《固体理论讲义》PPT课件

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1、1.自旋波图像自旋波图像 每一格点具有自旋角动量的晶格系统称为每一格点具有自旋角动量的晶格系统称为自旋晶格系统自旋晶格系统由于交互作用，自旋晶格系统的由于交互作用，自旋晶格系统的基态基态是磁性离子自旋排列的是磁性离子自旋排列的有序状态有序状态最常见的简单磁有序状态：铁磁序、反铁磁序、铁淦氧磁序最常见的简单磁有序状态：铁磁序、反铁磁序、铁淦氧磁序依赖相邻磁离子自旋取向依赖相邻磁离子自旋取向 自旋晶格系统的元激发自旋晶格系统的元激发-磁振子磁振子系统受到微扰后的系统受到微扰后的低激发态低激发态是什么形式？是什么形式？设铁磁体中某一格点上的自旋设铁磁体中某一格点上的自旋 因扰动因扰动偏离量子化轴，偏

2、离量子化轴，那么那么（1）它将带动邻近格点自旋取向的改变它将带动邻近格点自旋取向的改变；（；（2）邻近邻近自旋对自旋对 的作用使它恢复原来的取向。的作用使它恢复原来的取向。lSlSlS形成离子自旋相对取向的振荡：由于各格点上进动自形成离子自旋相对取向的振荡：由于各格点上进动自旋的旋的方位角不同方位角不同，类似波动的特性，这就是，类似波动的特性，这就是自旋波自旋波自旋波自旋波的量子称为的量子称为磁振子磁振子磁振子磁振子是描述晶格自旋相对取向振荡的量子，是互作用系是描述晶格自旋相对取向振荡的量子，是互作用系统的统的集体激发集体激发（声子声子是描述晶格是描述晶格离子间相对位移离子间相对位移振荡的振荡

3、的量子量子）电子自旋的概念电子自旋的概念1925年，年，Uhlenbeck和和Goudsmit提出提出电子自旋的概念电子自旋的概念 电子具有电子具有自旋自旋及及自旋角动量自旋角动量纯粹是纯粹是量子特性量子特性；它是描述；它是描述电子状态的电子状态的第四个变量。第四个变量。（其它变量为（其它变量为x,y,z)(1)每个电子具有每个电子具有自旋角动量自旋角动量S，它在空间任何方向上的，它在空间任何方向上的投影只能取投影只能取两个数值两个数值：2zs(2)每个电子具有每个电子具有自旋磁矩自旋磁矩，它在空间任何方向上的投影，它在空间任何方向上的投影只能取只能取两个数值两个数值：为波尔磁子。BBssMM

4、meMSmeMz2自旋角动量满足以下自旋角动量满足以下 对易关系：对易关系：yzxxzxyzzyzxyyxSiSSSSSiSSSSSiSSSSSiSS即42222zyxSSS由于由此得到自旋由此得到自旋角动量平方算符角动量平方算符 的本征值为的本征值为 2S为自旋量子数。其中21)1(43222222sssSSSSzyx两个电子的两个电子的自旋函数自旋函数(1)两个电子两个电子自旋相互反平行自旋相互反平行的态是单一的，我们称这种的态是单一的，我们称这种态为态为独态独态。(2)两个电子两个电子自旋相互平行自旋相互平行的能级是三重简并的，对应于的能级是三重简并的，对应于这些能级的态称为这些能级的态

5、称为三重态三重态。使自旋朝上变为朝下使自旋朝下变为朝上矩阵。为泡利yxyxzyxzyx1001,00,0110)(2iikjiiiPauliS2.海森伯模型海森伯模型（1）自旋自旋-自旋相互作用系统的自旋相互作用系统的哈密顿量哈密顿量可表示为：可表示为：,llllllSSJH)()(llllllRlllJJllJlS这里交换积分两格点离子上电子间的与是自旋算符。个格子磁性离子的矢量代表第其中这就是海森堡模型这就是海森堡模型海森堡模型海森堡模型是建立在下列一套是建立在下列一套假定假定之上的之上的设两格点离子上各有一个自旋设两格点离子上各有一个自旋未配对的未配对的d电子，电子，d电子间交换能电子间

