电路分析：第七章 电容元件和电感元件 1

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1、第七章第七章 电容元件和电感元件电容元件和电感元件 71 电容元件电容元件 72 电感元件电感元件 73 动态电路的电路方程动态电路的电路方程（自学）（自学）74 电路应用，电路实验和计算机分电路应用，电路实验和计算机分析电路实例析电路实例 （自学）（自学）电阻器电阻器电容器电容器电感线圈电感线圈电池电池运算放大器运算放大器晶体管晶体管71 电容元件电容元件 低频信号发生器的内部结构低频信号发生器的内部结构71 电容元件电容元件电容器电容器引线引线引线引线绝缘介质绝缘介质金属片金属片电路符号电路符号电容、电容器（电容、电容器（Capacitance Capacitance、Capacitor)

2、Capacitor)电容器是一储能元件。电容器是一储能元件。纸质电容器纸质电容器陶瓷电容器陶瓷电容器电解电容器电解电容器钽电容器钽电容器可变电容器可变电容器一、一、电容元件电容元件 电容元件的定义是：电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由其电荷与电压之间的关系由uq平面上一条曲线所确定，则平面上一条曲线所确定，则称此称此二端元件为电容元件二端元件为电容元件。a)电容元件的符号电容元件的符号 (c)线性时不变电容元件的符号线性时不变电容元件的符号 b)电容元件的特性曲线电容元件的特性曲线 (d)线性时不变电容元件的特性曲线线性时不变电容

3、元件的特性曲线 电容元件的符号和特性曲线如图电容元件的符号和特性曲线如图(a)和和(b)所示。所示。其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。线性电容元件，否则称为非线性电容元件。线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和和(d)所所示，示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为其数学表达式为:Cuq 式中的系数式中的系数C为常量，与直线的斜率成正比，称为电为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位

4、是法容，单位是法拉拉,用用F表示。表示。二、电容元件的电压电流关系二、电容元件的电压电流关系 对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式:tuCtCutqtiddd)(ddd)(此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关

5、系。+-uCi+q-q例例1、图示稳态电路，求、图示稳态电路，求uc 。uc1F7V644 二、电容元件的电压电流关系二、电容元件的电压电流关系 对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式:tuCtCutqtiddd)(ddd)(此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束

6、关系。容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。（重点）（重点）+-uCi+q-q例例1、图示稳态电路，求、图示稳态电路，求uc 。（3V）uc1F7V644电容元件电容元件 电容器是一种能储存电荷的器件电容器是一种能储存电荷的器件,电容电容元件是电容器的理想化模型。元件是电容器的理想化模型。斜率为斜率为R0qu图图1 电容的符号、线性非时电容的符号、线性非时变电容的特性曲线变电容的特性曲线 当电容上电压

7、与电荷为当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷关联参考方向时，电荷q与与u关系为：关系为：q(t)=Cu(t)C是电容的电容量，亦是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。即特性曲线的斜率。当当u、i为关联方向时为关联方向时,据电据电流强度定义有流强度定义有 i=C du(t)/dt非关联时：非关联时：i=-C du(t)/dt+-uCi+q-q 在已知电容电压在已知电容电压u(t)的条件下，容易求出其电流的条件下，容易求出其电流i(t)。例。例如已知如已知C=1 F电容上的电压为电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其波形如图其波形如图(a)所示，与电压参考方向关联的电流为所示，与电压参

8、考方向关联的电流为:+-uCi+q-q 在已知电容电压在已知电容电压u(t)的条件下，容易求出其电流的条件下，容易求出其电流i(t)。例。例如已知如已知C=1 F电容上的电压为电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其波形如图其波形如图(a)所示，与电压参考方向关联的电流为所示，与电压参考方向关联的电流为:A)5cos(50 A)5cos(1050 d)5sin(10d10 dd)(66tttttuCti+-uCi+q-q例例2 已知已知C=0.5 F电容上的电压波形如图所示，电容上的电压波形如图所示，试求电压电流采用关联参考方向时的电流试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t)，并

9、，并画出波形图。画出波形图。+-uCi+q-q 1.当当0 t 1s 时，时，uC(t)=2t，可以得到，可以得到:解：根据波形的具体情况，解：根据波形的具体情况，按照时间分段计算按照时间分段计算 A1=A101d)2(d105.0dd)(66CCtttuCti 1.当当0 t 1s 时，时，uC(t)=2t，可以得到，可以得到:解：根据波形的具体情况，解：根据波形的具体情况，按照时间分段计算按照时间分段计算 A1=A101d)2(d105.0dd)(66CCtttuCti 2.当当1s t 3s时，时，uC(t)=4-2t，可以得到，可以得到:A1A101d)24(d105.0dd)(66C

