电路分析基础难点一阶动态电路分析

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1、1 第三 一阶动态电路分析v 3.1 电容元件和电感元件v3.2 换路定律及初始值的确定v 3.3 零 输 入 响 应v 3.4 零 状 态 响 应v 3.5 全 响 应 v 3.6 求解一阶电路三要素法返回 2 学 习 目 标 理解动态元件L、C的特性，并能熟练应用于 电路分析。 深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响 应、稳态响应的含义，并掌握它们的分析计算 方法 。 弄懂动态电路方程的建立及解法。 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素分析法。 3 3.1 电容元件和电感元件3.1.1 电容元件 电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电容器的理想化模型。斜率为R 0q u图3-

2、1 电容的符号、线性非时变电容的特性曲线当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷q与u关系为：q(t)=Cu(t)C是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。当u、i为关联方向时,据电流强度定义有： i=C dq/dt非关联时： i= -C dq/dt +-uC i+q-q 4电容的伏安还可写成：diCdiCtu t )(1)(1)( 00 t diCu 0 )(1)0( 式中，u(0)是在 t=0 时刻电容已积累的电压，称为初始电压；而后一项是在 t=0 以后电容上形成的电压，它体现了在0t的时间内电流对电压的贡献。 由此可知：在某一时刻 t，电容电压u不仅与该时刻的电流 i有关，而且与t以前电流

3、的全部历史状况有关。因此，我们说电容是一种记忆元 件，有“记忆”电流的作用。 5 当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为：dttdutCutitutp )()()()()( 瞬时功率可正可负，当 p(t)0时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) 0时，表示电感从电路吸收功率，储存磁场能量；当 p(t) 0时，表示供出能量，释放磁场能量。 对上式从到 t 进行积分，即得t 时刻电感上的储能为： )()(21 )()()()( 22 )( )( itiL diLidptw t tiiL 10因为0)( Lw所以)(21)( 2 tLitwL 由上式可知：电感在某一时刻 t

4、 的储能仅取决于此时刻的电流值，而与电压无关，只要有电流存在，就有储能，且储能0。 113.2 换路定律及初始值的确定 3.2.1 换路定律 通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。 该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则uC 、 iL不能跃变，即换路前后一瞬间的uC 、iL是相等的，可表达为： u C(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-)必须注意：只有uC 、 iL受换路定律的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生

5、跃变。 123.2.2 初 始 值 的确 定 换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用 uC(0+)和 iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路确定uC(0-)和iL(0- )，再由换路定律得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。 电路中其他变量如 iR、uR、uL、iC 的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具体求法是： 画出t=0 +电路，在该电路中若uC (0+)= uC (0-)=US，电容用一个电压源US代替，若uC (0+)= 0则电容用短路线代替。若iL(0+)= iL(0-)=IS，电感一个电流源IS 代替，若iL(0+)= 0则电感作开

6、路处理。下面举例说明初始值的求法。 13例1：在图3-3(a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭合 前电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+) 和uL(0+)。 图 3-3 例 1 图 14解(1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳定状态下t=0- 电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳态电路中，uC不再变化，duC/dt=0，故iC=0，即电容C相当于开路。同理 iL也不再变化，diL/dt=0，故uL=0，即电感L相当于短路。所以t=0- 时刻的等效电路如

7、图3-3(b)）所示，由该图可知： Ai VuLc 22310)0( 423210)0( （2）由换路定理得 Aii Vuu LL cc 2)0()0( 4)0()0( 15因此，在t=0+ 瞬间，电容元件相当于一个4V的电压源，电感元件相当于一个2A的电流源。据此画出t=0+ 时刻的等效电路，如图3-3 (C) 所示。（3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析 方法，可求出电路中其他电流、电压的初始 值，即 Ai Ai 144)0( 224)0(21 iC(0+)=2-2-1=-1AuL(0+)=10-32-4=0 16 例2: 电路如图3-4 (a)所示，开关S闭合前电路无储能，开

8、关S在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初始值。 图 3-4 例 2 图解（1）由题意知： 0)0()0( 0)0(3 LC iiu（2）由换路定理得 0)0()0( 0)0()0( LL CC ii uu 17因此，在t=0+ 电路中，电容应该用短路线代替，电感以开路代之。得到 t=0+ 电路，如图3-4 (b)所示。（3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得 通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步骤如下：(1) 根据t=0 - 时的等效电路，求出uC(0-) 及iL(0-)。(2) 作出t=0+ 时的等效电路，并在图上标出各待 求量。(3) 由t=0

