《线性代数应用举例》PPT课件.ppt

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1、线 性 代 数 应 用 实 例取 自 线 性 代 数 机 算 与 应 用 指 导（ MATLAB） 版 2010.12 例 1 平 板 稳 态 温 度 的 计 算为 了 计 算 平 板 形 导 热 体 的 温 度 分 布 ， 将 平 板 划 分 为 许多 方 格 ， 每 一 个 节 点 上 的 稳 态 温 度 将 等 于 其 周 围 四 个节 点 温 度 的 平 均 值 。 由 此 可 得 出 阶 数 与 节 点 数 相 同 的线 性 方 程 组 ， 方 程 的 解 将 取 决 于 平 板 的 边 界 条 件 。 这 个 方 法 可 以 用 来 计 算 飞 行 器 的 蒙 皮 温 度 等 。T

2、1 T2T3 T4 4/5030 4/5010 4/3020 4/2010 324 413 412 321 TTT TTT TTT TTT 806050304110 1401 1041 0114 4321TTTT 平 板 温 度 计 算 的 模 型整 理 为 A=4,-1,-1,0; -1,4,0,-1; -1,0,4,-1; 0,-1,-1,4;b=30; 50; 60; 80;U=rref(A,b) MATLAB 程 序 (ma1)运 行 结 果 为 ：U = 1.0000 0 0 0 21.2500 0 1.0000 0 0 26.2500 0 0 1.0000 0 28.7500 0

3、0 0 1.0000 33.7500 向 高 阶 系 统 扩 展则 要 解 25 阶 的 线 性 方 程 组 。运 行 书 上 的 程 序 得 温 度 分 布如 下 将 平 板 分 割 得 愈 细 ， 求 出 的 解 就 愈 精 确 。 如 果 把 上述 区 域 分 成 25 个 点 如 右 MATLAB 程 序 ma2 1 22 33 41 4 = 100 =72 =37 = 9x xx xx xx x 例 2 交 通 流 的 建 模对 于 一 个 有 双 向 车 流 的 十字 路 口 ， 根 据 流 出 流 入 车数 相 等 的 规 则 ， 可 以 列 出下 列 方 程 组 :节 点 A：

4、 x1360 x2260节 点 B： x2220 x3292节 点 C： x3320 x4357节 点 D： x4260 x1251相 应 的 矩 阵 方 程 为 ： A=1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1;b=-100;72;37;-9;U=rref(A,b) 1 42 4 3 4 910937x xx xx x MATLAB 程 序 (ma3)运 行 结 果 为 ：U = 1 0 0 -1 9 0 1 0 -1 109 0 0 1 -1 37 0 0 0 0 0 由 于 U 的 最 后 一 行 为 全 零 ， 也 就 是 说 ， 四 个 方 程 中 实际

5、 上 只 有 三 个 独 立 。 x 4 可 以 任 设 ， 因 为 如 果 有 一 些 车 沿此 路 口 环 行 ， 对 方 程 无 影 响 ， 故 方 程 组 的 解 可 如 上 表 示 . 把 上 述 模 型 扩 展 到 多 个 十 字 路 ， 乃 至 整 个 城 市 ，就 构 成 高 阶 的 线 性 代 数 方 程 组 。 例 如 下 面 的 6 节点 交 通 流 图 ， 它 就 要 由 6 个 方 程 和 7 个 变 量 来 描述 。 用 行 最 简 型 方 法 可 以 知 道 ， 它 的 解 将 包 括 两个 自 由 变 量 。 其 物 理 意 义 类 推 。向 高 阶 系 统 扩

6、 展 左 图 描 述 了 四 个 城 市 之 间 的 航 空航 线 图 ， 其 中 1、 2、 3、 4 表 示 四个 城 市 ； 带 箭 头 线 段 表 示 两 个 城市 之 间 的 航 线 。 设 行 号 表 示 起 点城 市 ， 列 号 为 到 达 城 市 ， 则定 义 邻 接 矩 阵 A 为 ：0 1 1 10 0 1 10 0 0 0 1 1 0 0A 例 3 飞 机 航 线 问 题 转 机 航 线 的 数 学 模 型不 难 证 明 ： 矩 阵 A2=A*A 表 示 一 个 人 连 续 坐 两 次 航班 可 以 到 达 的 城 市 ， 矩 阵 A3=A*A*A 表 示 连 续 坐 三

