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1、几种常见的放缩法证明不等式的方法 一、放缩后转化为等比数列。例 1.nb满足：2111,(2)3nnnbbbnb（1）用数学归纳法证明：nbn（2）1231111.3333nnTbbbb，求证：12nT 解：(1)略(2)13()2(3)nnnnbb bnb 又 nbn 132(3)nnbb，*nN 迭乘得：11132(3)2nnnbb 点评：把握“3nb”这一特征对“21(2)3nnnbbnb”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加 例 2 数列na，11(1)nnan，其前n项和为
2、ns 求证：222ns 解：2111111.234212nsnn 令12(21)nbnn，nb的前n项和为nT 当2n时，1111()2(22)41nbnnnn 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。例 3.已知函数()(0)bf xaxc ax的图象在(1,(1)f处的切线方程为（1）用a表示出,b c（2）若()lnf xx在1,)上恒成立，求a的取值范围（3）证明：1111.ln(1)232(1)nnnn 解：（1）（2）略（3）由（I
3、I）知：当)1(ln)(,21xxxfa有时 令).1(ln)1(21)(,21xxxxxfa有 且当.ln)1(21,1xxxx 时 令),111()11(2111211ln,1kkkkkkkkkx有 即.,3,2,1),111(21ln)1ln(nkkkkk 将上述 n 个不等式依次相加得 整理得 点评：本题是 2010湖北高考理科第 21 题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。三、放缩后迭乘 例 4*1111,(14124)()16nnnaaaanN.（1）求23,a a（2）令124nnba，求数列 nb的通项公式（3）已知1()63nnf naa，求证：1(1)(2)(3).()2ffff n 解：（1）（2）略 由（2）得2 111()()3 423nnna 点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求n项和时用迭加，求n项乘时用迭乘。
几种常见的放缩法证明不等式的方法155
