高等数学微积分第六章第1节

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1、第 一 节 多 元 函 数 和 向 量 函 数 的极 限 与 连 续 n维 向 量 空 间 的 区 域 多 元 函 数 和 向 量 函 数 多 元 函 数 和 向 量 函 数 的 极 限 多 元 函 数 和 向 量 函 数 的 连 续 维 向 量 空 间 的 区 域一 、 n 的 度 量nR)1( R n 记 为 实 数 全 体 所 成 的 集 合 。 对 于 个 实 数 有 序 组的 全 体 1 2( , , , ) , 1,2, ,n n jR x x x x x R j n ，如 下 ：可 规 定 加 法 及 数 的 乘 法1 2 1 21 1 2 21 2( , , , ) , ( ,

2、 , , )( , , , )( , , , ) n nn nn nnnx x x x R y y y y R Rx y x y x y x yx x x xR 设 ，定 义 ；则 构 成 一 个 线 性 向 量 空 间 。 1, n j jjx y x y 又 若 规 定 它 的 内 积 为则 它 构 成 一 个 内 积 空 间 。 这 时 2 2 21 2, nx x x x x x x 称 为 的 长 度 或 度 量 ，21( )n nj jjx y x y R x y 称 为 中 的 点 与 的 距 离 。2( ) nR 的 邻 域 1 2 2 21 2 1 12( , , , ) ,

3、( , )( , , , ) ( ) , , , , ,n nn nnn j j jja a a a R R a rB a r x R x a rx x x x a r x R j n 设 中 到 的 距 离 等 于 的 点 的 全体 所 成 的 集 合 ( , )a r B a r a r 称 为 以 为 中 心 ， 半 径 为 的 球 ， 又 称 为 的 邻 域 。2 2 2 2 1 1 2 2 3 33( ) ( ) ( )nx a x a x a r 当 时 ， 它 就 是 通 常 三 维 空 间 中 由 不 等 式所 确 定 的 球 2 2 21 1 2 221( ) ( ) ( ,

4、 )n a rx a x a rn a r a r a r 当 时 ， 它 就 是 二 维 平 面 以 为 中 心 ， 为 半 径 的 圆 盘当 时 ， 它 就 是 以 为 中 心 ， 为 半 径 的 区 间的 开 集 和 闭 集nR)3( , ( , ), ( , )( , )n nA R a R a B aA a A B a AB a A a A a AA a A 设 是 的 子 集 ， 若 存 在 以 为 心 的 球则 称 是 的 内 点 ； 若 存 在 使 得 它 与 没 有 交 点 ，即 ， 则 称 是 的 外 点 ， 若 既 非 的 内 点 ，又 非 的 外 点 ， 则 称 是 的

5、 边 界 点 。aA内 点)a( Aa 外 点)b( A a边 界 点)c( ,A A IntA AA OutA AA A集 的 内 点 全 体 称 为 的 内 部 ， 记 作 。 集 的 外点 全 体 称 为 的 外 部 ， 记 作 集 的 边 界 点 全 体 称为 的 边 界 ， 记 作 。 0, ( , A A A A B a Aa A a a AA A A A 称 为 的 闭 包 。 若 ） ，则 称 是 的 聚 点 。 这 时 的 任 意 邻 域 都 含 有 的 无 数 个点 ， 的 聚 点 可 能 是 的 点 也 可 能 不 是 的 点 ， 但 是 的边 界 点 。 2 2 1 0

6、11( , ) , , A x y x y y 例 1 ， 它 是 上半 单 位 圆 ， 包 括 直 径 26图 01),(1),( 0,1),( 2222 22 yyxyxyxyxOutA yyxyxIntA 且 2 2 21 2 2 22 2 2 23 22 24 01 1111 2 6-3( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )c cA A A AA AA B x y x y RA x y x y RA x y x y A RA x y x y 若 集 合 的 每 一 点 均 是 的 内 点 ， 则 称 为 开 集 ， 若的 余 集 是 开 集 ， 则 说 是