10、CtttuCti 1.当当0 t 1s 时，时，uC(t)=2t，可以得到，可以得到:解：根据波形的具体情况，解：根据波形的具体情况，按照时间分段计算按照时间分段计算 3.当当3s t 5s时，时，uC(t)=-8+2t，可以得到，可以得到:A1A101d)28(d105.0dd)(66CCtttuCti 4.当当5s t时，时，uC(t)=12-2t，可以得到，可以得到:A1A101d)212(d105.0dd)(66CCtttuCti 在已知电容电流在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压的条件下，其电压uC(t)为为:tttiCuiCiCiCtu 0 CC0 0 CC CCd)(1)0(

11、d)(1d)(1d)(1)(其中其中 0 CCd)(1)0(iCu称为电容电压的初始值。称为电容电压的初始值。tuCtCutqtiddd)(ddd)(+-uCi+q-q 从上式可以看出电容具有两个基本的性质：从上式可以看出电容具有两个基本的性质：(1)电容电压的记忆性；电容电压的记忆性；任意时刻任意时刻T电容电压的数值电容电压的数值uC(T)，要由从，要由从-到时刻到时刻T之间的全部电流之间的全部电流iC(t)来确定。来确定。也就是说，此时刻以前流过也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻电容的任何电流对时刻T 的电压都有一定的贡献。的电压都有一定的贡献。这与电这与电阻元件的电压或电流仅仅

12、取决于此时刻的电流或电压完全阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说不同，我们说电容是一种记忆元件电容是一种记忆元件。d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)(0 CC0 0 CC CCtttiCuiCiCiCtu+-uCi+q-q 例例3 C=0.5 F的电容电流的电容电流i(t)波形如图所示，波形如图所示，试求电容电压试求电容电压uC(t)。解：根据图解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算波形的情况，按照时间分段来进行计算 1当当t 0时，时，iC(t)=0，可以得到，可以得到:ttiCtu 6 CC0d0102d)(1)(2当当0 t1s时，时，iC(t

13、)=1 A，可以得到，可以得到:V2)s 1(s 1 220d10102)0(d)(1)(C 0 66C CCutttuiCtutt时当 3当当1s t3s时，时，iC(t)=0，可以得到，可以得到:V2)s3(s3 2V=0+V2d0102)1(d)(1)(C 1 6 CCutuiCtutCt时当 4当当3s t5s时，时，iC(t)=1 A，可以得到，可以得到:6V=4V+V2)s5(s5 3)2(t+2d10102)3(d)(1)(C 3 66C CCutuiCtutt时当 5当当5s t时，时，iC(t)=0，可以得到，可以得到:6V0+V6d0102)5(d)(1)(5 6C CCt

14、tuiCtu 根据以上计算结果，可根据以上计算结果，可以画出电容电压的波形如图以画出电容电压的波形如图(c)所示，由此可见任意时刻电所示，由此可见任意时刻电容电压的数值与此时刻以前容电压的数值与此时刻以前的全部电容电流均有关系。的全部电容电流均有关系。例如，当例如，当1st3s时，电时，电容电流容电流iC(t)=0，但是电容电压，但是电容电压并不等于零，电容上的并不等于零，电容上的2V电电压是压是0t1s时间内电流作用的时间内电流作用的结果。结果。(2)电容电压的连电容电压的连续性续性 从上例的计算结从上例的计算结果可以看出，电容电果可以看出，电容电流的波形是不连续的流的波形是不连续的矩形波，

15、而矩形波，而电容电压电容电压的波形是连续的的波形是连续的。当电容电流有界时，电容电压不能突变的性质，当电容电流有界时，电容电压不能突变的性质，常用常用下式表示：下式表示：对于初始时刻对于初始时刻t=0来说，上式表示为来说，上式表示为:)0()0(CC uu)()(CCtutu 利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电容电压值。用后一瞬间的电容电压值。(2)电容电压的连续性电容电压的连续性例例4 图所示电路的开关闭合已久，图所示电路的开关闭合已久，求开关在求开关在t=0时刻断开瞬间电容电压的初始值时刻断开瞬间电容电压的初始值uC(