7、次 航 班 可 以 到 达 的 城 市 ：其 中 ， 第 i 行 描 述 从 城 市 i 出 发 ， 可 以 到 达 各 个 城 市 的情 况 ， 若 能 到 达 第 j 个 城 市 ， 记 A(i,j)=1， 否 则 A(i,j)=0，规 定 A(i,i)=0 (其 中 i=1,2,3,4)。 如 第 2 行 表 示 ： 从 城 市 2出 发 可 以 到 达 城 市 3 和 城 市 4 而 不 能 到 达 城 市 1 和 2。 3 1 2 2 20 1 2 20 0 0 02 2 1 1 A 2 4 4 41 2 3 30 0 0 03 4 3 3 At2多 次 转 机 到 达 的 城 市分

8、 析 矩 阵 A3 的 第 二 行 ， 可 以 得 出 ：某 人 从 城 市 2 出 发 ， 连 续 坐 三 次 航 班可 以 到 达 城 市 2、 3 和 城 市 4， 不 能 到达 城 市 1， 而 到 达 城 市 3 和 城 市 4 的方 法 各 有 两 种 。 不 难 看 出 ， 转 机 两 次 以 下 的 航线 的 航 路 矩 阵 为At2= A+ A2 + A3程 序 为 （ ma4）A=0,1,1,1; 0,0,1,1; 0,0,0,0; 1,1,0,0;At2=A+A2+A3 例 4 行 列 式 的 几 何 应 用二 阶 行 列 式 的 几 何 意 义 是 两 个 二 维 向

9、量 构 成 的 平 行四 边 形 的 面 积 ， 三 阶 行 列 式 的 几 何 意 义 是 三 个 3 维向 量 构 成 的 平 行 六 面 体 的 体 积 。 如 下 图 所 示 ， 用 MATLAB 软 件 来 实 现 面 积 和 体 积 的 运 算 。 实 例 （ I） 已 知 三 角 形 ABC三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 ：(1,2),(3,3),(4,1)， 计 算 该 三 角 形 的 面 积 ； （ II） 已 知 凸 九 边 形 九 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 ：(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3),(-7,0)

10、,(-5,6),(-3,8),计 算 该 九 边 形 的 面 积 。 （ III） 在 平 面 坐 标 系 中 画 出 以 上 三 角 形 和 九 边 形 。平 行 四 边 形 面 积 计 算 解 ： (I)如 图 所 示 ， 三 角 形 ABC 的 面 积 就 等 于 向 量AB和 向 量 AC所 构 成 平 行 四 边 形 面 积 的 一 半 。 其中 ： AB O B O A AC O C O A 由 向 量 和 所 构 成 的 平 行 四 边 形 的 面 积 为 行 列 式 的 绝 对 值 。计 算 的 MATLAB语 句 为 ： S=abs(a1*b2-a2*b1) 实 例 给 出

11、的 是 三 角 形 三 个 顶 点 坐 标 a1,b1， a2,b2，a3,b3， 求 该 三 角 形 面 积 ， 则 有 ：MATLAB写 成 S=abs(det(a2-a1,b2-b1; a3-a1,b3-b1) 1 1,a bAB 2 2,a bAB 1 12 2a ba b 2 1 2 13 1 3 10.5 a a b bS abs a a b b 多 边 形 可 以 划 分 为 多 个 三 角 形 来 计 算 。 先 对 三 角 形 面 积 计 算 构 成 一 个 函 数 程 序 ； 这 个 子 程 序 名 为 ： cal_area3(A,B,C) A,B,C为 三 个 顶 点 的

12、 二 维 坐 标 向 量 凸 多 边 形 面 积 只 需 多 次 调 用 这 个 函 数 程 序 ； 例 如 五 边 形 ABCDE， 可 由S5= cal_area3(A,B,C)+ cal_area3(A,C,D)+ cal_area3(A,D,E)求 得 。 （ MATLAB程 序 ma4） 也 可 由 多 边 形 面 积 子 程 序 cal_arean(A)计 算 。扩 展 至 多 边 形 面 积 计 算 解 ： (II)如 图 所 示 ， 凸 九 边 形 面 积 是 由 9-2=7个 三角 形 面 积 组 成 。 在 MATLAB命 令 窗 口 运 行 程 序 ma5.m， 即 可

