272圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(很好-很全-很详细)

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1、奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询：36517827.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【学习目的】.通过观测实验,使学生理解圆心角的概念2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,就可以推出它们所相应的其他各组量也相等,以及它们在解题中的应用【重要概念】【1】圆心角定义在纸上任意画一种圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径,构成一种角，这样的角就是圆心角.如图所示,AO的顶点在圆心，像这样,顶点在圆心的角叫做圆心角【】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一种圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.【定理拓展】1在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对

2、的圆心角,所对的弦也分别相等在同圆或等圆中,如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角,所对的弧也分别相等综上所述,同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,就可以推出它们所相应的其他各组量也相等.【典型例题】【例】下列说法中,对的的是( ).等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等【解析】根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等,所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，因此也不对;弦相等所对的圆心角相等 1奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询:651785缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧,因此

3、不对的；等弧所对的弦相等是成立的.【答案】B【例2】如图2,同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、,已知B=4，CD=2,AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图2.2B. C5【解析】作OED于,则CE=DE=,AE=B=,OE=1.在RDE中,OD=2+22在tB中,B=BE2+O2+1=.O2.【答案】C【例3】半径为R的中,弦A=2，弦DR,若两弦的弦心距分别为OE、F，则OF等于()A.2 B.32 C.23D.0【解析】A为直径，O=0.OEO=0.【答案】D【例】一条弦把圆提成1两部分,则弦所对的圆心角为_.【解析】0=,弦所对的圆心角为90.4【答案】90【例5】弦心

4、距是弦的一半时,弦与直径的比是_,弦所对的圆心角是_.【解析】OB，D=D=D.设O=,则AD=DB=x.在RtODB中,OD=B,D，奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询:365186DOB=4.A=OB90, OOD2DB2+x+2=2x.B=122.弦与直径的比为2，弦所对的圆心角为90. 【答案】20【例6】如图6,已知以点为公共圆心的两个同心圆,大圆的弦B交小圆于C、D.图(1）求证:AB;(2）如果A=6cm，4 cm，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA、OC,应用等量代换的措施.事实上,A、OC的长也求不出来.(1)证明:作OAB于E,EB,EC=ED.EE

5、EB-ED,即=.(2)解：连结O、OC.A6m,CD m,AE=1B m.ECD2 cm. 22S环=2-O2(OO)=(AE2+OE)（C2+E2）=(A2-CE2)=（222)5(cm）【例7】如图所示,A是O的弦(非直径),、是AB上的两点，并且AC=.求证：O=图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图（1),分别连结OA、OB.A,A.又AB,OCBODO奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询：3651785证法二：如图(）,过点作OE于,AEBEABD,CE=DEC=OD. (1) (）【例8】如图，O的直径和弦CD相交于点E，已知E6,=2 cm,EA=0,

6、求D的长.图【分析】如何运用CE0是解题的核心,若作弦心距OF,构造直角三角形,问题就容易解决.【解】过作OFC于F,连结C.AE c,EB= c,B=8 cmOA=在OEF中,CE3,F=E=(cm） 1AB=(),O=AE-AO=2(cm）在RtCFO中，F=1 c,C=O4(c)，=OCOF=(cm).又OFC,F=CF.CDF=2（ c)【例9】如图9,B是O的直径,D是弦，AED,垂足为E,FD,垂足为F,我们懂得E和D相等.若直线F平移到与直径AB相交于（不与A、重叠）,在其她条件不变的状况下,结论与否仍然成立?为什么?当EFB时,状况又如何？奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导

7、学校征询：361786图【分析】考察垂径定理及三角形、梯形有关知识可合适添加辅助线.【解】当EF交A于P时,过O作OMD于,则M=M通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=M，.当EFB时，同理作MCD于M，可证四边形AFB为矩形.因此E=AB且EM，又由垂径定理有CM=MD,EC=D.【例10】如图10所示，A、C是O的两条直径，弦D,则弧AC与弧BE与否相等?为什么?图【分析】欲求两弧相等，结合图形,可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧与弧E所对的弦相等,也可运用“等量代换”的思想,先找一条弧都与弧A以及弧B相等.【解】弧AC=弧BE.因素如下：法一:连

