《高等数学B》第十章___微分方程与差分方程__第8节__二阶常系数线性差分方程课件

第八节第八节 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程 二阶常系数线性差分方程的一般形式为二阶常系数线性差分方程的一般形式为(1)其中其中 a,b 为常数为常数,且且 b 0,f(x)为为 x 的已知函数的已知函数.当当 f(x)0 时时,称方程称方程 为二阶常系数齐次线性差分方程为二阶常系数齐次线性差分方程.下面介绍它们的求解方法下面介绍它们的求解方法.若若 f(x)0,则称方程则称方程(1)为二阶常系数非齐次线性为二阶常系数非齐次线性 差分方程差分方程.对于二阶常系数齐次线性差分方程对于二阶常系数齐次线性差分方程(2)根据通解的结构定理，为了求出其通解，只需求出根据通解的结构定理，为了求出其通解，只需求出 它的两个线性无关的特解，然后作它们的线性组合，它的两个线性无关的特解，然后作它们的线性组合，即得通解即得通解 .显然显然,原方程原方程(2)可以改写成可以改写成(3)由此我们可以看出由此我们可以看出,可用指数函数可用指数函数 来尝试求来尝试求,看是否可以找到适当的常数看是否可以找到适当的常数 ,使使 满足方程满足方程(2).令令 ,代人方程代人方程(2),得得 一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 又因又因 ,即得即得(4)称它为齐次方程的称它为齐次方程的特征方程特征方程,特征方程的根简称为特特征方程的根简称为特 征根征根,由此可见由此可见,为齐次方程为齐次方程(2)的特解的充要的特解的充要 条件为条件为 是特征方程是特征方程(4)的根的根.和二阶常系数齐次线性微分方程一样和二阶常系数齐次线性微分方程一样,根据特征根根据特征根 的三种不同情况的三种不同情况,可分别确定出齐次方程可分别确定出齐次方程(2)的通解的通解.1.若特征方程若特征方程(4)有两个不相等的实根有两个不相等的实根 与与 ,此此 时时 与与 ;是齐次方程是齐次方程(2)的两个特解的两个特解,且线性无关且线性无关.于是齐次差分方程于是齐次差分方程(2)的通解为的通解为(为任意常数为任意常数)2.若特征方程若特征方程(4)有两个相等的实根有两个相等的实根 此时得齐次差分方程此时得齐次差分方程(2)的一个特解的一个特解 为求出另一个与为求出另一个与 线性无关的特解线性无关的特解,不妨令不妨令 (不为常数不为常数),将它代人齐次差分方程将它代人齐次差分方程(2)得得 由于由于 ,故故 将之改写为将之改写为 即即 由于由于 是特征方程是特征方程(4)的二重根的二重根,因此因此 且且 ,于是得出于是得出 显然显然 是可选取的函数中的最简单的一个是可选取的函数中的最简单的一个,于是于是 可得差分方程可得差分方程(2)的另一个解为的另一个解为 从而差分方程从而差分方程(2)的通解为的通解为(为任意常数为任意常数)3.若特征方程若特征方程(4)有一对共轭复根有一对共轭复根 这时这时,可以验证差分方程可以验证差分方程(2)有两个线性无关的解有两个线性无关的解:其中其中 ,从而从而差差 分方程分方程(2)的通解为的通解为(为任意常数为任意常数)从上面的讨论看出，求解二阶常系数齐次线性差分从上面的讨论看出，求解二阶常系数齐次线性差分 方程的步骤和求解二阶常系数齐次线性方程的步骤和求解二阶常系数齐次线性微分方程微分方程的步的步 骤完全类似，我们将它总结如下骤完全类似，我们将它总结如下:第一步第一步 写出差分方程写出差分方程(2)的特征方程的特征方程(4)第二步第二步 求特征方程求特征方程(4)的二个根的二个根 第三步第三步 根据特征方程根据特征方程(4)的两个根的不同情形，写的两个根的不同情形，写 出差分方程出差分方程(2)的通解的通解.(可见教材可见教材 的表的表)例例1 1 求差分方程求差分方程 的通解的通解 .解解 特征方程特征方程 有两个不相等的实根有两个不相等的实根 从而原方程的通从而原方程的通 解为解为(为任意常数为任意常数)例例2 2 求差分方程求差分方程 的通解的通解 .解解 原方程可改写成如下形式原方程可改写成如下形式 它有两个相等的实根它有两个相等的实根 所以原方程的通解所以原方程的通解 为为(为任意常数为任意常数)其特征方程为其特征方程为 例例3 3 求差分方程求差分方程 的满足初始条的满足初始条 件件 的特解的特解.解解 特征方程为特征方程为先求所给二阶常系数齐次线性差分方程的通解，先求所给二阶常系数齐次线性差分方程的通解，特征方程的根为特征方程的根为 于是于是 故原方程的通解为故原方程的通解为(为任意常数为任意常数)由初始条件由初始条件 得得 故所求特解为故所求特解为 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 对于二阶常系数非齐次线性差分方程对于二阶常系数非齐次线性差分方程(1)根据通解的结构定理根据通解的结构定理,求差分方程求差分方程(1)的通解的通解,归结为归结为 求对应的齐次方程求对应的齐次方程 的通解和非齐次方程的通解和非齐次方程(1)本身的一个特解本身的一个特解.