教师--第2讲--相似三角形培优讲义2汇总(DOC 19页)

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1、第2讲 相似三角形培优讲义学习重点 ：相似三角形综合应用学习难点：应用相似三角形性质判定综合证明几何题的方法学习过程典型例题例1.已知：如图，在ABC中，BAC900，ADBC于D，E是AB上一点，AFCE于F， AD交CE于G点，求证：BCFDABCDEFG证明：在RtAEC中，AFEC，AC=CFCE【没学射影定理的话也可以根据ACFECA得到AC/CE=CF/AC来证】在RtABC中，ADBC，AC=CDCBCFCE=CDCBCF/CB=CD/CEDCF=ECB，DCFECBB=CFDABCDEFG例2.已知：如图，BDCCEAFGB，求证：BEBACDCABC2证明：BDC=FGB,C

2、BDCBD，BGFBDC BG/BD=BF/BC BF.BD=BG.BC (1)BDC=CEA,即BEF=BDA ,ABDABD，BEFBDA BF/BA=BE/BD BE.BA=BF.BD (2)同理可证，CFGBCE CF/BC=CG/CE CG.BC=CE.CF . (3)同理可证CEACDF ,CE/CD=CA/CF ,CE.CF=CD.CA (4)由(1)(2)得: BE.BA=BG.BC (5)BG=BC-CG BE.BA=BC-CG.BC (6)由(3)(5)两式得： BE.BA=BC-CE.CF 由(4)(6)两式得： BE.BA=BC-CD.CA BE.BA+CD.CA=BC

3、例3、如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足（1）求点，点的坐标（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）OB2-3=0，OA-1=0OB= ，OA=1 点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上，A（1，0），B（0，）（2）由（1），得AC=4， =12+()2=2， =()2+(3)2=2，AB2+BC2=22+（2）2=16=AC2ABC为直角三角形，ABC=90设

4、CP=t，过P作PQCA于Q，由CPQCBO，易得PQ= ，S=SABC-SAPC= 4-4= 2-t（0t 23）（3）P(-3,0), (-1,), (1,), (3, )例4、如图1，在RtABC中，BAC=90，ADBC，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OEBO交BC边于点E（1）求证：ABFCOE；（2）当O为AC边中点，时，如图2，求的值；（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值BBAACOEDDECOF图1图2F解：(1)ADBC，DAC+C =90BAC =90 BAF=COEOB，BOA+COE =90，BOA+ ABF= 90ABF= COEABFCOE(2)作O

5、GAC，交AD的延长线于G，AC= 2AB，O是AC边的中点，AB= OC= OA由(1)有ABFCOE,ABFCOE.BF= OE， BAD+DAC =90，DAB+ ABD =90，DAC =ABD又BAC= AOG= 90，AB= OA，ABCOAG.OG =AC= 2AB，OGOA，ABCOAG.OC =AC= 2AB，OGOAABOGABFGOF，(3)例5、如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是DC中点，点F在BC边上，且CF=1，在AEF中作正方形A1B1C1D1，使边A1B1在AF上，其余两个顶点C1、D1分别在EF和AE上（1）请直接写出图中两直角边之比等于1：2的三个直角

6、三角形（不另添加字母及辅助线）；（2）求AF的长及正方形A1B1C1D1的边长；（3）在（2）的条件下，取出AEF，将EC1D1沿直线C1D1、C1FB1沿直线C1B1分别向正方形A1B1C1D1内折叠，求小正方形A1B1C1D1未被两个折叠三角覆盖的四边形面积解：（1）RtCEF、RtADE、RtAEF、RtAA1D1、RtED1C1、RtC1B1F（写出其中三个即可）（2）AF=5过E作EMAF，垂足为M，交D1C1于N，则AD=4，DE=EC=2，CF=1，EF=，AE=2，EMAF=AEEF=2SAEF，即5EM=2，EM=2，四边形A1B1C1D1是正方形D1C1AFD1C1EAFE