9、+ 等效电路，求出各待求量的初始值。3.020109)0()0( 21 ii i3(0+)=0 uL(0+)=20i2(0+)=200.3=6V 18 当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应. 图3- 5 RC电路的零输入1 i+-UCIS R0 R2C(a) uR+-+-uCC i(b) 3.3 零 输 入 响 应 图3-5 (a) 所示的电路中，在t0后，电路中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生，故属于零输入响应。 3.3.1 RC电路的零输入响应 19-uR+uc=0而uR=i R, dtduCi C，代入上式可得 0 CC udt

10、duRC上式是一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 u c=Aept t0式式中A为待定的积分常数，可由初始条件确定。p为式对应的特征方程的根。将式代入式可得特征方程为RCP+1=0式 换路后由图（b）可知，根据KVL有 20从而解出特征根为 RCp 1则通解 RCtAeuC 式将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为 SC IRAu 0)0( 将 代入式，得到满足初始值的微分方程的通解为 )0( cu RCtSRCtCC eIReuu 0)0(式放电电流为 RCtRCtSC eieRIRdtduCi )0(0 t0 t0 式 21令=RC，它具有时间的量纲，即 秒秒库仑库仑

11、伏特库仑安培伏特 /.RC故称为时间常数, 这样、两式可分别写为 tCC euu )0( t0 teii )0( t0RCp 1由于为负，故uc和 i 均按指数规律衰减，它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及 RIRi S0)0( 当t时，uc和 i 衰减到零。 22 图3-6 RC 电路零输入响应 电压电流波形图 画出uc及i的波形如图3-所示。 233.3.2 RL电路的零输入响应 一阶RL电路如图3-7(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以在t0时，电感L储

12、存的磁能将通过电阻R放电，在电路中产生电流和电压，如图3-7 (b)所示。由于t0后，放电回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所以为零输入响应。 图3-7 RL电路的零输入响应 24由图 (b)，根据KVL有 uL+uR=0 LRLL RiudtdiLu 及将代入上式得 0 LL RidtdiL 1式iL=Ae pt t0上式为一阶常系数齐次微分方程，其通解形式为 2式将2式代入1式，得特征方程为 LP+R=0 故特征根为 LRp 25则通解为 tLRL Aei 若令 ，是RL电路的时间常数，仍具有时间量纲，上式可写为 RL tL Aei t0t0 3式将初始条件i L(0+)=

13、iL (0-)=I 0 代入3式，求出积分常数A为 iL (0+)=A=I0这样得到满足初始条件的微分方程的通解为 ttLL eIeii 0)0( t0 4式 26 tLR eRIRiu 0 tRL eRIuu 0电阻及电感的电压分别是t0t0 分别作出 iL 、uR 和、uL的波形如图3-8(a)、(b)所示。 由图3-8可知，iL、uR及uL的初始值（亦是最大值）分别为i L(0+)=I0、 uR(0+)=RI0、uL(0+)= -RI0，它们都是从各自的初始值开始，然后按同一指数规律逐渐衰减到零。衰减的快慢取决于时间常数，这与一阶RC零输入电路情况相同。 27 图3-8 RL 电路零输入

14、响应iL、uR和 uL 的波形 28 从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应，用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通式表示为 teftf )0()( t0 应该注意的是: RC电路与RL电路的时间常数是不同的，前者=RC，后者=L/R。 29例 3：如图3-9 (a)所示电路，t=0- 时电路已处于稳态，t=0时开关S打开。求t0时的电压uc、uR和电流ic。解

15、由于在t=0- 时电路已处于稳态，在直流电源作用下，电容相当于开路。 图 3-9 例 3 图所以VURRRu SC 424 122)0( 21 2 由换路定律，得 Vuu cC 4)0()0( 作出t=0+等效电路如图(b)所示， 30电容用4V电压源代替，由图(b)可知 VuRR Ru CR 6.132 42)0()0( 32 2 ARRui CC 8.0324)0()0( 32 换路后从电容两端看进去的等效电阻如图 (C)所示，为： 52323 RRR SRC 1515 时间常数为 31ttRR eeuu 6.1)0( ttCC eeii 8.0)0( AV t0t0也可以由 dtduCi

16、 CC 求出 i C = -0.8e -t A t0 ttCC eeuu 4)0( V t0 计算零输入响应，得 32 3.4 零 状 态 响 应 在激励作用之前，电路的初始储能为零仅由激励引起的响应叫零状态响应。3.4.1 RC电路的零状态响应 图3-10所示一阶RC电路，电容先未充电，t=0时开关闭合，电路与激励US 接通，试确定k闭合后电路中的响应。 图3-10 (a) R C电路的零状态响应在k闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律uc(0+)= uc(0-)= 0，t=0+ 时电容相当于短路，uR(0+)=US，故电容开始充电。随着时间的推移，uC将逐渐升高，RURui SRR )0