7、闭 集 。例 2 是 的 开 集 单 位 圆 外 部 的 开 集是 的 闭 集 闭 单 位 圆既 非 开 集 ， 也 非 闭 集 。 图 11,0),(01),( 22 xyyxyyxyxA 且 图 6-3 有 界 集 和 无 界 集)4( , 0, . ., , .n x Ay AR A Rx A x R A AA A AdiamA diamA Max x y 若 中 的 集 包 含 于 某 个 球 内 部 或 者 说 存 在 使 得当 时 便 有 则 称 是 有 界 集 否 则 称 是 无 界 集设 是 有 界 集 中 任 意 两 点 距 离 的 最 大 值 称 为 的 直 径记 为 即曲

8、 线 与 曲 线 段)5( 3 12( ), ( ), ( ), , , ,( ) ( , , , ), . ( ) , n j j jR x x t y y t z z ttR x x t j n tx t t 在 曲 线 方 程 可 借 助 参 数 方 程 来 表 示 若 则 可 得 到 一 段 曲 线 曲 线 段 类 似 地对 于 用 来 描 述 曲 线 段 有 时 也 简 称 曲 线 若 均 是 在 的 连 , 续 函 数 则 说 曲 线 段 是 连 续 的 。 3 1 1 1 12 2 2 2 1 21 1 12 1 2 1 2 11 2 1 2 1 21 1 10 1 ( , ,

9、)( , , ) ,( ) , ( ) , ( )( ) R P x y zP x y z PPx x y y z z tx x y y z zx t x tx y t y ty z t z tzt 由 空 间 解 析 几 何 知 道 ， 在 中 ， 连 接 和两 点 的 直 线 段 可 表 示 为 则 得 到 参 数 方 程 1 2 1 11 1 11, , , , , nn i i i in i i i ii nP P P R PP P PPP PPR 设 是 的 点 是 为 始 点 为 终 点 的线 段 则 是 由 这 有 限 条 线 段 首 尾 依 次 相 接而 成 称 为 中 的 一

10、 条 折 线 。 , , ,( ) , ,( ) nn nA R x y A Ax y AA R R 设 是 的 子 集 若 恒 存 在 中 一 条 折 线或 连 续 曲 线 连 接 与 则 称 是 一 道 路 连 通 集 这 时也 称 在 是 连 通 的 。 中 的 连 通 开 集 称 为 区 域开 区 域 。 区 域 连 同 边 界 称 为 闭 区 域 ， 换 句 话 说 闭区 域 是 区 域 的 闭 包 。区 域 与 闭 区 域)6( 2 21 22 2 2 2 2 33 2 24 52 0 1 410 1 4( , ) , ( , )( , , ) ,( , ) , ( , ).A x

11、 y x y A x y x yRA x y z x y z x y RA x y x y A x y x yR 例 3都 是 的 开 区 域 , 是 的 开 区 域 均 是 的 闭 区 域22 , , ,RR DC D DD D平 面 中 的 不 自 交 的 连 续 曲 线 称 为 简 单 曲 线 若 在中 的 区 域 是 没 有 洞 的 即 它 的 任 一 条 简 单 闭 曲 线可 以 在 内 连 续 地 收 缩 成 一 点 则 说 是 单 连 通 域若 区 域 是 有 洞 的 则 说 是 多 连 通 域 。 2 21 26 4 A R A R如 图 中 是 的 单 连 通 域 ， 是 的

12、 多 连 通 域 。图 6-41 2 22 2 2 2 235 =( ) | 0, 1 4 1 ( , ) | ,( , , ) | D x y x yD x y x yD x y z x y z x y 例 ，是 否 是 区 域 ？ 2 2 2 2 =( ) | ( 1 + 1 ( 1 + 1 ) )D x y x y x y 例 6 ， 或是 否 是 区 域 ？ 2 2 =( ) | 0 + 1 D x y x y例 4 ，是 否 是 单 连 通 区 域 ？ 多 元 函 数 的 概 念01 1 21 : ,( ) ( , , , ), : , , ,( ) ( ), ,n nnD R nu