6、交换能作用势。为二格点系统的库仑互其中)()()()()()(12212211122*21*112rVdrdrrrrVrrJEex三重态）单重态）,(1,(01212sJsJEex上式等效地写为：上式等效地写为：s为两格点间组合自旋量子数为两格点间组合自旋量子数两个两个d电子间交换能电子间交换能所对应的所对应的算符表示为：算符表示为：)41(212112ssJHex因为因为43)121(21),1(2221221ssssssss那么1222212122112)(21)41(21JsssJssJ10211212sssssJJ或的本征值分别对应于总自旋算符和交换作用哈密顿为常数项，两格点离子间略去

7、1221J21122ssJHexexH来源于来源于库仑势的交互作用项库仑势的交互作用项，互作用实为，互作用实为静电性的静电性的，不能理解为不能理解为电子磁矩之间的直接磁作用电子磁矩之间的直接磁作用。将上式推广到将上式推广到自旋大于自旋大于1/2的情况，即每个离子上的自的情况，即每个离子上的自旋未配对旋未配对d电子数大于电子数大于1,两格点间交互作用能两格点间交互作用能211211122112222SSJssJssJHjjiijiijex总自旋算符。分别为两格点上离子的其中，jjiisSsS2211,以上假设以上假设：1）同一格点离子上的电子间交互作用忽略不计；同一格点离子上的电子间交互作用忽略

8、不计；2）两格点间所有电子具有相同的交换积分。两格点间所有电子具有相同的交换积分。exH将将 对所有格点求和即的海森堡哈密顿对所有格点求和即的海森堡哈密顿 由于交换作用是由于交换作用是短程作用短程作用，可以只计算，可以只计算近邻格点近邻格点间的作用间的作用JJSSJHlllll为各向同性的常数这里假定,铁淦氧磁性。上式描述亚铁磁性。即不同）磁离子（时、且近邻格点为不同当铁磁性。时，上式可用于描述反当。时，上式基态为铁磁序当差。代表近邻格点间位置矢S000JJJ(2)海森堡哈密顿量的推导海森堡哈密顿量的推导 狄拉克在二十年代从理论上严格导出了海森堡模型。狄拉克在二十年代从理论上严格导出了海森堡模

9、型。他考虑的是磁性绝缘体，即电子处于局域化状态。他考虑的是磁性绝缘体，即电子处于局域化状态。下面介绍下面介绍s=1/2的推导：的推导：设晶体中有设晶体中有N个格点，每个格点上的离子只有一个未配个格点，每个格点上的离子只有一个未配对的对的局域态局域态d电子电子。态矢量可用。态矢量可用瓦尼尔函数瓦尼尔函数作基函数表示：作基函数表示：为瓦尼尔函数。)()()(,lralraCrll根据根据二次量子化二次量子化的标准手续，交互作用为的标准手续，交互作用为为两体库仑积分。|)()()()(2133*2,rrddrrlralralralraeJCCCCJHllllllllllex对于绝缘体对于绝缘体，无电

10、子转移，每一个格点上，无电子转移，每一个格点上只可能有一个只可能有一个未配对的未配对的d电子，电子，应有应有d电子的单占据条件：电子的单占据条件：1llllCCCC这里这里0100001010000001llllllllCCCCCCCC2121)1(21)1(21llllllzlllzlllCCCCCCCC将上述关系代入交换作用项：将上述关系代入交换作用项：,)1(411)(21414141)1)(1(41)1)(1(412121llllllllllllllllllzlzlllllllllzlzlzlzlllllllllllllllllllllllexSSJJJJCCCCCCCCCCCCCCC

11、CJH在狄拉克理论的基础上，在狄拉克理论的基础上，安德逊（安德逊（P.W.Anderson）进一进一步证明了步证明了海森堡模型也适应于海森堡模型也适应于S1/2的情况的情况3.3.铁磁自旋波理论铁磁自旋波理论 对于铁磁体，交换积分对于铁磁体，交换积分J0；设有；设有N个自旋为个自旋为S的磁离的磁离子排列成晶格，我们通过子排列成晶格，我们通过近似解来求铁磁体自旋波的低近似解来求铁磁体自旋波的低激发态激发态。（1）铁磁体的铁磁体的基态基态哈密顿哈密顿H中所含矢量算符的三个分量有对易关系中所含矢量算符的三个分量有对易关系）循环，且设1,(,zyxSiSSllzlylxl 在讨论自旋互作用系统特性时，

