《参数区间估计》PPT课件.ppt

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1、 参 数 区 间 估 计 引 言 前 面 ， 我 们 讨 论 了 参 数 点 估 计 . 它是 用 样 本 算 得 的 一 个 值 去 估 计 未 知 参 数 . 但 是 ， 点 估 计 值 仅 仅 是 未 知 参 数 的 一 个近 似 值 ， 它 没 有 反 映 出 这 个 近 似 值 的 误差 范 围 ， 使 用 起 来 把 握 不 大 . 区 间 估 计正 好 弥 补 了 点 估 计 的 这 个 缺 陷 . 譬 如 ， 在 估 计 湖 中 鱼 数 的 问 题 中 ， 若我 们 根 据 一 个 实 际 样 本 ， 得 到 鱼 数 N的 极大 似 然 估 计 为 1000条 . 若 我 们

2、能 给 出 一 个 区 间 ， 在 此 区 间内 我 们 合 理 地 相 信 N 的 真 值 位 于 其 中 . 这 样 对 鱼 数 的 估 计 就 有 把 握 多 了 .实 际 上 ， N的 真 值 可 能 大 于 1000条 ，也 可 能 小 于 1000条 . 也 就 是 说 ， 我 们 希 望 确 定 一 个 区 间 ， 使 我们 能 以 比 较 高 的 可 靠 程 度 相 信 它 包 含 真 参数 值 . 湖 中 鱼 数 的 真 值 这 里 所 说 的 “ 可 靠 程 度 ” 是 用 概 率 来 度 量 的 ，称 为 置 信 概 率 ， 置 信 度 或 置 信 水 平 . 习 惯 上

3、 把 置 信 水 平 记 作 1 ， 这 里 是 一 个很 小 的 正 数 . 置 信 水 平 的 大 小 是 根 据 实 际 需 要 选 定 的 .例 如 ， 通 常 可 取 置 信 水 平 =0.95或 0.9等 .1 1 21P根 据 一 个 实 际 样 本 ， 由 给 定 的 置 信 水 平 ， 我, 21 小 的 区 间 ， 使们 求 出 一 个 尽 可 能置 信 区 间 . 称 区 间 为 的, 21 1置 信 水 平 为 的 教 材 已 经 给 出 了 概 率 分 布 的 上 侧 分 位 数 （ 分位 点 ） 的 定 义 ， 为 便 于 应 用 ， 这 里 我 们 再 简要 介

4、绍 一 下 .在 求 置 信 区 间 时 ， 要 查 表 求 分 位 数 . 设 0 1, 对 随 机 变 量 X， 称 满 足 )( xXP的 点 为 X的 概 率 分 布 的 上 分 位 数 . x 例 如 : 645.105.0 u 96.1025.0 u 设 0 1, 对 随 机 变 量 X， 称 满 足 )( xXP的 点 为 X的 概 率 分 布 的 上 分 位 数 . x 标 准 正 态 分 布 的上 分 位 数 u 例 如 : 348.9)3(2025.0 216.0)3(2975.0 设 0 1, 对 随 机 变 量 X， 称 满 足 )( xXP的 点 为 X的 概 率 分

5、 布 的 上 分 位 数 . x 分 布 的 上 分 位 数 )(2 n2自 由 度 为 n的 设 0 1, 对 随 机 变 量 X， 称 满 足 )( xXP的 点 为 X的 概 率 分 布 的 上 分 位 数 . x F分 布 的 上 分位 数 ),( 21 nnF自 由 度 为 n1,n2的 一 、 置 信 区 间 定 义 ： 1 21P ),( 2111 nXXX ),( 2122 nXXX )( 21 满 足设 是 一 个 待 估 参 数 ， 给 定 ,0若 由 样 本 X1,X2,Xn确 定 的 两 个 统 计 量则 称 区 间 是 的 置 信 水 平 （ 置 信 度 、置 信 概