13、 f x f x x x x D RD R f D R xu Df D y y f x x D 定 义 设 是 的 非 空 子 集 元 函 数是 从 到 实 数 集 合 的 一 个 映 射 其 中 称 为自 变 量 称 为 因 变 量 称 为 函 数 的 定 义 域 映 射 的 像 集称 为 函 数 的 值 域 例 如多 元 函 数 和 向 量 函 数二 、 . 1,1 1, ),(,2 ),1(),1ln( )1(,1 22 2222 2222 2222122221等 均 是 多 元 函 数 yx yxyxz Ryxxyzyxu yxyxz xxxxxxu nn 2 2 22 2 21 1,

14、 ,ln( )u x y zx y z 与 一 元 函 数 相 似 当 我 们 用 某 个 算 式 表 示 多 元 函 数 时凡 是 使 算 式 有 意 义 的 自 变 量 组 成 的 点 的 集 合 称 为 这 个 多元 函 数 的 自 然 定 义 集 或 自 然 定 义 域 。 例 如 的 自 然 定 义 域 是 2 2 22 23 ( , , ) ,( , ), .x y z z x y x y Rz x yR 是 函 数 的 图 像 在 几 何 上 它是 中 的 一 张 旋 转 抛 物 面 2 22 2 2( , ) .x y xu f x y x x y 例 7 求 的 自 然 定

15、义 域 1 2 1 2 1 21 22 2 2 22 2 2 231 1 1 1( , , , ( , , ),( , , )( ) ( , , ) ,( )( , , ) , ,n n nnx x x u u f x x x x x x Du f x f x x xz x y x yx y z z x y x yR 称 集 合为 多 元 函 数 的 图 像 如的 图 像 是它 表 示 空 间 的 上 半 单 位 球 面 又 如 图 6-5 .1)1(,41)21(),( ,1)1( 41)21( ,02 0 222222 22 2222 yxyxyx yx yx yxx xyx且故 所 求

16、的 自 然 定 义 域 是 即函 数 自 然 定 义 域 是解 3 ( , ),( , )( , , ) ( , ),( , ) .z f x y x y Dx y z z f x y x y D R 一 般 地 ， 函 数 的 图 像是 中 的 一 曲 面 图 6-62 2 ( , ) , ( , ) .yf x y x y f x yx 例 8 若 求 的 表 达 式 , , ,1 1y u uvu x y v x yx v v 解 令 , 则 22 2 (1 )1 , ( , ) ( ) ( )1 1 11 , 1, 0,( , ) ( )( ), (0, 1) 0,u uv u vv

17、f u v v v vyv u x yxyf x y x y x y fx 当 时当 时 即 因 为所 以 故 1,0,0 1,1 )1(),( 2 vu vvvuvuf 1,0,0 1,1 )1(),( 2 yx yyyxyxf 向 量 函 数02 ,( ( ), ( ), ( ) , ( ) ,( ) ( ) ( ) ( )( ) x Mx t y t z t r t OMr t x t i y t j z t kr t t 设 质 点 在 空 间 中 运 动 时 刻 的 位 置 可 以 用 坐 标表 示 也 可 用 向 量 表 示 即称 向 量 是 的 一 个 向 量 函 数 。 ,(

18、),cos , sin , ,M Za z vz v Mx a t y a t z vt 例 9 当 空 间 中 的 一 质 点 沿 着 以 轴 为 中 心 底 面 半 径为 的 圆 柱 面 以 角 速 度 绕 轴 旋 转 同 时 又 以 速 度 沿 平行 于 轴 的 方 向 上 升 其 中 和 都 是 常 数 则 点 的 运动 轨 迹 是 一 条 螺 旋 线 它 的 参 数 方 程 是 图 6-7kvtjtaitatr sincos)(用 向 量 函 数 表 示 成 ).( ,)(, )(,)( 向 量 又 称 矢 量矢 端 曲 线 所 以 又 叫 的终 端 运 动 的 轨 迹它 是 向 量