13、以 算 出三 角 形 和 九 边 形 面 积 ， 同 时 可 以 得 到 图 形 ： MATLAB 程 序function s=cal_area3(a,b,c)% a,b,c 应 为 同 形 的 2 维 行 向 量 或 列 向 量 ，% 格 式 检 验 语 句 略 去 ab=b-a; % 计 算 向 量 ABac=c-a; % 计 算 向 量 ACif size(ab)=1,2 % 判 读 向 量 AB是 否 为 行 向 量 A=ab;ac; % 构 造 矩 阵 Aelse A=ab,ac;ends=abs(det(A)/2; % 根 据 公 式 计 算 三 角 形 面 积 成 药 1号 成药

14、 2号 成药 3号 成药 4号 成药 5号 成药 6号 成药 7号 成药A 10 2 14 12 20 38 100B 12 0 12 25 35 60 55C 5 3 11 0 5 14 0D 7 9 25 5 15 47 35E 0 1 2 25 5 33 6F 25 5 35 5 35 55 50G 9 4 17 25 2 39 25H 6 5 16 10 10 35 10I 8 2 12 0 0 6 20例 5 药 方 配 置 问 题 （ 1） 某 医 院 要 购 买 这 7 种 特 效 药 ， 但 药 厂 的 第 3号和 第 6 号 特 效 药 已 经 卖 完 ， 请 问 能 否 用

15、 其 它 特 效 药配 制 出 这 两 种 脱 销 的 药 品 。分 析 ： 即 3, 6 向 量 与 其 他 向 量 是 否 线 性 相 关 （ 2） 现 在 该 医 院 想 用 这 7 种 中 草 药 配 制 三 种 新 的特 效 药 ， 下 表 为 新 药 所 需 的 成 分 质 量 (单 位 : 克 ) 。请 问 如 何 配 制 。分 析 ： 这 是 新 药 向 量 与 原 来 药 向 量 是 否 线 性 相 关 的 问 题 。 问 题 及 分 析 思 路 1号 新 药 2号 新 药 3号 新 药A 40 162 88B 62 141 67C 14 27 8D 44 102 51E 5

16、3 60 7F 50 155 80G 71 118 38H 41 68 21I 14 52 30新 药 的 成 分 要 求 u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8; u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2; u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12; u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0; u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0; u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6; u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20; U1=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7 V1,r=rref(U1)问 题 (1) 的

17、MATLAB 程 序 （ ma6) 运 行 结 果V1 = 1 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 3 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0r = 1 2 4 5 7可 见 这 七 种 特 效 药 是 “ 相 关 的 ” , 3、 6 两 种 药 可 用 其 它 5种 药 线 性 配 制 出 来 , 但 第 1 、 2 、 4、 5 、 7 种 药 “ 无 关 ” 。 因 此 ， 8， 9 两 种 药 可 以 配 出 ， 第

18、10 种 药 则 不 能 配 出 。V2 = 1 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 1 2 0 0 3 0 3 4 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0s = 1 2 4 5 7 10为 求 第 二 个 问 题 , 把 3 种 新 药 与 7 种 原 药 组 成 矩 阵 U2，求 rref， 得 ： s1=40 62 14 44 53 50 71

19、 41 14 s2=162 141 27 102 60 155 118 68 52 s3=88 67 8 51 7 80 38 21 30 U2=U1,s1,s2,s3 V2 r=rref(U2)问 题 (2) 的 MATLAB 程 序 假 设 一 个 城 市 的 总 人 口 数 是 固 定 不 变 ， 但 人 口 的 分 布情 况 变 化 如 下 ： 每 年 都 有 5 的 市 区 居 民 搬 到 郊 区 ；而 有 15 的 郊 区 居 民 搬 到 市 区 。 若 开 始 有 700000 人口 居 住 在 市 区 ， 300000 人 口 居 住 在 郊 区 。 请 分 析 ：（ 1） 1