8、结C，A、CD是直径,OC=BOD.CBD.又B=B,AC=B弧弧BE.法二：A、D是直径，O=O.弧C=弧D.奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询:51786E，弧B=弧BD弧AC=弧BE.【例11】如图所示，AB是O的弦，C、为弦B上两点,且OC=D,延长O、D,分别交O于点、F.试证：弧=弧F.图1【分析】欲求弧相等,结合图形,可先求弧所对的圆心角相等,即求A=BOF.【证明】OC=OD,CD=ODC.O=OB,A=OCD-ADC-B，即O=BOD，即OE=OF.弧E=弧B.【例12】如图1,B、C、EF都是O的直径,且=3,弦A、EB、D与否相等?为什么？图1【分析】应用圆心

9、角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等【解】在O中,1,又、E都是的直径，FOAOC=BOE.弧D弧AC=弧BE.AC=BDF奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询:35785【例13】为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案,规定设计的方案由圆和三角形构成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形,请你画出你的设计方案图(至少两种）【解析】设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周,获得轴(或中心）对称的相应点，合适画圆或连线,设计出某些适合规定的图案.【答案】根据题意画出如下方案供选用,如图，本题答案不唯一,只要符合条件即可【例】如图1，已知在中,

10、是的直径，BC是弦，ADB,E为垂足,由这些条件你能推出哪些结论?(规定：不添加辅助线,不添加字母,不写推理过程,只写出6条以上的结论）图4【解析】因DBC，且AD为直径,因此可以运用垂径定理得到某些结论,同步可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论本题是新疆建设兵团的模拟题，是一种开放性试题,开放到可以不写环节,但它比书写证明一种结论环节的题考察面更广,由于写出六个结论考生需要证明六个题本题是一种考察考生发散思维能力和创新意识的好题【答案】(1)E=CE;（2）弧B=弧;（)弧AB=弧AC(4)A=C;(）DC;()BCAB;(7）DBC=;(8)BD=D;(9)AD是B的中垂线;奋飞教

11、育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询:3517856(10)BDACD;(1)为AC的外心等等【例】如图5，AB为O的弦,是AB上一点,=10 cm,O5 ,A4 c，求的半径.图5【分析】圆中的有关计算,大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，再运用勾股定理来解决【解】过O作OAB于,连结OA,则AB=2C.在OCA和CP中，OC2-2,C2OP2-CP2,A2AC2=OPCP2.AB=0,PA=4,B=A=2BC，CPB-ABC1,A5.OA-52-1OA=7，即的半径为 c【例1】O的直径为50c,弦AC，且4 c,48 cm，求弦和D之间的距离.【分析】()图形的

12、位置关系是几何的一种重要方面，应逐渐加强位置感的培养(2)本题往往会遗忘或疏漏其中的一种状况.()【解】（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图()，作OAB于G，交CD于E,连结O、ODABCD,OGA,OCD即为、D之间的距离OCD,OGAB，BG=AB=40=0（c）,2奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询:3651856DE=484(m)22在RtDE中,E=D-D25224（cm）在Rt中,G=OB2BG=2502=5(c)EG=-O=1-7=8(c).(2)(2)当、C在圆心两侧时，如图（2）,同理可以求出O=15cm，OE=7m,=OG+OE1+72(cm）.综上所述,弦

13、AB和CD间的距离为22 cm或 cm.【】已知:A交圆O于C、D,且ACB.你觉得A=吗?为什么?【】如图所示，是一种直径为650mm的圆柱形输油管的横截面,若油面宽=0，求油面的最大深度。奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询:3617856【】 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆与圆的弦D相交于点E。你觉得图中有哪些相等的线段？为什么?00B【4】如图所示，O是圆O的半径，弦CDA于点,已知OC=5，P=3,则弦C=_。【】如图所示，在圆中,、AC为互相垂直且相等的两条弦,DB,OEA，垂足分别为D、E，若AC=cm，则圆O的半径为_cm。【6】 如图所示,AB是圆O的