19、空 间 曲 线 在 几 何 上 表 示向 量 函 数由 此 可 见显 然 trr trrOMtr 33 ( ), ,( ), ( ), ( ), ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ).x y zx y zD A A t RAA t A t A t A tA t A t i A t j A t k t DD R 给 定 一 个 定 义 在 集 合 的 向 量 函 数 它 在 的直 角 坐 标 系 中 有 三 个 坐 标 即 在 三 个 坐 标 轴 的 投 影 分别 为 则 向 量 函 数 的 坐 标 表 示 式 为它 是 到 的 一 个 映 射1 22 12( , , , )( , ,

20、, ), nj nA x x x j m RD m n 一 般 地 ， 有定 义 设 是 定 义 在 的 子集 上 的 个 元 函 数 1 2(1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1),. mme e eR 是 的 标 准 正 交 基 底 1 2 1 1 2 12 1 2 2 1 21 1 2 2 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )( , , , ) ( , , , )( , , , ), ( , , , ), , ( , , , ),.n nn m n mn n m nn mA x x x A x x x eA x x x e A x x x eA

21、x x x A x x x A x x xn R D m RD 是 维 向 量 空 间 的 点 集 到 维 向 量 空 间 的 映 射 称 为定 义 在 的 向 量 函 数 极 限多 元 函 数 和 向 量 函 数 的三 、多 元 函 数 的 极 限01 记 作时 的 极 限当是则 称 时使 得 当且外 有 定 义可 能 除 的 某 邻 域在设 多 元 函 数定 义 ,)(,)( 0,0,0, ),()(:3 0 00 021xxxfAAxf xxx xxxxfxfu n Axfxx )(lim0, , , .不 难 证 明 一 元 函 数 极 限 的 四 则 运 算 夹 逼 定 理 有 界

22、量 与无 穷 小 量 的 乘 积 为 无 穷 小 量 等 命 题 对 多 元 函 数 仍 然 成 立0 00 0 2 0 0 0 0( , ) ( , )0 0( , ) ( , ), ( , ) ( , ) , ( , ) ( , )( , ) , lim ( , ) , ,( , ) ( , ) , ( , ), lim ( , ) .x y x yx y x yx y R x yx y x yf x y A f x y Ax y x y f x yf x y 应 当 指 出 当 在 平 面 趋 近 于 时 它 的 趋 近 道路 是 无 穷 多 的 只 有 当 沿 任 何 路 径 趋 近

23、于 时都 以 为 极 限 才 有 换 句 话 说如 果 当 沿 不 同 路 径 趋 近 于 时 的 极 限 值不 同 则 不 存 在22 2 0 0 1 0( , ) ( , )( ) ( , ) , lim ( , )x yx yf x y f x yx y 例 10 设 证 明 22)0,0(),( )1ln(lim)2( yx xyxyx 求 )(211)1( 22 yxxy 解 法 ,21),(0 22 xyx xyxyxf .0),(lim )0,0(),( yxfyx由 夹 逼 性 质 得 2 2 22 22 0 1 ( 0) 0 x x y yx yy 解 法 ， 当 时 ，是

24、无 穷 小 量 。 .0)(lim),(lim 22 2)0,0(),()0,0(),( yyx xyxf yxyx即 22 2 0 ( 0),x y yx y ,cossin),( 222 2 yx yxyxf 22 00 0 1( , ) ( , ) , sin cossin cosx y 因 又 ， 故 当 0时 ，是 无 穷 小 量 ， 所 以 .0cossinlim),(lim 20)0,0(),( yxfyx 有由是 等 价 无 穷 小与解 )1(,)1ln()2( xyxy 2 2 2 20 0 0 01 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )ln( ) ( )lim

25、lim .x y x yx xy x xyx y x y 向 量 函 数 的 极 限02 1 2, ( , , , ) ,n nD R x x x x D 设 是 的 子 集 这 时令解 法 ,sin,cos3 yx 00 0 0 01 2 1 21 21 2 12 ( ) ( ), ( ), , ( ) ( ), ( ) ( , , , ), lim ( ) ( , , , ) ,lim ( ) lim ( ),lim ( ), ,lim ( ), , , mm j j nj jx x nx x x x x x x xnA x A x A x A x x DD R A x A x x x D