7、设正方形A1B1C1D1的边长为x，则解得x=正方形A1B1C1D1的边长为（3）D1C1=，EN=2-=SD1EC1=，C1B1=B1F=SC1B1F1=1=2，1+4=90，2+3=903=4E1点在C1F1上又=（）2=S未被覆盖四边形=-=例6、如图，在边长为8厘米的正方形ABCD内，贴上一个边长为4厘米的正方形AEFG，正方形ABCD未被盖住的部分为多边形EBCDGF动点P从点B出发，沿B?C?D方向以1厘米/秒速度运动，到点D停止，连接PA，PE设点P运动x秒后，APE与多边形EBCDGF重叠部分的面积为y厘米2（1）当x=5时，求y的值；（2）当x=10时，求y的值；（3）求y与

8、x之间的函数关系式；（4）在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象解：设AP与EF（或GF）交于点Q（1）在正方形ABCD和正方形AEFG中，E为AB中点，EQBP，即EQ为ABP的中位线当x=5时，PB=5，QE=PB=，BE=4，y=EQEB=4=5（2）当x=10时，如图2，PD=6，GQ=3，QF=FG-GQ=1，AE=4S梯形AQFE=4=10SPAE=AEBC=48=16，y=SPAE-S梯形AQFE=16-10=6（3）当0x8时，y=x；当8x12时，y=-x+16；当12x16时，y=4（4）图象如下：分析：（1）由于图1中的重叠部分为PQE，y=SPQE=12EQEB（

9、2）图2中的重叠部分y=SPAE-S梯形QFEA（3）由题意知y与x之间的函数关系式写为0x8，8x12，12x16三段分别求解（4）根据题意直接作图即可点评：此题是一个动点问题，考查正方形的性质，中位线的性质及图形面积的求法作为压轴题，综合了初中阶段的重点知识，能够培养同学们综合运用知识的能力目标训练一、选择题：1、如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴的夹角为60,且点A坐标为(- 2,0),点B在x轴上方,设AB=a,那么点B的横坐标为( D )A、2- B、2+ C、-2- D、-2+分析：本题本题可先根据三角函数求出AC和BC的值，由此即可得出B点的坐标解：BAC=60，BCA=9

10、0，AB=a，则AC=ABcos60=a，BC=ABsin60=a，点B的横坐标为a-2，纵坐标为a故选D2、如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（） ABCD分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，小鸟在花圃上的概率为= 故选C3、如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF

11、：FC=（）A1：4B1：3C2：3D1：2分析：首先证明DFEBAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值解：在平行四边形ABCD中，ABDC，则DFEBAE，=，O为对角线的交点，DO=BO，又E为OD的中点，DE=DB，则DE：EB=1：3，DF：AB=1：3，DC=AB，DF：DC=1：3，DF：FC=1：2故选D4、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（ ）.BA. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个解：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的

12、直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x的值为，故x的值可以为5或.两种情况。5、如图，在ABC中A=60，BMAC于点M，CNAB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：PM=PN；PMN为等边三角形；当ABC=45时，BN=PC其中正确的个数是（）A1个 B2个 C3个 D4个分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断正确；先证明ABMACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出ABM=ACN=30，再根据三角形的内角和定理求出BCN+CBM=60，然后根据三角形的一个外角等于与它

13、不相邻的两个内角的和求出BPN+CPM=120，从而得到MPN=60，又由得PM=PN，根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形可判断正确；当ABC=45时，BCN=45，由P为BC边的中点，得出BN=PB=PC，判断正确解：BMAC于点M，CNAB于点N，P为BC边的中点，PM=BC，PN=BC，PM=PN，正确；在ABM与ACN中，A=A，AMB=ANC=90，ABMACN，正确；A=60，BMAC于点M，CNAB于点N，ABM=ACN=30，在ABC中，BCN+CBM180-60-302=60，点P是BC的中点，BMAC，CNAB，PM=PN=PB=PC，BPN=2BCN，CPM=2C

14、BM，BPN+CPM=2（BCN+CBM）=260=120，MPN=60，PMN是等边三角形，正确；当ABC=45时，CNAB于点N，BNC=90，BCN=45，BN=CN，P为BC边的中点，PNBC，BPN为等腰直角三角形BN=PB=PC，正确 故选D6、如图，BAC=DAF=90，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且DAE=45，连接EF、BF，则下列结论：AEDAEF；ABEACD；BE+DCDE；BE2+DC2=DE2，其中正确的有（）个A1 B2 C3 D4分析：根据DAF=90，DAE=45，得出FAE=45，利用SAS证明AEDAEF，判定正确；如果ABEACD，