6、 率 ） 为 的 置 信 区 间 ., 21 121 和 分 别 称 为 置 信 下 限 和 置 信 上 限 . 一 旦 有 了 样 本 ， 就 把 估 计 在 区 间 , 21 内 . 这 里 有 两 个 要 求 :可 见 ， 11 对 参 数 作 区 间 估 计 ， 就 是 要 设 法 找 出两 个 只 依 赖 于 样 本 的 界 限 (构 造 统 计 量 )22 )( 21 (X1,Xn)(X1,Xn) 2. 估 计 的 精 度 要 尽 可 能 的 高 . 如 要 求 区 间12 长 度 尽 可 能 短 ， 或 能 体 现 该 要 求 的 其它 准 则 . , 21 1. 要 求 以 很

7、 大 的 可 能 被 包 含 在 区 间 21 P内 ， 就 是 说 ， 概 率 要 尽 可 能 大 .即 要 求 估 计 尽 量 可 靠 . 可 靠 度 与 精 度 是 一 对 矛 盾 ，一 般 是 在 保 证 可 靠 度 的 条 件 下尽 可 能 提 高 精 度 . N(0, 1)选 的 点 估 计 为 X求 参 数 的 置 信 度 为 的 置 信 区 间 . 例 1 设 X1,Xn是 取 自 的 样 本 ， ,2已 知),( 2N 1nXU 取二 、 置 信 区 间 的 求 法明 确 问 题 ,是 求 什 么 参 数 的 置 信 区 间 ?置 信 水 平 是 多 少 ？ 寻 找 未 知

8、参 数 的一 个 良 好 估 计 .解 ： 寻 找 一 个 待 估 参 数 和估 计 量 的 函 数 ， 要 求其 分 布 为 已 知 . 有 了 分 布 ， 就 可 以 求 出U取 值 于 任 意 区 间 的 概 率 . ,1 对 给 定 的 置 信 水 平查 正 态 分 布 表 得 ,2u对 于 给 定 的 置 信 水 平 (大 概 率 ), 根 据 U的 分 布 ，确 定 一 个 区 间 , 使 得 U取 值 于 该 区 间 的 概 率 为置 信 水 平 . 1| 2unXP使 为 什 么这 样 取 ？ ,1 对 给 定 的 置 信 水 平查 正 态 分 布 表 得 ,2u 1 22 u

9、nXunXP 1| 2unXP使 从 中 解 得 , 22 unXunX 也 可 简 记 为 2 unX 1 22 unXunXP于 是 所 求 的 置 信 区 间 为 从 例 1解 题 的 过 程 ， 我 们 归 纳 出 求 置信 区 间 的 一 般 步 骤 如 下 :1. 明 确 问 题 , 是 求 什 么 参 数 的 置 信 区 间 ? 置 信 水 平 是 多 少 ?12. 寻 找 参 数 的 一 个 良 好 的 点 估 计T (X1,X2,Xn) 3. 寻 找 一 个 待 估 参 数 和 估 计 量 T的 函 数 S(T, ),且 其 分 布 为 已 知 . 4. 对 于 给 定 的

10、置 信 水 平 ， 根 据 S(T, )的 分 布 ， 确 定 常 数 a, b， 使 得 1 1P(a S(T, )b)= 5. 对 “ aS(T, )b”作 等 价 变 形 ,得 到 如 下形 式 : 1 21P, 21 1则 就 是 的 100( ) 的 置 信 区 间 . 可 见 ， 确 定 区 间 估 计 很 关 键 的 是 要 寻 找一 个 待 估 参 数 和 估 计 量 T 的 函 数 S(T, ), 且 S(T, )的 分 布 为 已 知 , 不 依 赖 于 任 何 未 知参 数 (这 样 我 们 才 能 确 定 一 个 大 概 率 区 间 ).而 这 与 总 体 分 布 有