26、n A x j mA x A x A x A x 是 到 的 映 射 其 中 是 定 义 在 上的 元 函 数 假 定 存 在 则 定 义连 续多 元 函 数 和 向 量 函 数 的四 、 01 2 001 02 0 004 ( ) ( , , , )( , , , ) , lim ( ) ( ),( ) nn x xn u f x f x x x xx x x f x f xn u f x x 定 义 设 元 函 数 在 点的 某 邻 域 有 定 义 若 则称 元 函 数 在 点 处 连 续 。 2 1 23 ( ), ( ) ( ) ;( ) ( );( ) ( ). nu f x R D

27、f x D f x Df x D 定 理 设 多 元 函 数 在 的 有 界 闭 区 域 上 连续 则 在 有 界 在 可 取 到 最 大 值 与 最 小值 在 上 必 可 取 到 介 于 最 大 值 与 最 小 值 之 间 的任 何 值 2 22 2 2 2 0 0 00 0 ,( , ) , ( , ),( , ) . xy x yx yf x y f x yx y 例 11 设 试 证在 处 不 连 续1 ( ).定 理 多 元 连 续 函 数 的 和 、 差 、 积 、 商 分 母 不 为 零 处仍 然 连 续 ， 多 元 连 续 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 ，

28、 一切 初 等 多 元 函 数 在 其 定 义 区 域 内 连 续 0 0 00 0,( , ) , ( , ) ( , ),. xy x yx yf x y f x yx y 例 12 设 试 证 在处 不 连 续 kkx kxxyxf kkxxyyx xyx 1lim),(lim ),0)(0,0(),(: 2 320)0,0(),( 2 则趋 近 于沿 路 径令证 明 0 0 0 00 0 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) , lim ( , ) , ( , )( , ) . x yk x y f x y f x y当 取 不 同 值 时 点 趋 近 于 所 取 路 径

29、不 同 上 述极 限 值 也 不 同 因 此 不 存 在 从 而在 处 不 连 续 0 0 0 0 01 010 0( , ) ( , ) , ( , ) ( , )( )( ), lim ( , ) lim ,( )( , ) ( , ) ( , ) .x y xx y y kxx kxk f x y k xx y f x y 注 记 在 例 12中 若 让 沿 路 径 趋 近 于则 但 不 能断 定 当 时 的 极 限 存 在 .于 连 续 的 概 念向 量 函 数 也 有 类 似 的 关00 005 11( ) ,lim ( ) ( ) ( . )( ) . nn x xA A x R

30、Dx R A x A xA x x 定 义 设 是 定 义 在 的 集 合 上 的 向 量 函 数它 在 的 某 邻 域 内 有 定 义 若则 称 向 量 函 数 在 处 连 续 可 推 出和由 向 量 函 数 极 限 的 定 义 )1.1( 1 2 001 02 0 1 2 03 ( ) ( ), ( ), , ( )( , , , )( ), ( ), , ( ) .mnn mA x A x A x A x xx x x R mm n A x A x A x x 定 理 向 量 函 数 在 点处 连 续 的 充 要 条 件 是 它 的 个 分 量即 个 元 函 数 同 时 在 点 处 连

31、续.21, 3 等和 定 理如 定 理本 性 质 类 似 于 多 元 函 数 的 基容 易 推 出 向 量 函 数 也 有由 定 理 连 续线 性 度 量 空 间 的 极 限 与五 、* 线 性 度 量 空 间01 6 1 0 2 0 34 , , ,( , ) , :( ) ( , ) ;( ) ( , ) ;( ) ( , ) ( , );( ) , , , ( , ) ( , ) ( , ) ( )X x X y Xx yx y x y x y x y y xx y z X x z x y y z 定 义 设 是 一 线 性 度 量 空 间 若 有 一 个 非 负 实数 与 之 对 应