16、0+)。例例4 图所示电路的开关闭合已久，求开关在图所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻时刻 断开瞬间电容电压的初始值断开瞬间电容电压的初始值uC(0+)。解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定 值，造成值，造成电容电流等于零电容电流等于零，即，即 0dd)(CCtuCti 开关断开前，开关断开前，电容相当于开路。此时电容电压为：电容相当于开路。此时电容电压为：S212C)0(URRRu 当开关断开时，在电阻当开关断开时，在电阻R2和和R3不为零的情况下，不为零的情况下，电容电容电流为有限值，电容电压不能跃变电流为有限值，电容

17、电压不能跃变，由此得到：，由此得到：S212CC)0()0(URRRuu0dd)(CCtuCti例例5 图示电路中的开关闭合已经很久，图示电路中的开关闭合已经很久，t=0时断开开关，时断开开关，试求开关转换前和转换后瞬间的电容电压和电容电流。试求开关转换前和转换后瞬间的电容电压和电容电流。例例5 图示电路中的开关闭合已经很久，图示电路中的开关闭合已经很久，t=0时断开时断开 开关，开关，试求开关转换前和转换后瞬间的电容电压和试求开关转换前和转换后瞬间的电容电压和 电容电流。电容电流。(a)t=0-的电路的电路 (b)t=0+的电路的电路解：解：在图在图(a)所示电路中所示电路中，电容相当于开路

18、。此时得到电容，电容相当于开路。此时得到电容 电压：电压：V5V1021V10)0()0(212C2RRRuuR 此时电阻此时电阻R1和和R2的电流的电流i1(0-)=i2(0-)=10V/2=5A。(a)t=0-的电路的电路 (b)t=0+的电路的电路 开关断开后的电路如图开关断开后的电路如图(b)所示。所示。此时由于此时由于t=0时刻电时刻电容电流有界，电容电压不能跃变，由此得到容电流有界，电容电压不能跃变，由此得到V5)0()0(CCuu(a)t=0-的电路的电路 (b)t=0+的电路的电路 此时电容电流与电阻此时电容电流与电阻R2的电流相同，由此求得：的电流相同，由此求得：A51V5)

19、0()0(2Cii 电容电流由电容电流由iC(0-)=0A变化到变化到iC(0+)=-5A。电阻电阻R1的电流由的电流由i1(0-)=5A变化到变化到i1(0+)=0A。三、电容的储能三、电容的储能 在电压电流采用关联参考方向的情况下，在电压电流采用关联参考方向的情况下，电容的吸收功率为：电容的吸收功率为：tuCtutitutpdd)()()()(在从初始时刻在从初始时刻t0到任意时刻到任意时刻t 时间内得到的能量为：时间内得到的能量为：)()(21)()(),(022)()(0000tutuCuduCddduuCdpttWtututttt+-uCi+q-q由此式可以看出电容是一种储能元件。由

20、此式可以看出电容是一种储能元件。若电容的初始储能为零，即若电容的初始储能为零，即u(t0)=0,则任则任意时刻储存在电容中的能量为：意时刻储存在电容中的能量为：)(21)(2CtuCtW 此式说明此式说明某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值，与电容的电流值无关值，与电容的电流值无关。电容电压的绝对值增大时，电容储能增加；电容电压电容电压的绝对值增大时，电容储能增加；电容电压的绝对值减小时，电容储能减少。的绝对值减小时，电容储能减少。三、电容的储能三、电容的储能 +-uCi+q-q 电容在充电时吸收的电容在充电时吸收的能量全部转换为电场能量，能量全部转换

21、为电场能量，放电时又将储存的电场能放电时又将储存的电场能量释放回电路，量释放回电路，它本身不它本身不消耗能量，也不会释放出消耗能量，也不会释放出多于它吸收的能量多于它吸收的能量，所以，所以称电容为储能元件。称电容为储能元件。)(21)(2CtuCtW三、电容的储能三、电容的储能 例例5、图示稳态电路，求、图示稳态电路，求Wuc 。uc2F7V644例例5、图示稳态电路，求、图示稳态电路，求Wuc 。(9J)uc2F7V644四四:电容元件的串联与并联电容元件的串联与并联1)1)、串联、串联+-C1C2CkCnuk+-uiu=uk=uk(0)+i()d t01Ckk=1nnk=1u(0)=uk(0)k=1n1Cknk=11C=2)2)、并联、并联C=C1+C2+C3+练习如图所示，试写出端口的电压电流关系：练习如图所示，试写出端口的电压电流关系：3F F+u3:1i如图所示，试写出端口的电压电流关系：如图所示，试写出端口的电压电流关系：i=1/3 du/dt3F F+u3:1i