17、()0( 33uR则逐渐降低，iR（等于ic） 逐渐减小。当t时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流 ic()=0，uR ()=0，uc=()=Us。由kVL uR+uc=US而uR=RiR=RiC= ，代入上式可得到以uc为变量的微分方程 t0 初始条件为 u C(0+)=0dtduRC C SCC UudtduRC 1式 1式为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解uCP，即 uc=uch + ucp 34RCttch AeAeu 将初始条件u c(0+)=0代入上式，得出积分常数A=-U

18、S，故SRCtcpchC UAeuuu RCtSSRCtSC eUUeUu 1 由于1式相应的齐次微分方程与RC零输入响应式完全相同, 因此其通解应为式中A为积分常数。特解ucp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设ucp=k，代入1式得1式的解（完全解）为ucp =k=US 35由于稳态值 uc ()=US，故上式可写成 t0 2式由2式可知，当t=0时，uc(0)=0，当 t=时，uc() =US（1-e1）=63.2%US，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值uc=()=US的63.2%所需的时间是。而当t=45时，u c上升到其稳态值US的98.17%99.3%，一般认为

19、充电过程即告结束。电路中其他响应分别为)1)( RCtCC euu tSCC eRUdtduCi tSCR eRUii tSRR eURiu t0 t0t0 36根据uc、ic、iR及uR的表达式，画出它们的波形如3-10 (b)、(c)所示，其变化规律与前面叙述的物理过程一致。 图3-10 (b)、(C) R C 电路零状态响应 uc、ic、iR及uR波形图 373.4.2 RL电路的零状态响应 图3-11 (a) 一阶RL电路的零状态响应 对于图3-11(a)所示的一阶RL电路，US为直流电压源，t0时，电感L中的电流为零。t=0时开关s闭合，电路与激励US接通，在s闭合瞬间，电感电流不会

20、跃变，即有iL(0+)= iL(0-)=0, 选择iL为首先求解的变量，由KVL有： uL+uR=US 将 , uR=RiL , 代入上式，可得初始条件为 iL (0+)=0dtdiLu LL SLL URidtdiL 1式 38 tLRt Lh AeAei RUKi SLp RUAei StL 1式也是一阶常系数非齐次微分方程，其解同样由齐次方程的通解iLh 和非齐次方程的特解iLP两部分组成，即 iL=iLh+iLp其齐次方程的通解也应为式中时间常数=L/R，与电路激励无关。非齐次方程的特解与激励的形式有关，由于激励为直流电压源，故特解 i LP为常量，令iLP =K，代入1式得因此完全解

21、为 39代入t=0时的初始条件 iL(0+)=0得RUA S于是 由于iL的稳态值 ，故上式可写成： t0 电路中的其他响应分别为 t0 )1( tSStSL eRURUeRUi tLL eii 1)( tSLL eUatdiLu RUi SL )( 40 tSRR eURiu 1 tSLR eRUii 1它们的波形如图3-11 (b)、(c)所示。t0t0 图3-11 (b) (C) 一阶RL电路的零状态响应波形图 41 其物理过程是，S闭合后，iL(即 iR)从初始值零逐渐上升，uL从初始值 uL(0+)=US 逐渐下降，而uR从 uR(0+)=0逐渐上升，当 t=，电路达到稳态，这时L相

22、当于短路，iL()=USR，uL()= 0，uR()= US。从波形图上可以直观地看出各响应的变化规律。 423.4.3 单 位 阶 跃 响 应单位阶跃函数用(t)表示，其定义如下：(t) = 0 t 0-1 t 0+ (t)的波形如图3-12(a)所示，它在（0-，0+）时域内发生了单位阶跃。 图 3-12 单位阶跃函数 43 单位阶跃函数可以用来描述图3-12 (b)所示的开关动作，它表示在t=0时把电路接入1V直流源时 u(t)的值，即： u (t)= (t) V 如果在 t=t0时发生跳变，这相当于单位直流源接入电路的时间推迟到 t=t0，其波形如图3-13所示，它是延迟的单位阶跃函数

23、，可表示为 (t-t 0) = 0 tt 0- 1 tt 0+ 图 3-13 延迟的单位阶跃函数 44 )()1( 00 tteu ttC 当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。对于图3-10所示电路的单位阶跃响应，只要令US=(t)就能得到，例如电容电压为 若图3-10的激励uS=K(t)（K为任意常数），则根据线性电路的性质，电路中的零状态响应均应 )(1 teu tC 如单位阶跃不是在t=0而是在某一时刻 t0时加上的，则只要把上述表达式中的t改为t-t0，即延迟时间t0就行了。例如这种情况下的uC为 45扩大K倍，对于电容有)()1( teKu

