几种常见的放缩法证明不等式的方法155
几种常见的放缩法证明不等式的方法 一、放缩后转化为等比数列。例 1.nb满足:2111,(2)3nnnbbbnb(1)用数学归纳法证明:nbn(2)1231111.3333nnTbbbb,求证:12nT 解:(1)略(2)13()2(3)nnnnbb bnb 又 nbn 132(3)nnbb,*nN 迭乘得:11132(3)2nnnbb 点评:把握“3nb”这一特征对“21(2)3nnnbbnb”进行变形,然后去掉一个正项,这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法,似乎是不可能的,为什么?值得体味!二、放缩后裂项迭加 例 2 数列na,11(1)nnan,其前n项和为ns 求证:222ns 解:2111111.234212nsnn 令12(21)nbnn,nb的前n项和为nT 当2n时,1111()2(22)41nbnnnn 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数,也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大,得不到证题结论,前三项不变,从第四项开始放大,命题才得证,这就需要尝试和创新的精神。例 3.已知函数()(0)bf xaxc ax的图象在(1,(1)f处的切线方程为(1)用a表示出,b c(2)若()lnf xx在1,)上恒成立,求a的取值范围(3)证明:1111.ln(1)232(1)nnnn 解:(1)(2)略(3)由(II)知:当)1(ln)(,21xxxfa有时 令).1(ln)1(21)(,21xxxxxfa有 且当.ln)1(21,1xxxx 时 令),111()11(2111211ln,1kkkkkkkkkx有 即.,3,2,1),111(21ln)1ln(nkkkkk 将上述 n 个不等式依次相加得 整理得 点评:本题是 2010湖北高考理科第 21 题。近年,以函数为背景建立一个不等关系,然后对变量进行代换、变形,形成裂项迭加的样式,证明不等式,这是一种趋势,应特别关注。当然,此题还可考虑用数学归纳法,但仍需用第二问的结论。三、放缩后迭乘 例 4*1111,(14124)()16nnnaaaanN.(1)求23,a a(2)令124nnba,求数列 nb的通项公式(3)已知1()63nnf naa,求证:1(1)(2)(3).()2ffff n 解:(1)(2)略 由(2)得2 111()()3 423nnna 点评:裂项迭加,是项项相互抵消,而迭乘是项项约分,其原理是一样的,都似多米诺骨牌效应。只是求n项和时用迭加,求n项乘时用迭乘。