14、直径,弦DB，E为垂足，若=9,BE=,则D=_。E OA P A B【7】如图所示,在AB中,=90，B=10，C8，以A为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为_。【】如图所示,四边形ACD内接于圆O,D=120,则BOD=_度。【9】如图所示,圆的直径为,弦B的长为6，M是弦A上的一动点,则线段的OM的长的取值范畴是(）.3O5 OC. 3O5 D 4OM奋飞教育您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询:3575【】下列说法中，对的的是（ )A 到圆心的距离不小于半径的点在圆内B 圆的半径垂直于圆的切线. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等【11】 若圆的一条弦把圆提成度数的比

15、为:的两条弧,则劣弧所对的圆周角等于（ )A. B90 C. 135 D. 27【12】 如图所示,A、B、C三点在圆O上,OC100,则等于(）A. 14 .10 C.1 D.130【3】AB中，C=,A4c,C=2cm,以点A为圆心,以5m长为半径画圆,则点在圆A_，点B在圆_；【14】圆的半径等于m,圆内一条弦长23cm,则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_；【15】如图所示,已知A为圆O的直径，A为弦，ODBC交AC于,OD=cm，求BC的长；A【16】如图所示,破残的圆形轮片上，弦A的垂直平分线交弧B于点，交B弦AB于点D。已知:=24cm,D=cm。（1)求作此残片所在的圆（不写

16、作法,保存作图痕迹）；(2)求（)中所作圆的半径。【17】已知:如图所示,RB的两直角边BC3c，A4cm,斜边B上的高为D,若以C为圆心,分别以r=2c,r=.c,r3=cm,为半径作圆,试判断点与这三个圆的位置关系。奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询：7856【1】在ABC中，C9,ACC=4cm,D是边的中点,以点C为圆心，4c为半径作圆。则、B、四点在圆内有_。【19】等腰三角形AB中,B、C为定点,且ACA，D为C中点，以BC为直径作圆D。(1)顶角A等于多少度时，A在圆D上? （）顶角A等于多少度时,A在圆内部？ （）顶角A等于多少度时,在圆D外部？【0】在半径为c的圆

17、中,弦ACD,AB=m，CD=8c,求弦AB与C之间的距离。【1】 如图所示，圆的直径AB和弦CD交于,已知AE6c，=2m, CEA=3,求。【2】圆O中若直径为25c,弦的弦心距1，求弦长。【2】 若圆的半径cm，圆中一条弦长,则此弦中点到此弦所对劣弧中点之间的距离?【4】 圆内一条弦与直径的交角为3,且分直径为1c和cm两段，求弦心距,弦长?【25】 半径为m的圆O中有一点P,OP4,则过P的最短弦长_,最长弦是_,【26】 如图所示，已知O是PF的平分线上的一点，以O为圆心的圆心角的两边分别交于点A、B、C、D求证:PB=PD,若角的顶点在圆上或圆内,上述还成立吗?请阐明。奋飞教育-您

18、值得信赖的一对一种性化辅导学校征询：575. 过点作OC于ECE=E=BAEOO=. 175mm 略 5.2 6. .3.6 . 1210.D1 A1 .1. 1m或3cm.=cm6()图略（2）13cm17. 外、上、内 C、9. ()A=90;(2)A为钝角; (3）A为锐角。20. 7m或1c1. CD2m）215cm -c 24.1cm;42 5. 6cm,10cm2.（)证明:过O作OE于E,于FOP平分EPE=OF,PE=PFABCD,则BEDFPE+BPF+DFPB=(）上述结论仍成立:如下图所示证明略。9. 外部3. 内部、奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询：517

19、856AA ECA=PC PA=P1.下列说法中对的的是( ).A相等的圆心角所对的弧相等 B.等弧所对的圆心角相等 C相等的弦所对的弦心距相等 D.弦心距相等,则弦相等 2在半径为5m为圆中，有一条长为6的弦,则圆心到此弦的距离为（ ).A.3cm 4cmC.5m D.6cm 3.在两个半径不同的圆中,分别有面结论中对的的是( ) .CB.和D.所对的两个圆心角相等 和所对的弦的弦心距相等和,若和的度数相等,那么下所对的弦和所对的弦相等4.下列说法:等弧的度数相等；等弧的长度相等;度数相等的两条弧是等弧；长度相等的两条弧是等弧，其中对的的有（）A.个 2个 C3个 D.4个5如图5,以为圆心