12、我们把在讨论自旋互作用系统特性时，我们把zlylxllylxllSSiSSSiSS作为作为独立变量独立变量设设z轴为量子化轴，则某一格点上的自旋态可用离子自轴为量子化轴，则某一格点上的自旋态可用离子自旋旋S与算符与算符 的本征值的本征值m标记为标记为|s,mzlSmSmmSSmSmSmSmSSmSmSmSmSSzlll,|,|1,|)1)(,|1,|)1)(,|2/12/1。为自旋上升及下降算符个值。共12,.,2,1,0lSSSm 那么，那么，铁磁系统铁磁系统的哈密顿可写为：的哈密顿可写为：,)(21lllllzlzlSSSSSSJH则可严格证明则可严格证明铁磁体的基态为（铁磁体的基态为（各

13、个格点自旋取向一致各个格点自旋取向一致）：llNlSSSSSSSm|,|.|.|0|21，这里那么有以下关系和那么有以下关系和基态本征值基态本征值：202,:0|0|)(0|00|JNZSEZJNZSSSJHSlZlZll基态本征值为为晶格的配位数。；（2）霍斯坦因霍斯坦因-普里马可夫变换普里马可夫变换现在讨论自旋系统的现在讨论自旋系统的低激发态：低激发态：一个格点的自旋偏转一个格点的自旋偏转由于相互作用由于相互作用会传播形成自旋波会传播形成自旋波NllllNllllSSSSSSSSSSSSSS|.|1|.|)1(|.|1|.|)1(|212111121为了数学上为了数学上（与声子）（与声子）

14、的的相似性使相似性使H对角化对角化方便，方便，我们引入量：我们引入量：)2(2,.2,1,0),.,1,0(SnSnnSmmSn称为自旋偏离量子数。则有：则有：产生偏离消灭偏离1|12|1|)1(2|nnnSnSnnnSnS是是n n 的产生和消灭算符的产生和消灭算符nnnaannnannna|1|1|1|量子数算符：作作霍斯坦因霍斯坦因-普里马可夫变换普里马可夫变换(HP变换，不改变对易关系变换，不改变对易关系)(2()2(aaSSaaSaSaaaSSz这里这里满足玻色对易关系：满足玻色对易关系：0,1,aaaaaa得到海森堡哈密顿的得到海森堡哈密顿的二次量子化二次量子化表达式表达式2221

15、2221)(,lllllllllllllllllaaaSaaSaaaSaaaaSaaSaaSJH由于对由于对低激发态低激发态，每个自旋的平均偏离很小每个自旋的平均偏离很小，这时可，这时可得得将根号展开将根号展开的近似哈密顿：的近似哈密顿：)(2,20llllllllaaaaJSaaZJSNZJSH这里这里略去了算符的四次项略去了算符的四次项（3）低激发态低激发态自旋波自旋波上式第一项是上式第一项是基态能基态能；第二项代表格点；第二项代表格点l 上的上的自旋偏转能自旋偏转能；最后两项为最后两项为不同格点间的耦合不同格点间的耦合。由于系统具有平移对称性；由于系统具有平移对称性；进一步将产生和消灭算

16、符作进一步将产生和消灭算符作傅里叶展开傅里叶展开kkliklkkliklbeNabeNa2121lllikklllikkaeNbaeNb2121这里这里 已不再是作用于某一格点上的算符，而是作已不再是作用于某一格点上的算符，而是作用于用于所有格点的自旋波算符所有格点的自旋波算符，代表，代表自旋系统的集体坐标自旋系统的集体坐标。kkbb,满足玻色对易关系：满足玻色对易关系：0,kkkkkkkkbbbbbb利用，利用，求的求的对角化对角化的哈密顿为的哈密顿为)(1kkllkkieN)1(2)(2000kkkkkkkkkkkkkkkkkZJSbbEbbbbZJSbbZJSEH为磁振子。代表自旋波的量

