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1、X 同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。那么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这是我的孩子”呢？不会了！为什么呢？ 因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证你是她的 孩子。那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题充分条件与必要条件。【实例引入】 例 :判断下列命题的真假。 （1）若x=2，则x2-5x+6=0 。 （2）若ab=0,则a=0。真命题假命题【问题探究】如果命题“若p则q”为真，则记作( )pp q q 或如果命题“若p则q”为假，则记作 ( )p q q p 或符号“”的含义 定义：如果
2、命题“若p，则q”为真命题,即p q, 那么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条件【定义得出】充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=q）的形式,即“有之必成立”。必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则非p” 为真（非q=非p）的形式，即“无之必不成立”。注：p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它们是同一个逻辑关系“p=q”的不同表达方法。 例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题 中的p是q的充分条件？ （1）若x=1，则x2 4x+3=0； （2）若f（x）=x，则f（x）为增函数； （3）若x 为无理数，
3、则x2 为无理数解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件.【典例演练】练习1：(1) 若两个三角形全等，则这两个三角形相似；(2) 若x 5，则x 10。解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 所以命题（1）中的p是q的充分条件。 例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1) 若x=y，则x2=y2。(2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等.(3) 若ab，则acbc。解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。 练习2 下列“若p，则q”形式的命题中，
4、哪些命题中的p是q的必要条件？(1) 若a+5是无理数，则a是无理数。(2) 若（x-a）（x-b）=0，则 x=a。解：命题（1）（2）的逆命题都是真命题， 所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件。 所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。 认清条件和结论。 考察p q和q p的真假。 可先简化命题。 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 否定一个命题只要举出一个反例即可。【方法小结】 练习3，判断下列命题的真假： （1）x=2是x2 4x+4=0的必要条件； （2）圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件； （3）sinA=s
5、inB是A=B的充分条件； （4）ab0是a 0的充分条件。命题（2）为真命题；命题（3）为假命题；命题（4）为真命题。 命题（2）为真命题； 能 力 测 试1、用符号“充分”或“必要”填空：（1）“0 x 5”是“ x 2 0”是“ x+y = x + y ”的_条件。（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除” 的_条件。充分必要充分充分 练习4.用“充分”或“必要”填空，并说明理由：1. “a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 条件；2. “四边相等”是“四边形是正方形”的 条件；3. “x3”是“|x|3”的 条件；4. “x1=0”是“x21=0”的 条件；5. “两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 条件；充分必要必要充分充分6. “至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；7. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都不为0)来说，“b 24ac0”是“这个方程有两个正根”的 条件；8. “a=2，b=3”是“a+b=5”的 条件；必要必要充分 【课堂小结】 如果已知p q，则说p是q的充分 条件， q是p的必要条件。 认清条件和结论。考察p q和q p的真假。 可先简化命题。 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 否定一个命题只要举出一个反例即可。
充分条件与必要条件人教