11、关 ， 所 以 ， 总 体 分 布 的形 式 是 否 已 知 ， 是 怎 样 的 类 型 ， 至 关 重 要 . 这 里 ， 我 们 主 要 讨 论 总 体 分 布 为 正 态的 情 形 . 若 样 本 容 量 很 大 ， 即 使 总 体 分 布未 知 ， 应 用 中 心 极 限 定 理 ， 可 得 总 体 的 近似 分 布 ， 于 是 也 可 以 近 似 求 得 参 数 的 区 间估 计 . 教 材 上 讨 论 了 以 下 几 种 情 形 ：单 个 正 态 总 体 均 值 和 方 差 的 区 间 估 计 . 2两 个 正 态 总 体 均 值 差 和 方 差 比 的 区 间 估 计 . 21

12、2221下 面 我 们 举 几 个 例 子 说 明 其 应 用 方 法 . 统 计 三 大 分 布 回 顾 )( 22 n记 为 2 分 布1、定 义 : 设 相 互 独 立 , 都 服 从 正 态分 布 N(0,1), 则 称 随 机 变 量 ： 所 服 从 的 分 布 为 自 由 度 为 n 的 分 布 .nXXX , 21 222212 nXXX 22 分 布 是 由 正 态 分 布 派 生 出 来 的 一 种 分 布 . 2 分 布 的 密 度 函 数 为 00 0)2(2 1);( 2122 xxexnnxf xnn来 定 义 .其 中 伽 玛 函 数 通 过 积 分 0,)( 0

13、1 xdttex xt )(x T的 密 度 函 数 为 ： 212 )1()2( 2)1();( nnxnnnnxf 记 为 T t(n). 定 义 : 设 X N(0,1) , Y , 且 X与 Y相 互独 立 ， 则 称 变 量 nYXT 所 服 从 的 分 布 为 自 由 度 为 n的 t 分 布 .)(2 n2、 t 分 布 3、 F分 布 ),(),( 2212 nYnX 定 义 : 设 X与 Y相 互独 立 ， 则 称 统 计 量服 从 自 由 度 为 n1及 n2 的 F分 布 ， n1称 为 第一 自 由 度 ， n2称 为 第 二 自 由 度 ， 记 作 FF(n1,n2)

14、 . 21nY nXF 00 01)()()( )(),;( 222 221 2121121212121 21 x xxxnnxf nnnnnnnnnn nn n若 XF(n1,n2)， X的 概 率 密 度 为 定 理 1 (样 本 均 值 的 分 布 )设 X1,X2,Xn是 取 自 正 态 总 体 ),( 2N的 样 本 ， 则 有 ),( 2nNX )1,0( NnX 定 理 2 (样 本 方 差 的 分 布 ) )1()1()1( 22 2 nSn 设 X1,X2,Xn是 取 自 正 态 总 体 ),( 2N的 样 本 , 2SX和 分 别 为 样 本 均 值 和 样 本 方 差 ,

15、则 有 .)( 相 互 独 立和 22 SX 定 理 3 设 X1,X2,Xn是 取 自 正 态 总 体 ),( 2N的 样 本 , 2SX和 分 别 为 样 本 均 值 和 样 本 方 差 ,则 有 )1( ntnSX 定 理 4 (两 总 体 样 本 均 值 差 的 分 布 ) )2(11 2 )1()1( )( 212121 222211 21 nntnnnn SnSn YX ，设 ),(),( 2221 NYNX YX和 分 别 是 这 两 个 样 本 的且 X与 Y独 立 ,X1,X2, 1nX 是 取 自 X的 样 本 ,取 自 Y的 样 本 ,分 别 是 这 两 个 样 本 的

16、样 本 方 差 ,均 值 , 2221 SS 和则 有 Y1,Y2, 2nY 是样 本 定 理 5 (两 总 体 样 本 方 差 比 的 分 布 ) )1,1( 212222 2121 nnFSS ，设 ),(),( 222211 NYNX YX和 分 别 是 这 两 个 样 本 的且 X与 Y独 立 ,X1, X2, 1nX 是 取 自 X的 样 本 ,取 自 Y的 样 本 , 分 别 是 这 两 个 样 本 的 样 本 方 差 ,均 值 ， 2221 SS 和则 有 Y1,Y2, 2nY 是样 本 例 2 已 知 某 地 区 新 生 婴 儿 的 体 重 X ),( 2N, 2未 知 随 机

