高考数学复习点拨 数学思想方法在集合中的应用
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1、数学思想方法在集合中的应用集合中蕴含着丰富的数学思想方法,在解有关集合问题时若能充分运用这些数学思想方法,常可使许多问题获得简洁、巧妙的解决下面将集合中常见的数学思想方法举例说明,以供参考一、数形结合的思想方法数形结合思想,是将抽象的数学语言与直观、具体的图形结合起来,通过“数”与形的相互转化,达到化难为易,化繁为简的目的集合中常用的手段是数轴法和韦恩图法例设集合,若,求实数的取值范围解:由得,故当,时,成立;-2-52-t2t+1当时,由图中数轴所示,可得,解之得综上所述可知所求实数的取值范围为评注:应用数轴解答有关集合问题时,应先画出数轴,然后依据题目的条件将集合准确地在数轴上表示出来,再
2、借助数轴的直观性,从而使抽象的集合问题的解答过程简捷、巧妙、形象、直观例 已知集合A、B、C为非空集合,M=AC ,N=BC, P=MN,则()一定有,一定有,图一定有,一定有, 解:如图,则必有,即,选 评注:对于涉及的集合个数、信息较多或对于未给元素的抽象集合,研究其关系或运算时,常可考虑用韦恩图求解二、分类讨论思想分类讨论的思想是一种重要的思想方法,也是一种基本的解题策略就是化整为零,各个击破的解题手段,使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决例设集合,若,求实数的取值范围解:由,得在集合中,(1)当时,则,满足;(2)当时,若,则,这与矛盾若,则,为使,只要即可,解得综上所述,实数的取值
3、范围是评注:分类讨论是解决集合问题的常用方法但在分类时,必须要统一标准,简明扼要,做到不重不漏三、方程思想方程思想是中学数学最基本、最重要的数学思想就是从分析问题的数量关系入手,把变量之间的关系用方程的关系来反映,然后通过解方程或对方程进行讨论的方法,使问题得到解决例已知全集,集合,且,求解:由得mnp .又、,且、互异,故、中不能有,只能分别为、(顺序不定),显然、也是的解,即评注:本题利用两个集合(有限集)的性质解集合相等的问题,其实质就是用方程的思想和方法,即从A=B中找出两个独立的等量关系,要注意排除与集合元素互异性或题设相矛盾的情况四、划归与转化思想在处理数学问题时,通过某种变换或划归把复杂问题简单化,把陌生问题转化为熟悉问题,从而使得原问题得到解决例已知(,),(,),(,),求解:集合(,)是平面上所有点的集合;集合是直线上的点的集合;集合是直线上的点的集合,但要除去点(,);而表示点(,)以及平面上除了直线上的所有点以外的所有点,所以对应的元素为(,),即(,)评注:数学语言通常包括文字语言、符号语言、和图形语言等,在处理集合问题时,我们经常需要将这几种语言进行转化,但在相互转化的过程中要注意转化的等价性
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