20、0 年 后 市 区 和 郊 区 的 人 口 各 是 多 少 ？（ 2） 30 年 后 、 50 年 后 市 区 和 郊 区 的 人 口 各 是 多 少 ？（ 3） 分 析 （ 2） 中 数 据 相 似 的 原 因 。例 6 人 口 迁 徙 问 题 ,nn nxy X1 1 0.95 0.150.05 0.85n n nn n nx x yy x y 11 1 0.95 0.150.05 0.85n nn nn nx xy y X AX 解 这 个 问 题 可 以 用 矩 阵 乘 法 来 描 述 。 令 人 口 变 量其 中 xn 为 市 区 人 口 所 占 比 例 ， yn 为 郊 区 人 口

21、 所 占 比 例 。在 n+1年 的 人 口 分 布 状 态 为 ：用 矩 阵 乘 法 可 写 成 ： 00 0 700000 ,300000 xy X2 nn n-1 n-2 0X =AX =A X = =A XA=0.95,0.15;0.05,0.85;X0=700000;300000;X10=A10*X0 开 始 市 区 和 郊 区 的 人 口 数 为 可 以 得 到 n 年 后 市 区 和 郊 区 的 人 口 分 布 ：因 此 (1) 10 年 后 的 人 口 可 用 程 序 计 算 如 下 ： 1010 10 7.4463 7446301.0 005 ,2.5537 255370 x

22、 ey X运 行 结 果 为 ：故 市 区 和 郊 区 人 口 数 约 为 ： 744630和 255370。 k kk -1 -1 -1 -1A =pp pp pp p p0 0k k -1kx =A x =p p x1 1 2 2k k k k 无 限 增 加 时 间 n， 市 区 和 郊 区 人 口 之 比 将 趋 向 常 数0.75/0.25。 为 了 弄 清 为 什 么 它 趋 向 于 一 个 稳 态 值 ， 需 要 求Ak, 为 此 可 先 将 A 对 角 化 , 再 求 其 k 次 幂 。对 角 矩 阵 的 幂 次 可 以 化 为 元 素 的 幂 次 余 下 很 容 易 计 算

23、。-1A=pp令 其 中 为 对 角 矩 阵 ， 则 有 % 分 析 n 年 后 城 市 人 口 分 布 (ma7)clearA=0.95,0.15; 0.05,0.85;X0=700000; 300000;P,lambda=eig(A);syms n % 定 义 符 号 变 量 nXn=P*lamda.n*inv(P)*X0 MATLAB 程 序显 然 , 随 n 增 大 (4/5)n 趋 近 于 零 , 而 Xn 趋 于750000 50000*4/5250000 50000*4/5 n nX n 运 行 结 果 为 ： 750000250000 x 0 1 2 3 4y -27 0 21

24、 0 -75例 7 多 项 式 插 值 与 拟 合2 3 44 0 1 2 3 4( )p x a ax a x a x a x 求 : (1) 过 这 五 个 点 作 一 个 四 次 多 项 式 函 数 22 0 1 2( )p x a ax a x (2) 请 根 据 这 五 个 点 ， 拟 合 一 个 二 次 多 项 式 函 数 下 表 给 出 了 平 面 坐 标 系 中 五 个 点 的 坐 标 。并 求 x=5 时 的 函 数 值 p4(5)。 用 MATLAB 绘 制 多 项 式 函数 p4(x) 的 曲 线 、 已 知 点 及 插 值 点 (5, p4(5)。并 用 MATLAB

25、绘 制 p 2(x) 的 曲 线 及 已 知 的 五 个 点 。 2 3 40 1 2 3 42 3 40 1 2 3 42 3 40 1 2 3 42 3 40 1 2 3 42 3 40 1 2 3 40 0 0 0 271 1 1 1 02 2 2 2 213 3 3 3 04 4 4 4 75a a a a aa a a a aa a a a aa a a a aa a a a a Aa=y 2 3 4 02 3 4 12 3 4 22 3 4 32 3 4 4 271 0 0 0 0 01 1 1 1 1 , , 211 2 2 2 2 01 3 3 3 3 751 4 4 4 4

26、aaaaa A a y其 中 矩 阵 ： 解 ： (1) 根 据 已 知 条 件 ， 把 五 个 点 的 坐 标 值 分 别 代 入四 次 多 项 式 函 数 ， 可 以 得 到 如 下 线 性 方 程 组 ： 系 数 矩 阵 A 的 行 列 式 为 范 德 蒙 (Vandermonde) 行 列 式 ，且 五 个 坐 标 点 的 横 坐 标 各 不 相 同 ， 则 该 行 列 式 不 等 于 零 ，所 以 方 程 组 有 唯 一 解 。 MATLAB 程 序 :(ma8)x=0;1;2;3;4; % 输 入 已 知 点 坐 标y=-27;0;21;0;-75;A=x.0, x.1, x.2,