15、那么BAE=CAD，由ABE=C=45，则AED=ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定错误；先由BAC=DAF=90，得出CAD=BAF，再利用SAS证明ACDABF，得出CD=BF，又知DE=EF，那么在BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BFEF，等量代换后判定正确；先由ACDABF，得出C=ABF=45，进而得出EBF=90，然后在RtBEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代换后判定正确解：DAF=90，DAE=45，FAE=DAFDAE=45在AED与AEF中，AEDAEF（SAS），正确；BAC=90，AB=AC，ABE=C=45点D、E为BC边

16、上的两点，DAE=45，AD与AE不一定相等，AED与ADE不一定相等，AED=45+BAE，ADE=45+CAD，BAE与CAD不一定相等，ABE与ACD不一定相似，错误；BAC=DAF=90，BACBAD=DAFBAD，即CAD=BAF在ACD与ABF中，ACDABF（SAS），CD=BF，由知AEDAEF，DE=EF在BEF中，BE+BFEF，BE+DCDE，正确；由知ACDABF，C=ABF=45，ABE=45，EBF=ABE+ABF=90在RtBEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，BF=DC，EF=DE，BE2+DC2=DE2，正确所以正确的结论有故选C二、填空题：1、如图

17、，在ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件ACD=ABC（答案不唯一），使ABCACD（只填一个即可）分析：相似三角形的判定有三种方法：三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似由此可得出可添加的条件解答：解：由题意得，A=A（公共角），则可添加：ACD=ABC，利用两角法可判定ABCACD故答案可为：ACD=ABC2、将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是分析：由BAC=ACD=90，可得ABCD，即可证得ABEDCE，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然

18、后利用三角函数，用AC表示出AB与CD，即可求得答案解答：解：BAC=ACD=90，ABCD，ABEDCE，在RtACB中B=45，AB=AC，在RtACD中，D=30，CD=AC，=故答案为：3、如图，ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为16分析:根据题意可判定AEFABC，利用面积比等于相似比平方可得出ABC的面积，继而根据S四边形EBCF=SABCSAEF，即可得出答案解：，EFBC，AEFABC，=（）2=（）2=，SABC=18，则S四边形EBCF=SABCSAEF=182=16故答案为：164、如图，在边长为9的正三角形ABC中

19、，BD=3，ADE=60，则AE的长为7分析：先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据ADE=60和等边三角形的性质，证明ABDDCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度解：ABC是等边三角形，B=C=60，AB=BC；CD=BCBD=93=6；BAD+ADB=120ADE=60，ADB+EDC=120，DAB=EDC，又B=C=60，ABDDCE，则=，即=，解得：CE=2，故AE=ACCE=92=7故答案为：7三、解答题：1.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点

20、D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果、同时出发，用t秒表示移动的时间（0 t 6），那么：（1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？分析：（1）当三角形QAP为等腰三角形时，由于A为直角，只能是AQ=AP，建立等量关系，即时，三角形QAP为等腰三角形；（2）四边形QAPC的面积=ABCD的面积三角形QDC的面积三角形PBC的面积=36，即当P、Q运动时，四边形QAPC的面积不变。（3）显然有两种情况：PAQABC，QAPABC，由相似关系得或，解之得或解：（1）由题

21、意得t秒时，AP=2t cm，DQ=t cm，AQ=（6-t）cm，当AP=AQ时，即2t=6-t，即t=2，QAP为等腰三角形。（2）QAP=B=90当时，即即t=3，PAQABC或者，当，即即t=1.2，QAPABC答：t=3或1.2时，以点Q、A、P为顶点的三角形和ABC相似。2、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似ADFDEC；（2）利用ADFDEC，可以求出线段DE的长度；然后在在RtADE中，利用勾

