测量误差的基本知识

第五章 测量误差的基本知识了解测量误差产生的原因、误差的分类了解测量误差产生的原因、误差的分类 与处理原则、偶然误差的特性；与处理原则、偶然误差的特性；掌握测量精度的评定掌握测量精度的评定 观测值中误差、算术平均值中误差、观测值中误差、算术平均值中误差、相对中误差的计算、算术平均值的计算相对中误差的计算、算术平均值的计算误差传播率及其应用。误差传播率及其应用。第五章 测量误差的基本知识 5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值：三角形 +180 闭合水准 h0一、一、测量误差的来源测量误差的来源 等精度观测：观测条件相同的各次观测。不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。1.测量仪器2.观测者的技术水平3.外界环境观测条件粗差：因读错、记错、测错造成的错误。二、二、测量误差的分类测量误差的分类 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。1、系统误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。例例 ：钢尺尺长、温度、倾斜改正 水准仪 i角 经纬仪 c角、i角 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。消除和削弱的方法消除和削弱的方法:（1）校正仪器；（2）观测值加改正数；（3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。偶然误差，就其个别值而言，在观测前不能预知其出现的大小和符号。偶然误差只能通过改善观测条件对其加以控制。2、偶然误差 偶然误差的特性偶然误差的特性真误差观测值与理论值之差观测值与理论值之差-3 2 1 0 +1 +2 +3偶然误差分布的直方图偶然误差分布的直方图落入区间的误差个数落入区间的误差个数误差的总个数误差的总个数误差区间大小误差区间大小y0根据这些描述性特性，根据这些描述性特性，当当nn，可以得出理论误差可以得出理论误差分布曲线分布曲线该该分布概率密度函数中的分布概率密度函数中的是偶然误差的标准差，是偶然误差的标准差，是衡量精度的重要指标！是衡量精度的重要指标！拐点 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；（对称性）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即：在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性/区间性）（抵偿性）复习思考题：复习思考题：1 1 偶然误差与系统误差有什么区别偶然误差与系统误差有什么区别?偶然误差有哪些特性偶然误差有哪些特性?根据下列的误差内容，试判断其属于何种误差根据下列的误差内容，试判断其属于何种误差?误误 差差 的的 内内 容容误误差的性差的性质质1.1.钢钢尺尺尺尺长长不准，不准，对对量得距离的影响量得距离的影响2.2.量距量距时时，尺子不在一条直，尺子不在一条直线线上，上，对对量得距离的影响量得距离的影响3.3.水准水准仪仪水准管水准管轴轴不平行于不平行于视视准准轴轴的的误误差差4.4.读读数数时时的的误误差差5.5.瞄准瞄准误误差差6.6.竖盘竖盘指指标标差差7.7.竖盘竖盘指指标标差的差的变变化化误误差差系统误差系统误差系统误差系统误差系统误差系统误差偶然误差偶然误差偶然误差偶然误差偶然误差偶然误差系统误差系统误差 误差处理的原则：1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响。一般要通过一定的数学方法（测量平差）来处理。返回精度：又称精密度，指在对某量进行多 次观测中，各观测值误差分布的 密集或离散程度。评定精度的标准 中误差 极限误差 相对误差一、一、中误差中误差 1、中误差的定义：在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1，l2，ln，偶然误差（真误差）1，2，n，则观测值的中误差m的定义为：式中式中式中：例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：，说明第一组的精度高于第二组的精度。，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高说明：中误差越小，观测精度越高中误差所代表的是某一组观测值的精度。2、用真误差计算中误差 3 3、用改正数计算中误差 改正数：最或是值与观测值之差，用v表示，即：v=x-l 式中：v为观测值的改正数；l为观测值；x为观测值的最或是值 改正数求中误差的白塞尔公式：设对某个量进行n次观测，则它的最或是值为 定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。二、极限误差（二、极限误差（容许误差容许误差）测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即容=2m 或容=3m。极限误差的作用：极限误差的作用：区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。偶然误差的绝对值大于中误差9的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18 的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即:三、三、相对误差相对误差 一般情况:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。例 已 知：D1=100m,m1=0.01m，D2=200m,m2=0.01m，求：K1,K2解：返回 概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数 一、倍数的函数一、倍数的函数设有函数：Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。即，观观测测值值与与常常数数乘乘积积的的中中误误差差，等等于观测值中误差乘常数。于观测值中误差乘常数。二、和或差的函数二、和或差的函数设有函数：Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差mZ。即，两两观观测测值值代代数数和和的的中中误误差差平平方方，等于两观测值中误差的平方之和。等于两观测值中误差的平方之和。当z是一组观测值X1、X2Xn代数和（差）的函数时，即可以得出函数Z的中误差平方为 式中mxi是观测值xi的中误差。n n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n n个观测值中误差平方之和个观测值中误差平方之和。当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即 mx1=mx2=mxn=m则为这就是说，在在同同精精度度观观测测时时，观观测测值值代代数数和和（差差）的中误差，与观测值个数的中误差，与观测值个数n n的平方根成正比。的平方根成正比。当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为式中，S的单位是公里。即：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比。三、三、线性函数线性函数设线性函数为：式中 为独立的直接观测值，为常数，相应的 观测值的中误差为 。对某ABC，不等精度观测了两个内角A、B，其值分别为：A=6421064 B=7035403 求C及其中误差。解：C=180AB=450314 由于C=180AB，mC2=mA2+mB2=32+42=25 得，mC=5 所以，C=4503145 设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得四、四、一般函数一般函数式中：是函数F对 的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：误差传播定律的一般形式误差传播定律的一般形式例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 1.列出观测值函数的表达式：2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。求观测值函数中误差的步骤：五、五、运用误差传播定律的步骤运用误差传播定律的步骤 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。误差传播定的几个主要公式：函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数返回 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为l1、l2ln，中误差为m1、m2 mn，则其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：一、一、求最或是值求最或是值L L 设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为 （i=1i=1，2 2，n n）将上式相加得 或故 推导过程：由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即 （算术平均值）说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。因为 式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。设平均值的中误差为mL，则有 二、二、算术平均值中误差算术平均值中误差mL 由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的 倍。故故三、精度评定 第一公式 第二公式 （白塞尔公式）条件：观测值真值 x已知条件：观测值真值 x 未知，算术平均值L已知其中 观测值改正数，例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于 表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。算术平均值L中误差是：返回