27、 x.3, x.4; % 构 造 vandermonde 矩 阵a=Ay; % 得 到 适 定 方 程 组 的 唯 一 解 a运 行 程 序 ， 得 到a(1)=-27, a(2)=12, a(3)=26, a(4)=-12, a(5)= 1. 20 1 2 20 1 2 20 1 2 20 1 2 20 1 20 0 271 1 02 2 213 3 04 4 75a a aa a aa a aa a aa a a Aa=y 把 五 个 点 的 坐 标 值 分 别 代 入 二 次 多 项 式 函 数 ， 可 以 得到 如 下 线 性 方 程 组 ： 22 02 12 22 271 0 0 0

28、1 1 1 , , 211 2 2 01 3 3 751 4 4 aA a a ya 其 中 ， (2) 多 项 式 拟 合 要 解 一 个 超 定 方 程 该 方 程 组 有 三 个 未 知 数 ， 但 有 五 个 方 程 ， 进 一 步 分 析可 以 得 到 该 方 程 组 无 解 ， 即 不 存 在 一 个 二 次 多 项 式 曲线 刚 好 能 过 已 知 的 五 个 点 。 MATLAB 软 件 提 供 了 一 个利 用 最 小 二 乘 法 解 决 超 定 方 程 组 解 的 方 法 。 求 系 数 的公 式 也 是 a = Ay， 以 找 到 一 条 二 次 曲 线 来 近 似 地

29、描 述已 知 5 个 点 的 变 化 情 况 。对 比 插 值 和 拟 合 的 曲 线 如 下 图 用 平 面 坐 标 系 中 的 一 个 闭 合 图 形 来 描 述 刚 体 ， 用 一 个 矩阵 X 来 表 示 它 。 X 的 一 列 表 示 刚 体 一 个 顶 点 的 坐 标 。 为了 使 图 形 闭 合 ， X 的 最 后 一 列 和 第 一 列 相 同 ； 为 了 实 现刚 体 的 平 移 运 算 ， 给 矩 阵 X 添 加 元 素 值 都 为 1 的 一 行 ，使 X 为 3 n 矩 阵 。 121 0 cos sin 00 1 , sin cos 0 ,0 0 1 0 0 1c t

30、 tc t t 1 2M R Y =MX Y =RX且 ，若 有 矩 阵 ：则 可 以 证 明 ， 矩 阵 Y1 是 刚 体 X 沿 x 轴 正 方 向 平 移 c1，沿 y 轴 正 方 向 平 移 c2 后 的 结 果 ； 矩 阵 Y2 是 刚 体 X 以 坐标 原 点 为 中 心 逆 时 针 转 动 t 弧 度 的 结 果 。 例 8 刚 体 的 平 面 运 动 x 0 4 6 10 8 5 3.5 6.1 6.5 3.2 2 0y 0 14 14 0 0 11 6 6 4.5 4.5 0 0实 例用 下 列 数 据 表 示 字 母 A: 对 A 进 行 以 下 平 面 运 动 , 并 绘

31、 制 移 动 前 后 的 图 形 。(1) 向 上 移 动 15, 向 左 移 动 30;(2) 逆 时 针 转 动 /3;(3) 先 逆 时 针 转 动 3 /4, 然 后 向 上 平 移 30, 向 右 平 移 20。 0 4 6 10 8 5 3.5 6.1 6.5 3.2 2 00 14 14 0 0 11 6 6 4.5 4.5 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X解 构 造 刚 体 矩 阵 X， 平 移 矩 阵 及 转 动 矩 阵 。M1= 100 010 -30201M2= 10 0 010 20301 R1= 3cos 3sin-3sin0 0 1003co