由于二阶常由于二阶常 系数齐次线性差分方程通解的求法前面已得到解决系数齐次线性差分方程通解的求法前面已得到解决,所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性差分方程所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性差分方程 的一个特解的一个特解 的方法的方法.在实际经济应用中在实际经济应用中,方程方程(1)的右端的右端 f(x)的常见类型的常见类型 是是 (为常数为常数,0 且且 1)两种类型两种类型.(表示表示 n 次多项式次多项式)及及 下面我们介绍用待定系数法求下面我们介绍用待定系数法求 f(x)为上述两种情形为上述两种情形 时时 的求法的求法.此时此时,方程方程(1)为为 可改写为可改写为 设设 是它的解是它的解,代人上式代人上式,即得即得 由于由于 是一个已知的多项式是一个已知的多项式,因此因此 应该也是一个应该也是一个 多项式多项式.由于齐次方程由于齐次方程(2)的特征方程为的特征方程为 因此因此 (1)若若 1 不是特征方程的根不是特征方程的根,即即 1+a+b 0,那么说那么说 明明 应是一个应是一个 n 次多项式次多项式,于是令于是令 把它代入方程把它代入方程,比较两边同次幂的系数比较两边同次幂的系数,便可求出便可求出 从而求得从而求得 (2)若若 1 是特征方程的单根是特征方程的单根,即即 1+a+b 0,且且 2+a 0,那么那么 是一个是一个 n 次多项式次多项式,即说明即说明 应是一个应是一个 n+1 次多项式次多项式,于是令于是令 将之代人方程将之代人方程,比较两边同次幂的系数比较两边同次幂的系数,便可确定出便可确定出 从而求得从而求得 (3)如果如果 1 是特征方程的二重根是特征方程的二重根,即有即有 1+a+b=0,且且 2+a=0,那么那么 应是一个应是一个 n 次多项式次多项式,即说明即说明 应是一个应是一个 n+2 次多项式次多项式,于是令于是令 把它代人方程把它代人方程,比较两边同次幂的系数比较两边同次幂的系数,便可确定便可确定 从而可求得从而可求得 综上所述综上所述,可得如下结论可得如下结论 :如果如果 ,则二阶常系数非齐次线性差分方则二阶常系数非齐次线性差分方 程程(1)具有形如具有形如 的特解的特解,其中其中 是与是与 同次同次(n 次次)的待定多项式的待定多项式,而而 k 的取值如下确定的取值如下确定:(1)若若 1 不是特征方程的根不是特征方程的根,是是 k=0;(2)若若 1 是特征方程的单根是特征方程的单根,是是 k=1;(3)若若 1 是特征方程的二重根是特征方程的二重根,是是 k=2.例例4 4 求差分方程求差分方程 的通解的通解.解解 (1)先求对应的齐次方程先求对应的齐次方程 的通解的通解 特征方程为特征方程为 特征方程的根为特征方程的根为 于是于是 (2)再求原方程的一个特解再求原方程的一个特解 由于由于 1 不是特征方程的根不是特征方程的根,于是令于是令 代人原方程得代人原方程得 解得解得 于是于是 (3)原方程的通解为原方程的通解为(为任意常数为任意常数)例例6 6 求差分方程求差分方程 的一个特解的一个特解.解解 所给差分方程对应的齐次方程的特征方程为所给差分方程对应的齐次方程的特征方程为 由于由于 1 是特征方程的二重根是特征方程的二重根,于是令特解为于是令特解为 代人原方程得代人原方程得 解出解出 a=4.于是于是(为常数且为常数且 0,1)此时此时,方程方程(1)成为成为 引入变换引入变换,令令 则原方程化为则原方程化为 即即 这是右端为一个这是右端为一个 n 次多项式的情况次多项式的情况.按前面所讨论的方法按前面所讨论的方法,即可求出即可求出 从而从而 例例6 6 求差分方程求差分方程 的通解的通解.解解 (1)先求对应的齐次方程先求对应的齐次方程 的通解的通解 其特征方程为其特征方程为 特征方程的根特征方程的根 为为 故故 (2)再求原方程的一个特解再求原方程的一个特解 由于由于 故令故令 代人原方程得代人原方程得 下面先求这个方程的一个特解下面先求这个方程的一个特解 由于该方程所对应的齐次方程的特征方程为由于该方程所对应的齐次方程的特征方程为 其根为其根为 因为因为 1 是特征方程的单根是特征方程的单根,于于 是令是令 将它代人方程将它代人方程 并比较同次幂并比较同次幂 的系数的系数,得得 于是于是 因此因此 (3)原方程的通解为原方程的通解为(为任意常数为任意常数)