等）利用等积式来证明有关线段相等.如图所示，已知如图所示，已知PA与与O相切，相切，A为切点，为切点，PBC为割线，弦为割线，弦D AP，AD、BC相交于相交于E点，点，F为为CE上一点，且上一点，且DE2EFEC.(1)求证：求证：P EDF；(2)求证：求证：CEEBEFEP；(3)若若，DE6，EF4，求，求PA的长的长思路点拨思路点拨(1)欲证欲证P=EDF，可先证，可先证P=C，C=EDF;(2)欲证欲证CEEB=EFEP,可先证可先证DEFPEA;(3)先求先求PB、PC的长，再利用切割线定理求的长，再利用切割线定理求PA.课堂笔记课堂笔记(1)证明：证明：DE2EFEC，.又又DEF是公共角，是公共角，DEFCED，EDF C.CD AP，C P.P EDF.(2)证明：证明：P EDF，DEF PEA，DEFPEA.即即EFEPDEEA.弦弦AD、BC相交于点相交于点E，DEEACEEB.CEEBEFEP.(3)DE2EFEC，DE6，EF4，EC9.，BE6.CEEBEFEP，964EP，解得：，解得：EP.PBPEBE，PCPEEC.由切割线定理得：由切割线定理得：PA2PBPC，PA2，PA.以解答题的形式考查与圆相关的角的问题、四点共以解答题的形式考查与圆相关的角的问题、四点共圆问题、圆的切线问题以及与圆有关的比例线段问题，圆问题、圆的切线问题以及与圆有关的比例线段问题，是高考对本节内容的常规考法是高考对本节内容的常规考法.09年辽宁高考以解答题年辽宁高考以解答题的形式考查了圆和三角形的综合问题，是一个新的考查的形式考查了圆和三角形的综合问题，是一个新的考查方向方向考题印证考题印证(2009辽宁高考辽宁高考)(10分分)已知已知 ABC中，中，ABAC，D是是 ABC外接圆劣弧外接圆劣弧上的上的点点(不与点不与点A，C重合重合)，延长，延长BD至至E.(1)求证：求证：AD的延长线平分的延长线平分 CDE；(2)若若 BAC30，ABC中中BC边上的高为边上的高为2，求，求 ABC外接圆的面积外接圆的面积【解解】(1)证明：如图，设证明：如图，设F为为AD延长线上一点延长线上一点 A、B、C、D四点共圆，四点共圆，CDF ABC.(2分分)又又ABAC，ABC ACB，又又 ADB ACB，ADB CDF.对顶角对顶角 EDF ADB，故故 EDF CDF，即即AD的延长线平分的延长线平分 CDE.(5分分)(2)设设O为外接圆圆心，连结为外接圆圆心，连结AO并延长交并延长交BC于于H，则则AH BC.连结连结OC.由题意由题意 OAC OCA15，ACB75，OCH60.(8分分)设圆半径为设圆半径为r，则，则rr2，得，得r2，故外接圆面积为故外接圆面积为4.(10分分)自主体验自主体验已知已知 ABC内接于圆内接于圆O，BT为圆为圆O的切线，的切线，P为直线为直线AB上一点，过点上一点，过点P作作BC的平行线交直线的平行线交直线BT于点于点E，交直，交直线线AC于点于点F.(1)如图如图，求证：当点，求证：当点P在线段在线段AB上时，上时，PAPBPEPF；(2)如图如图，当点，当点P在线段在线段AB的延长线上时，上述的延长线上时，上述结论是否还成立？结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由理由解：解：(1)证明：证明：BT切圆切圆O于点于点B，EBA C.EF BC，AFP C.EBA AFP.BPE FPA，PBEPFA.PAPBPEPF.(2)当当P为为AB延长线上一点时，延长线上一点时，(1)中的结论仍成立中的结论仍成立 BT切圆切圆O于点于点B，ABM ACB.ABM PBE，PBE ACB.EF BC，F ACB.PBE F.P是公共角，是公共角，PBEPFA.PAPBPEPF.