32、且 满 足 四 个 条 件 三 角 不 等 式 ).( )(,(,),( 或 距 离 空 间是 一 个 度 量 空 间 简 称称的 一 个 度 量 或 距 离是 空 间则 称 XXXyx 1 2 1 2211 1 2 3 4, ( , , , ) , ( , , , ), ( , ) ( ) , ( , ), ), ), ), ,. n nn nnn j jjn nX R x x x x R y y y yR x y x y x y x yR R 例 设定 义 则 满 足 定义 中 的 条 件 它 是 的 一 个 度 量 这 样 就 是 一 度量 空 间 的 一 个 度 量它 是它 满 足 义

33、 中 的 条 件定 义 是 复 数 全 体 所 成 集 合设例 nRyyxxzzzzC iyxzCiyxzC ),4),3),2),1,)()(),(, ,:2 22122121212 22111 1 1 1 22 22 2 1 2 1 2 1 2 1 21 22 1 2 3 4 , , ( , ) ( ) ( ) ,), ), ), ), ( , ), .C z x iy C zx iy C z z z z x x y yz z CC 例 设 是 复 数 全 体 所 成 的 集 合定 义它 满 足 定 义 中 的 条 件 所 以 是 复 平 面 的 一个 度 量 这 时 就 是 一 度 量

34、空 间 3 1 0 2 034 , ( ): ( ) , , , , ( , ) ( ) ( ) (*) ( , ) ; ) ( , ) ( ) ( );) ( , ) ( , );) ( ), ( ) ( ) , ,( , ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( bab ba aC a b f x f x a b f C a bg C a b f g f x g x dxf g f g f x g xf g g ff x g x h x C a bf h f x h x dx f x g x dxg x h x 例 设 在 连 续 及定 义则 设 和 是 中 任 意 三 个 元 素)

35、( , ) ( , )ba dx f g g h .,(*) 是 一 度 量 空 间这 时中 的 一 个 度 量是因 此 baCbaC 连 续线 性 度 量 空 间 的 极 限 与02 的 一 个或到是换 句 话 说一 个 实 值 或 复 值 函 数 上 的的 子 集是 定 义 在 度 量 空 间设定 义 CRExfy EXxfy )(, ),()(:7 00 000 00 0, ( ) ,( , ) ( ), lim ( ) .x xf x x xx x f x Ax x A f x A 映 射 在 的 某 邻 域 可 能 除 外 有 定 义 ， 若， 使 得 当 时 有 ， 则 说当 趋

36、近 于 时 的 极 限 是 记 作 00 00 00 08 0 00 ( , ) ( , ) , , : ( , )( , ) , , , ,( , ) ( ( ), ), lim ( ) ,lim ( ) ( ), ( ) .x y xy xyx y x xx x X YX Y f X Y XY A Y x Xx x f x Ax x A f x Af x f x f x x 定 义 设 和 是 两 个 线 性 度 量 空 间 表 示 空间 的 度 量 表 示 空 间 的 度 量 是 从 到的 一 映 射 若 使 得 当时则 说 当 趋 近 于 时 的 极 限 是 记 作 若则 说 在 连

37、续 时使 得 当即 是 说连 续在 例 如 向 量 函 数 00 21 ,0,0, )(,),(),()( xxxx xAxAxAxA m 0( ) ( ) (1.2)A x A x 20 01( ) ( ) ( ) ( )m j jjA x A x A x A x 这 与 前 面 的 定 义 是 一 致 的 ,因 为0 0 0012 12( . ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ,lim ( ) ( ) ( , , , )j jj jx x A x A x A x A xA x A x j m 若 成 立 则 即0 00 00 00 11 110 0 ( ) ( . ) ( ) ( . ), lim ( ) ( )( ) ( ) ,( ) ( ) j jx x j jA x x A xx A x A xx x A x A x mA x A x 换 句 话 说 按 定 义 在 连 续 。 反 之 ， 若 按定 义 在 连 续 即 ， 则 ， ，使 得 当 时 ， 这 时， 012( . ) ( )A x x故 按 的 定 义 在 连 续 。