32、sR2= 43cos 43sin -43sin 0 0 10043cos MATLAB 程 序 （ ma9) X=0,4,6,10,8,5,3.5,6.1,6.5,3.2,2,0; 0,14,14,0,0,11,6,6,4.5,4.5,0,0; ones(1,12); % 构 造 刚 体 矩 阵 X M1=1,0,-30; 0,1,15; 0,0,1; % 构 造 平 移 矩 阵 M1 Y1=M1*X; % 计 算 平 移 结 果 fill(Y1(1, :), Y1(2, :), red); % 绘 制 平 移 后 刚 体 Y1 plot(X(1, :), X(2, :); % 绘 制 原 来

33、 刚 体 X hold on axis equal R1=cos(pi/3), -sin(pi/3), 0; sin(pi/3), cos(pi/3), 0; 0,0,1; % 构 造 转 动 矩 阵 R1 Y2=R1*X; % 计 算 旋 转 结 果 fill(Y2(1, :), Y2(2, :), blue); % 绘 制 转 动 后 刚 体 Y2 fill(Y3(1, :), Y3(2, :), black); % 绘 制 转 动 及 平 移 后 刚 体 grid on hold off M2=1,0,20; 0,1,30; 0,0,1; % 构 造 转 动 矩 阵 M2 R2=cos(

34、3*pi/4), -sin(3*pi/4), 0; % 构 造 转 动 矩 阵 R2 sin(3*pi/4), cos(3*pi/4), 0; 0,0,1; Y3=M2*R2*X; % 旋 转 平 移 后 的 结 果 Y3 运 行 的 结 果 如 下 线性变换的几何含义实 例 1已 知 向 量 。 请 分 析 经 过 线 性 变 换 21x i iy Ax 后 ， 向 量 与 向 量 的 几 何 关 系 。 其 中 分 别 为 ： iy x iA1 2 31 0 1 0 0.5 0, , ,0 1 0 1 0 2A A A 4 cos sin ,sin cos 2A 在 MATLAB命 令 窗

35、 口 运 行 程 序 ma10.m， 可 以 得 到 图 形 ： 线性变换的几何含义实 例 2 已 知 矩 阵MATLAB分 析 特 征 向 量 的 几 何 含 义 。1 2 31 3 1 2 1 2, , ,2 5 1 5 2 4A A A 4 2 13 2A ， 求 它 们 的 特 征 值 和 特 征 向 量 ， 并 用 解 ： 用 MATLAB求 矩 阵 特 征 值 和 特 征 向 量 的 方 法 为 ： 用 MATLAB演 示 矩 阵 A的 特 征 向 量 几 何 含 义 的 命 令 为 ：（ 1） r=eig(A),列 向 量 r为 矩 阵 A的 特 征 值（ 2） V,D=eig(

36、A)， 对 角 矩 阵 D的 对 角 线 元 素 为 矩 阵 A的 特征 值 ， 矩 阵 V的 列 向 量 为 矩 阵 A的 特 征 向 量 。 eigshow(A) 在 MATLAB命 令 窗 口 运 行 程 序 ma11.m， 可 以 分 别 得 到 图 形 ： 二次型的几何含义1、 利 用 正 交 变 换 化 二 次 型 为 标 准 形 的 几 何 含 义 。例 1 用 正 交 变 换 ， 把 下 列 二 次 型 化 为 标 准 形 ， 并 讨 论 变 换前 后 所 对 应 的 二 次 曲 线 及 。 1 2,f x x c 1 2,f y y c 2 21 2 1 1 2 21 , 6

37、 2 5f x x x xx x 2 21 2 1 1 2 22 , 3 4 2f x x x xx x 解 ： 用 MATLAB命 令 eig可 以 算 出 二 次 型 矩 阵 的 特 征 值 分 别为 ： 4.3820， 6.6180 和 3.7016， -2.7016 。 在 MATLAB命 令 窗 口 运 行 程 序 ma12.m， 可 以 得 到 图 形 ： 二次型的几何含义2、 二 次 型 正 定 、 负 定 的 几 何 含 义 。例 2 分 析 下 列 二 次 型 的 正 定 性 ， 并 画 出 对 应 的 二 次 曲面 。 1 2,f f x x 2 21 2 1 1 2 21 , 6 2 5f x x x xx x 2 21 2 1 1 2 22 , 3 4 2f x x x xx x 2 21 2 1 1 2 23 , 2 3f x x x xx x 21 2 14 , 3f x x x 在 MATLAB命 令 窗 口 运 行 程 序 ma13.m， 可 以 得 到 图 形 ： 谢谢！