24、tC 例4： 求图3-14 (a)电路的阶跃响应 uC。 解 先将电路ab左端的部分用戴维南定理化简， 得图3-14(b)所示电路。由图 (a)可得 图 3-14 例 4 图 46)(2)(21443 111 ttuuuUoc 3u1+u1=0 u1=0 则 AtISC 11)( 2120 SCocIUR于是)()1(2)1( teeUu tt ocC 式中 =R0C=210-6S 将ab端短路，设短路电流为ISC（从a流向b） 47 3.5 全 响 应 由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。 如图3-15所示，设 uC =uC(0-)=U0，S在t=0时闭合，显然电路中的

25、响应属于全响应。 图3-15 RC电路的全响应 48对t0的电路，以uC为求解变量可列出描述电路的微分方程为 0)0( Uu UudtduRCC SCC 1式与描述零状态电路的微分方程式比较，仅只有初始条件不同，因此，其解答必具有类似的形式，即 StC UKeu 代入初始条件 uC (0+)=U0 得 K= U0 - US 1式 49从而得到StSC UeUUu )( 0 通过对1式分析可知，当US=0时，即为RC零输入电路的微分方程。而当U0=0时，即为RC零状态电路的微分方程。这一结果表明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。1、全响应分

26、解为暂态响应和稳态响应之和。如2式中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。2式中第二项U S = uC()受输入的制约，它是非齐次方程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，称稳态响应或强制分量。这样有 全响应=暂态响应+稳态响应 2式 502、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。将2式改写后可得：)1(0 tStC eUeUu 3式等号右边第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。因为电路的激励有两种，一是外加的输入信号，一是储能元件的初始储能，根据线性电路的叠加性，电路的响应是两种激励各自所产生响应的叠加，即 全响应=零输入响应+零状态响应

27、 3式 513.6 求解一阶电路三要素法 如用 f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示该电压或电流的初始值，f () 表示响应的稳定值， 表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为： 0)()0()()( teffftf t 上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。 式中f (0+)、 f () 和 称为三要素，把按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。 由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。 52 用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下： 一、 确定初始值 f (0+) 初始

28、值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。(1) 先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或iL(0-), 这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替。(2) 作t=0 + 电路。这是利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此电路中C用电压源U0代替， 53 图3-16 电容、电感元件在t=0时的电路模型 L用电流源I0代替。若uC(0+)=uC(0-)=0 或 iL(0+)=iL(0-)=0，则C用短路线代替

29、，L视为开路。可用图3-16说明。作t=0+ 电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u (0+)、i (0+)。 54二、确定稳态值f() 作t=电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u()、i()。在此电路中，电容C视为开路，电感L用短路线代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。三、求时间常数 RC电路中，=RC；RL电路中，=L/R；其中，R是将电路中所有独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的R0)。 例5 图3-17 (a)所示电路中，t=0时将S合上， 求t0时的 i 1、iL、uL。 55 图 3-17 例 5 图解(

30、1) 先求iL(0-)。作t=0- 电路，见图(b)，电感用短路线代替，则 56346312)0( Li(2)求 f(0+)。作t=0+电路，见图(C), Aii LL 34)0()0( 图中电感用4/3A的电流源代替，流向与图(b)中iL(0-)一致。因为题意要求i1、iL、uL，所以相应地需先求i1(0+)和uL(0+)。椐KVL，图(C)左边回路中有 3 i1 (0+) +6 i1 (0+) -iL (0+)=12得 Ai 920)0(1 图 (C)右边回路中有 Viiiu LLL 38)0()0(6)0(6)0( 1 57(3)求f()。作t=电路如图(d)，电感用短路线代替，则266

31、 663 12)(1 i AiiL 1)(21)( 1 uL() =0 (4)求。从动态元件L两端看进去的戴维南等效电阻为 863 6366/36R SSRL 1011.088.0 58（5）代入三要素公式 teffftf )()0()()( Aeeti tt 10101 92229202)( t0Aeeti ttL 1010 3111341)( Veetu ttL 1010 380380)( t0t0 59i1 (t)、iL (t)及uL(t)的波形图如3-18所示。 图 3-18 例 5 图 60 小 结(1) 含有动态元件L、C的电路是动态电路，其伏 安关 系是微分或积分关系。电容C: t CCCCC diCuudtduCi 0 )(1)0( 或电容L: t LLLLL duLiidtdiLu 0 )(1)0( 或(2)换路定律是指：电容电流和电感电压不能跃变： 即 uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-) 61（3）零输入响应：当外加激励为零，仅有动态元 件初始储能所产生所激发的响应。 零输入响应：电路的初始储能为零仅由输入 产生的响应。 全响应：由电路的初始状态和外加激励共同作 用而产生的响应，叫全响应。（4）求解一阶电路三要素公式为： 0)()0()()( teffftf t