20、的两个同心圆,大圆的半径A、分别和小圆相交于A、，则下面对的的是（ ). A弦B和弦AB相等 C=.的长度的度数=的长度 的度数奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询：361856图.在中,弦B把提成度数的比为的两条弧,则A.3 的度数是( ). .45 0 D.901.在中,弦A所对的劣弧为圆的,圆的半径为4c,则弦AB的长是( ) 3A.cmB2m 2c D.4cm.如图8,点O是PF的平分线上一点，以O为圆心的圆与角的两边分别相交于A、B和C、D,角平分线PO和O相交于G、H下列结论:=C；PB=PD;PAPC,其中对的的有（).1个 B.2个 .3个D.个图8弦A把O提成两部分

21、,Bcm,则弦B的弦心距等于_0.直径为0cm的圆中,有一条长为10cm的弦,则这条弦所对的圆心角的度数是_,这条弦的弦心距是_1在O中,AB是弦，OAB=50,则弦AB所对的圆心角的度数是_，弦AB所对的两条弧的度数是_12.在O中,是半径，弦F过C的中点且垂直于C,则弦EF所对的圆心角的度数是_，弦F的弦心距和弦的长的比是_.1.如图3,OA、OB是的两条半径，P是是B的中点，求证:P=PD.的中点,点C是的中点,点D图114.如图14，、D是的直径,弦AECD,连结CE、,求证:BC=CE（用两种措施加以证明)奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询:657856图145.如图1,

22、在ABCD中,以A为圆心，AB为半径作圆，交AD、BC于、G,延长A交A于E，且65,求的度数图1516.弦AB把O提成两条弧,它们的度数比为5,为AB中点,则M=( )A.50 B801 .617在O中,A、是弦,E、O是A、CD的弦心距,若ACD，则、OF的大小关系是().OEF.OE=OF EF D.无法拟定18在中,AB和CD是两条平行弦,且AB、CD所对的圆心角分别是120、60，O的半径为6m,则AB、C之问的距离是_.1如图1，在以为圆心的同心圆中,大圆的弦B交小圆于C、D,B2CD,1弦AB的弦心距OP，小圆和大圆半径分别为、，则=_.2R图1 图20如图20，O的半径=10,

23、弦AB过OP中点Q,且QB45，则弦B的弦心距是_c，弦A的长为_.2如图2,A是的直径,点E、F分别是OA、OB的中点,且EAB,AB,EC、交O于、两点,求证:=.奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询：361756图2.如图，弦AB和CD相交于O内一点P,且POD,求证：（）=;（2)A=C.图22.如图23,O内接AC中,A,AC=10,并且BC=10m,求O的半径A.图232如图24,在O中,AB、D是弦,点E、F是A、CD的中点,并且=,（)求证:EF=FE；(2）若EO=10，OE=4cm,求:E的长.图24奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询:3675625.

24、如图25,AB是O的直径,弦CD和AB相交于,且AP=45,O是弦CD的弦心距，（1)求证：PCPD2OQ;(2）若O的半径为c，求PC2的值.图252如图2，如果和是O的两条弧,并且=，那么AB和CD有如何的大小关系?请证明你的结论.图2.如图7,内接ABC中,B=C=m，C=c，求O的半径.图28如图28,在O中,弦ACD，延长B到点E,延长D到F,使得BE=DF，过O作PF，垂足为，求证:P.图8奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询：35178562如图29，是直径，C、是O上两点，且AB=c,ACD=cm,求BD的长.图91.B 2.B .B 5.D 8.D . 43cm .

25、10,c 110，80或20.20，2313略 .略15.130B 1.D 1833+3或3-312(1)提示:作EB,OD23.2.（1）略（2)4m25.（1）提示:OQ=Q，QDQ，PP=Q+Q(DQ-PQ)(2）0c(提示：连结,CQ=PC+PD,加上(1）的结论可得出） 2m，5m21提示:连结OC、OD 2m 326.AB2C（提示:取2的中点E,连结AE、BE) 25c（提示:作直径D交BC于E，连结B)828.提示：作OAB,O，连结E、OF，证EOF奋飞教育-您值得信赖的一对一种性化辅导学校征询:36515.m（提示:连结AD、C,A和C相交于E,设为x,由勾股定理2可求x=cm)