多元函数的极值及其应用

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1、第六讲第六讲 多元函数的极值及其应用多元函数的极值及其应用 内容提要内容提要 1.多元函数的极大值与极小值；多元函数的极大值与极小值；2.最值问题；最值问题；3.条件极值。条件极值。教学要求教学要求 1.理解多元函数极值和条件极值的概念；理解多元函数极值和条件极值的概念；2.掌握多元函数极值存在的必要条件；掌握多元函数极值存在的必要条件；3.了解二元函数极值存在的充分条件；了解二元函数极值存在的充分条件；4.会用拉格朗日乘数法求条件极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；5.会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简 单的应用问题。单的应用问题

2、。实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元元.如果本地如果本地牌子的每瓶卖牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖 元，元，则每天可卖出则每天可卖出 瓶瓶本地牌子的果汁本地牌子的果汁，瓶瓶外地牌子的果外地牌子的果 汁汁,问：店主每天以什么价格问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？卖两种牌子的果汁可取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益为每天的收益为),(yxf)7680)(2.1()4570)(1(yxyyxx 一、多元函数的极值和最大值、最小值

3、一、多元函数的极值和最大值、最小值求最大收益即为求二元函数求最大收益即为求二元函数 的最大值的最大值.),(yxf 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异于于),(00yx的的点点),(yx：若若满满足足不不等等式式),(),(00yxfyxf，则则称称函函数数在在),(00yx有有极极大大值值；若若满满足足不不等等式式),(),(00yxfyxf，则则称称函函数数在在),(00yx有有极极小小值值；1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值.使使函函数数取取得得极极值值

4、的的点点),(00yx称称为为极极值值点点.与一元函数类似，多元函数的最值与极值有关，与一元函数类似，多元函数的最值与极值有关，下面以二元函数为例讨论多元函数的极值问题下面以二元函数为例讨论多元函数的极值问题.22yxz 又如函数又如函数再如再如xyz 函函数数例如例如2243yxz 函函数数处有极小值处有极小值在在)0,0(处有极大值处有极大值在在)0,0(处无极值处无极值在在)0,0(oxyzoxy定定理理 1 1（必必要要条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx具具有有偏偏导导数数，且且在在点点),(00yx处处有有极极值值，则则它它在在该该点点的的偏偏导导数数必必然

5、然为为零零,即即 0),(00 yxfx，0),(00 yxfy.2 2、二元函数取得极值的条件、二元函数取得极值的条件不不妨妨设设),(yxfz 在在点点),(00yx处处有有极极大大值值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意),(yx),(00yx都都有有),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,即即 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.例如例如 点点)0,0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不

6、是是极极值值点点.凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点对可偏导的函数对可偏导的函数问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：定定理理 2 2（充充分分条条件件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数，记记Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，且且 0),(00 yxfx,0),(00 yxfy，则则),(yxf在在点点),(00yx处处是是否否取取得得极极值

7、值的的条条件件如如下下：（1 1）当当,02时时 ACB点点),(00yx是是极极值值点点 当当0 A时时是是极极大大值值点点，当当0 A时时是是极极小小值值点点；（2 2）02 ACB时时不不是是极极值值点点；（3 3）02 ACB时时可可能能是是极极值值点点,也也可可能能不不是是极极值值点点，还还需需另另作作讨讨论论求求函函数数),(yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤：第第一一步步 解解方方程程组组求求出出实实数数解解，得得驻驻点点.第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx，求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C.第第三三步步 定定出出ACB 2的的符符号号，

8、再再判判定定是是否否是是极极值值.,0),(yxfx0),(yxfy ),(000zyxfAxx),(000zyxfBxy),(000zyxfCyy（1 1）当当,02时时 ACB点点),(00yx是是极极值值点点 当当0 A时时是是极极大大值值点点，当当0 A时时是是极极小小值值点点；（2 2）02 ACB时时不不是是极极值值点点；.,0)3(2不不确确定定 ACB的的极极值值求求函函数数例例xyyxz3 133 解解xyyxyxf3),(33 3,6),(,6),(33),(,33),(22 xyyyxxyxfyyxfxyxfxyyxfyxyxf 解解得得驻驻点点由由 033),(033)

9、,(22xyyxfyxyxfyx)0,0(,)1,1(有有对对于于驻驻点点)1,1(6)1,1(,3)1,1(,6)1,1(yyxyxxfCfBfA,03692 ACB于于是是,06 A因因为为1)1,1()1,1(f点点取取得得极极小小值值所所以以函函数数在在0,3,0),0,0(CBA对对于于驻驻点点,09 2 ACB所所以以.)0,0(不不是是极极值值点点于于是是点点求最值的一般方法求最值的一般方法：将函数在将函数在 D D 内的所有驻点处的函数值及内的所有驻点处的函数值及在在 D D 的边界上的最大值和最小值相互比较，的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最

10、小值其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.二、二元函数的最值二、二元函数的最值例例 2 2 求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x轴轴和和y轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域 D上上的的最最大大值值与与最最小小值值.解解先先求求函函数数在在D内内的的驻驻点点，xyo6 yxD 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx 一阶偏导数为一阶偏导数为令令求求驻驻点点,yxyxxyyxfx2)4(2),(