22、股定理求出线段AE的长度解答：（1）证明：ABCD，ABCD，ADBC，C+B=180，ADF=DECAFD+AFE=180，AFE=B，AFD=C在ADF与DEC中，ADFDEC（2）解：ABCD，CD=AB=8由（1）知ADFDEC，DE=12在RtADE中，由勾股定理得：AE=63、如图1，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EMBD垂足为M，ENCD垂足为N。（1）当AD=CD时，求证：DEAC；（2）探究：AD为何值时，BME与CNE相似？（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与BDE的面积相等。解：（1）又DE是BD

23、C的平分线BDC=2BDEDAC=BDEDEAC。（2）（i）当时，得BD=DCDE平分BDCDEBC，BE=EC又ACB=90DEAC即AD=5。（2）当时，得ENBD又ENCDBDCD即CD是ABC斜边上的高由三角形面积公式得ABCD=ACBCCD=综上，当AD=5或时，BME与CNE相似。（3）由角平分线性质易得即EM是BD的垂直平分线EDB=DBEEDB=CDEDBE=CDE又DCE=BCD即由得4、如图,已知，在ABC中,BA=BC=20，AC=30,点P从A点出发,沿AB以4/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发,沿CA以3/s的速度向A点运动,设运动时间为x，（1）当x为何值时

24、,PQBC；（2）当 时,求 的值；（3）APQ能否与CQB相似,若能,求出AP的长,若不能,请说明理由. （9分）【解析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质.(1)当PQBC时，根据平行线分线段成比例定理，得出比例关系，再根据P、Q的速度，用x表示AP,AQ,然后根据得出的关系式求出x的值（2）根据相似三角形的性质求解解：（1）AP=4x，AQ=AC-CQ=30-3x，PQBC，即当s时，PQBC。（2），又，。（3）能；A=C，当时，APQ与CQB相似，当，；当，即x2+5x-50=0，解得x1=5，x2=-10（舍去），AP=4x=20，当cm或20cm时，APQ与CQB相似。5、如图

25、,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=3，BC=7，B=60，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP,过P点作PE交DC于E,使得APE=B.（1）求证：ABPPCE；（2）求等腰梯形的腰AB的长；（3）在底边BC上是否存在一点P,使得DEEC=53?如果存在,求出BP的长,如果不存在,请说明理由.【答案】 （1）欲证ABPPCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出B=C，根据三角形外角的性质可证得EPC=BAP；由此得证；（2）AB=4cm；（3）BP=1cm或6cm分析：（1）欲证ABPPCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出B=C，根据三角形外角的性质可证

26、得EPC=BAP；由此得证；（2）可过作AFBC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在RtABF中，根据B的度数及BF的长即可求得AB的值；（3）在（2）中求得了AB的长，即可求出DE：EC=5：3时，DE、CE的值设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据（1）的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长若方程无解，则说明不存在符合条件的P点解：（1）由APC为ABP的外角得APC=B+BAP；B=APEEPC=BAP B=CABPPCE；（2）作AFBC于F，由已知易求得BF=，在RtABF中

27、，B=60，BF=2cm，AB=4（cm）；（3）存在这样的点P理由：由DE：EC=5：3 DE+EC=4，得EC=，APC=APE+EPC=B+BAP，B=APE，EPC=BAP，又B=C，ABPPCE，设BP=x，则PC=7-x，解得x1=1，x2=6，经检验，都符合题意，BP=1cm或6cm。6.如图，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A?B?C的路线以3m/s的速度跑向C地当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶当张华跑到距B地2m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对

28、角线AC上（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米？（DE的长）（2）求张华追赶王刚的速度是多少？（精确到0.1m/s） 分析：（1）提示：利用平行投影的性质，确定ACDE，利用三角形相似（ACBDEB）求解即可；（2）利用勾股定理求出BE的长，然后求出王刚的时间，减去4得到张华的时间，再根据速度=路程时间列式计算即可求解解：（1）根据题意可知：DEAC，ACBDEB，在RtABC中，AB=40m，BC=30m，BD=m，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，AC=50m，=，即DE=；（2）根据题意得DE2=BD2+BE2，BE=2m，s王=AB+BE=42m，t王=14s，t张=t王-4=10s，s张=AD=AB-BD=40-2=-=m，v张=3.7m/s答：（1）他们的影子重叠时，两人相距米（2）求张华追赶王刚的速度是3.7m/s19