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1、 第三章作业题解答参考5 显然，且10设根据题意：对任意的，有，故对任意的，有考虑到为的增函数，这样类似于教材P98页引理.4.1的证明，我们可以证得：，其中为一常数又因为，故因此，即服从的均匀分布12.因为和，显然关于每个变元非降，左连续且但因为，故无法使得(3.2.5)式非负15.（）因，故，则（）（）的边际分布密度为：（）（）因故（）19. 证：我们有,代入的表达式得 (1)又有 (2)由（1），（2）知是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为,.23. 证：当时，其余。同理当时，其余.当时有，所以与不独立。现用分布函数来证明与独立。的分布函数记为，则当时，；同理可求得的分布
2、函数，得联合分布函数记为，则当时同理得当时；当时 =合起来写得 不难验证对所有都成立，所以与独立。24. 证：由题设得，。，同理可证 ，.所以与相互独立。用同样的方法可片与也相互独立。但，所以只两两独立而不相互独立。28. 解：（1）为求的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：其中利用到独立性。（a） ； (b)； (c) (2)因为，所以 （3） 30. 解：， 由求商的密度函数的公式得, 即服从柯西分布。33. 解：设在内任意投两点，其坐标分别为，则的联合分布密度为。设，则的分布函数为，当时；当时；当时，积分S为平面区域ABCDEF的面积，其值为 ，所以 .y E D F C A B a x
3、38. 解：由题意， 对，作变换，因此 所以。 这样，的联合密度函数为 于是，和的边际密度函数分别为 于是，和独立且服从分布。40. 解：令，当或时，U，V联合密度；当且时作变换，则，由此得U服从分布，V服从(0,1)分布，且U与V相互独立。40、解:（3.2.22）式为 设。作变换，则，, 。U，V的联合密度函数为设U，V的边际分布密度函数分别为，欲U与V独立，必须且只需，由的表达式可知，这当且仅当时成立。U，V相互独立与相互独立显然是等价的，所以相互独立的充要条件是。当时，得，。42. 解：. .的边际密度函数为（积分时在指数中对z配方）令，利用得45. 解：因，服从上的均匀分布，且与相互独立，则当时，当时，当时， 而 ， 因此，的分布函数为：且的密度函数为： 。
近代概率论基础第三章作业解答(参考)