17、 抽 查 100个 婴 儿得 100个 体 重 数 据X1,X2,X100 的 区 间 估 计 2求 和 （ 置 信 水 平 为 1- ） . 解 ： 这 是 单 总 体 均 值 和 方 差 的 估 计未 知22 ,),( NX已 知 先 求 均 值 的 区 间 估 计 . )1( ntnSXt 因 方 差 未 知 ， 取 对 给 定 的 置 信 度 ,确 定 分 位 数1 ),1( 2 nt使 1)1(| 2 nttP 1)1(| 2 ntnSXP即 )1(),1( 22 ntnSXntnSX 均 值 的 置 信 水 平 为 的 区 间 估 计 .即 为 1从 中 解 得 1)1()1( 2

18、2 ntnSXntnSXP )1()1( 22 2 nSn 取 1)1()1()1( 2 22 22 21 nSnnP从 中 解 得 1)1( )1()1( )1( 2 21 222 2 2 nSnn SnP 2再 求 方 差 的 置 信 水 平 为 的 区 间 估 计 .1 对 给 定 的 置 信 度 ,确 定 分 位 数1 ,)1(2 2 n 使,)1(2 21 n 于 是 即 为 所 求 .)1( )1(,)1( )1( 2 21 22 2 2 nSnn Sn 1)1( )1()1( )1( 2 21 222 2 2 nSnn SnP 需 要 指 出 的 是 ， 给 定 样 本 ， 给

19、定 置 信 水平 ， 置 信 区 间 也 不 是 唯 一 的 .对 同 一 个 参 数 ， 我 们 可 以 构 造 许 多 置 信 区 间 . N(0, 1)nXU 取由 标 准 正 态 分 布 表 ， 对 任 意 a、 b， 我 们 可以 求 得 P( aUb) . 例 如 ， 设 X1,Xn是 取 自 的 样 本 ， ,2已 知 ),( 2N求 参 数 的 置 信 水 平 为 的 1置 信 区 间 . N(0, 1)nXU 例 如 ， 由 P(-1.96U1.96)=0.95)(uf u96.196.1 95.0我 们 得 到 均 值 的 置 信 水 平 为 1 的置 信 区 间 为 96

20、.1,96.1 nXnX 由 P(-1.75U2.33)=0.95这 个 区 间 比 前 面 一 个 要 长 一 些 .置 信 区 间 为 33.2,75.1 nXnX 我 们 得 到 均 值 的 置 信 水 平 为 1 的)(uf u33.275.1 我 们 总 是 希 望 置 信 区 间 尽 可 能 短 .类 似 地 ， 我 们 可 得 到 若 干 个 不 同 的 置 信区 间 . 任 意 两 个 数 a和 b， 只 要 它 们 的 纵 标 包 含f(u)下 95%的 面 积 ， 就 确 定 一 个 95%的 置 信区 间 . 0 b uuu)(ufaa a b b950.950.950.

21、 在 概 率 密 度 为 单 峰 且 对 称 的 情 形 ， 当 a =-b时求 得 的 置 信 区 间 的 长 度 为 最 短 .0 b uuu)(ufaa a b b950.950.950.a =-b 即 使 在 概 率 密 度 不 对 称 的 情 形 ， 如 分 布 ， F分 布 ， 习 惯 上 仍 取 对 称 的 百 分 位 点来 计 算 未 知 参 数 的 置 信 区 间 . 2 我 们 可 以 得 到 未 知 参 数 的 的 任 何 置 信 水平 小 于 1的 置 信 区 间 ， 并 且 置 信 水 平 越 高 ，相 应 的 置 信 区 间 平 均 长 度 越 长 .)( 2 2