11、yxyxxyxfy22)4(),(得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点)1,2(,且且4)1,2(f,再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值，在在边边界界0 x和和0 y上上0),(yxf,)4(),(2yxyxyxfz xyo6 yx2624xxfx 322212)2)(6(),(xxxxyxf 于于是是,6)3(上上在在边边界界 yxxy 6即即)0(,2|64 xxyx舍舍去去,64)2,4(f于于是是 比比较较后后可可知知4)1,2(f为为最最大大值值,4,00)(21 xxxfx 得得令令为最小值为最小值64)2,4(f),(yxf归结出来的函数归结出来的函数知知道道,按问

12、题的性质按问题的性质若若在在解解决决实实际际问问题题时时,由该问题由该问题内内在在开开区区域域 D内只有内只有而函数在而函数在或最小值或最小值一定能取得最在值一定能取得最在值D),(的的函函数数值值就就是是那那么么可可以以肯肯定定该该驻驻点点处处一一个个驻驻点点,.)(),(值值小小上上的的最最大大在在函函数数Dyxf yxS0,0的定义域为的定义域为,的偏导数的偏导数求求S222 ,2yVxySxVyxS ,)2,2(33只有一个只有一个求得驻点求得驻点VV,在定义域内必有最小值在定义域内必有最小值可知可知 S,)2,2(33取得最小值取得最小值VV当容器的当容器的这就是说这就是说,.,22

13、,2,2333用料最省用料最省时时高为高为宽为宽为长长VVV 由由问问题题的的性性质质在在所所以以S为为一一定定的的无无盖盖长长方方体体用用钢钢板板制制作作一一个个容容积积例例V 3.,才才能能使使用用料料最最省省高高宽宽问问如如何何选选取取长长容容器器 解解,xyVyx则则高高为为宽宽为为设设容容器器的的长长为为的的表表面面积积为为)22(yxxyVxyS )11(2yxVxy 因因此此容容器器实例：实例：毛毛有毛毛有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，

14、盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxUlnln),(问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),(200108 yx三、条件极值三、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法无条件极值无条件极值：在研究极值时，对自变量除了在研究极值时，对自变量除了限制在定义域内外，并无其它条件限制在定义域内外，并无其它条件.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数

15、要找函数),(yxfz 在条件在条件0),(yx 下的可能极下的可能极值点，值点，先构造拉格朗日函数先构造拉格朗日函数),(),(),(yxyxfyxL 其中其中 为某一待定常数为某一待定常数 求求),(yxL的一阶偏导数，并求驻点的一阶偏导数，并求驻点 ),(),(),(),(),(yxLyxyxfLyxyxfLyyyxxx 000 LLLyx令令解出解出,yx，其中，其中yx,就是就是可能可能的极值点的坐标的极值点的坐标.求条件极值的方法：求条件极值的方法：.,24求求出出面面积积最最大大的的矩矩形形的的条条件件下下在在周周长长等等于于例例a解解，宽为宽为设矩形的长为设矩形的长为yx,)2

16、0,20(:ayaxDxyA 面面积积函函数数则则.ayx 约约束束条条件件为为)(),(ayxxyyxL 作拉格朗日函数作拉格朗日函数 000ayxxyLyxL .2,2ayxa 解解之之上上的的唯唯一一驻驻点点，为为开开区区域域 Daa)2,2(.2的的正正方方形形即即为为所所求求所所以以边边长长为为a拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(zyxfu 在条件在条件0),(zyx，0),(zyx 下的极值。下的极值。先构造函数先构造函数 ),(),(21zyxfzyxL ),(),(21zyxzyx 其中其中21,均为待

17、定常数，可由均为待定常数，可由 偏导数为零及条件解偏导数为零及条件解出出zyx,，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标.例例 5 5 将将正正数数 12分分成成三三个个正正数数zyx,之之和和 使使得得zyxu23 为为最最大大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxL ,0120020323322zyxLyxLyzxLzyxLzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2,4,6(，.691224623max u则则故故最最大大值值为为例例6,0上上找找一一点点在在平平面面 DCzByAx的的距距离离最最小小使使其其到到),(0000zyxP解解 设寻找的那一点为设寻找的那一点为),(zyxP

18、显然要求函数显然要求函数202020)()()(),(zzyyxxzyxl 下的最小值下的最小值在约束条件在约束条件0 DCzByAx,2具具有有相相同同的的极极值值状状态态与与注注意意到到ll所所以以202020)()()(),(zzyyxxzyxL )(DCxByAx 并并令令其其等等于于零零得得求求偏偏导导,00)(20)(20)(2000 DCzByAxLCzzzLByyyLAxxxL aCzzByyAxx2222000 解解得得222000CBADCzByAxa 其其中中 于是所求驻点为于是所求驻点为),(000aCzaByaAx ,即为最小值点即为最小值点的最小的最小 l值值为为202020)()()(zzyyxxl 222222CaBaAa 222|CBAa 222000|CBADCzByAx 多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法多元函数的最值多元函数的最值小结小结