22、n)(2 21 n )(xf x)( 2 nX 也 就 是 说 ， 要 想 得 到 的 区 间 估 计 可 靠度 高 ， 区 间 长 度 就 长 ， 估 计 的 精 度 就 差 .这 是 一 对 矛 盾 . 实 用 中 应 在 保 证 足 够 可 靠 的 前 提 下 ，尽 量 使 得 区 间 的 长 度 短 一 些 . 例 3 某 单 位 要 估 计 平 均 每 天 职 工 的 总 医 疗 费 ，观 察 了 30天 ,其 总 金 额 的 平 均 值 是 170元 ， 标 准差 为 30元 ， 试 决 定 职 工 每 天 总 医 疗 费 用 平 均 值的 区 间 估 计 （ 置 信 水 平 为

23、0.95） .解 ： 设 每 天 职 工 的 总 医 疗 费 为 X，近 似 服 从 正 态 分 布X ),( 2nN 大 样 本 ， 由 中 心 极 限 定 理 ，2E(X)= ,D(X)= 未 知 ， 用 样 本 标 准 差 S近 似 代 替 . 取 枢 轴 量 nSXU 近 似 N(0,1)分 布 对 给 定 的 置 信 水 平 , 确 定 分 位 数1 ,2u 使 1| 2unSXP , 22 unSXunSX 得 均 值 的 置 信 水 平 为 的 区 间 估 计 为 1 将 =170,S=30, =1.96,n=30代 入 得 ,X的 置 信 水 平 为 0.95的 置 信 区 间

24、 是 159.27, 180.74 2u , 22 unSXunSX 得 均 值 的 置 信 水 平 为 的 区 间 估 计 为 1 三 、 单 侧 置 信 区 间 上 述 置 信 区 间 中 置 信 限 都 是 双 侧 的 ， 但对 于 有 些 实 际 问 题 ， 人 们 关 心 的 只 是 参 数 在一 个 方 向 的 界 限 . 例 如 对 于 设 备 、 元 件 的 使 用 寿 命 来 说 ， 平 均寿 命 过 长 没 什 么 问 题 ， 过 短 就 有 问 题 了 . 这 时 ， 可 将 置 信 上 限 取为 +， 而 只 着 眼 于 置 信 下限 ， 这 样 求 得 的 置 信 区

25、 间叫 单 侧 置 信 区 间 . 于 是 引 入 单 侧 置 信 区 间 和 置 信 限 的 定 义 ： 1 1P ),( 2111 nXXX 满 足设 是 一 个 待 估 参 数 ， 给 定 ,0 若 由 样 本 X1,X2,Xn确 定 的 统 计 量则 称 区 间 是 的 置 信 水 平 为 的单 侧 置 信 区 间 . ), 1 11 称 为 单 侧 置 信 下 限 . ),( 2122 nXXX 又 若 统 计 量 满 足 1 2P 2则 称 区 间 是 的 置 信 水 平 为 的单 侧 置 信 区 间 . ,( 2 1 称 为 单 侧 置 信 上 限 . 设 灯 泡 寿 命 服 从

26、 正 态 分 布 . 求 灯 泡 寿 命 均值 的 置 信 水 平 为 0.95的 单 侧 置 信 下 限 . 例 4 从 一 批 灯 泡 中 随 机 抽 取 5只 作 寿 命 试验 ， 测 得 寿 命 X（ 单 位 ： 小 时 ） 如 下 ：1050， 1100， 1120， 1250， 1280 )1( ntnSX 由 于 方 差 未 知 ， 取 枢 轴 量2解 ： 的 点 估 计 取 为 样 本 均 值 X 对 给 定 的 置 信 水 平 ， 确 定 分 位 数 )1( nt1 1)1( ntnSXP使即 1)1( nSntXP于 是 得 到 的 置 信 水 平 为 的 单 侧 置信 区 间 为 1 ,)1( nSntX 将 样 本 值 代 入 得 的 置 信 水 平 为 0.95的 单 侧 置 信 下 限 是1065小 时 的 置 信 水 平 为 的 单 侧 置 信 下 限 为1即 nSntX )1(