17、子，称是自旋波频率，这里定义了结构因子这里定义了结构因子：0101ikkkkkikkeZeZ有称性由于晶体的时间反演对22k22k23)()(211 2)1(21|kJSafccbccsckJSkZJSZJSkkkk系：）有相同的长波色散关和、种晶格（立方系的：展开条件在低温下，可利用长波性作计算。关系时应结合晶体对称与波矢，因此，求自旋波频率的不同的晶体结构有不同的哈密顿量通常又称为自旋波近似因此，的本征向量，是与声子问题类似，度算符。代表自旋波量子的数密产生算符，是自旋波量子的消灭和0021,.,|,HHnnnnbbbbNkkkkk若计入算符的高阶项，若计入算符的高阶项，可得可得作用。代表

18、自旋波之间的相互1210.HHHHH 自旋波模式自旋波模式只是只是线性理论线性理论的结果，而磁振子被称为系统的结果，而磁振子被称为系统的线性元激发的线性元激发 如果考虑自旋波之间的相互作用，算符如果考虑自旋波之间的相互作用，算符al的非线性方程，的非线性方程，一维情况下有一维情况下有孤子解孤子解，因此，因此，孤子代表系统的非孤子代表系统的非线性元激线性元激发发考虑自旋波之间的考虑自旋波之间的相互作相互作用后对用后对 k的修正的修正；温度升；温度升高会发生自旋波频率的高会发生自旋波频率的软软化现象化现象。kkkbtbi4.4.铁磁体的低温磁化强度铁磁体的低温磁化强度 由于自旋算符满足由于自旋算符

19、满足玻色对易关系玻色对易关系，因此温度，因此温度T时所激发的平时所激发的平均量子数满足均量子数满足玻色分布玻色分布：11/TkTkkTkBkebbn对对立方晶系，低温时所有自旋波模的总元激发个数：立方晶系，低温时所有自旋波模的总元激发个数：kBTkTkkSJakdVn*22331/2exp8设温度足够低，设温度足够低，积分可近似在全积分可近似在全k空间空间进行进行 TkkSJaB2max222/322/3302/122/332)23()23(2122121221 JSTkJSTkNaVedxxJSTkNaVnNBBkxBTk2/321)0(11)0()()()(SJTkSMnNSMbbgSNg

20、aaSgTMBTkkTkkkBBTlllB取体积取体积V=1，铁磁体的低温磁化强度为，铁磁体的低温磁化强度为 B是波尔磁子g是朗德因子SNgMB)0(其中其中 代表代表零温饱和磁化。零温饱和磁化。由于自旋波导致的由于自旋波导致的磁化强度磁化强度的减小为：的减小为：2/32/32)0()()0()(TSJTkSMTMMTMB这个结果是布洛赫这个结果是布洛赫1930年求得的，称为年求得的，称为布洛赫布洛赫T3/2定律定律；其形式已被实验所证实。其形式已被实验所证实。平均场理论平均场理论在低温下的失效在低温下的失效为居里温度。）低温磁化强度：海森堡相互作用：CCeffBlllllllTTSTSMTM

21、hgSSJSH,)1(3exp(1)0()(2指数衰减指数衰减平均场理论平均场理论只考虑了自旋运动的只考虑了自旋运动的单体效应单体效应，它没有考虑自旋，它没有考虑自旋间的间的动力学关联动力学关联；平均场理论不能反映低温区；平均场理论不能反映低温区自旋系统的集自旋系统的集体激发特征体激发特征。2/3/21JSTkNkTUCenUBBVVkTkkkTkkBk 铁磁体中铁磁体中磁振子的低温比热容磁振子的低温比热容 自旋波的经典图像自旋波的经典图像由于对角化的哈密顿量，那么由于对角化的哈密顿量，那么tikkkebtb)0()(ktlkiklktlkiklkkebNtaebNta)(2/1)(2/1)0

22、()()0()(对低激对低激发态发态ktlkikllktlkikllkkebNSStaSebNSStaS)()()0(22)()0(22)(将实数将实数取代算取代算符符)sin()(21)()cos()(21)(tlkSSitStlkSStSkllylkllxl任意格点的任意格点的自旋自旋角动量在角动量在Oxy平面平面内作内作圆周运动圆周运动，相邻格点之间有相邻格点之间有确定的确定的相位差相位差。5.5.反铁磁自旋波理论反铁磁自旋波理论,(21|(21|jjabjjabjzjazbjiibaiibaizibzaiSSSSSSJSSSSSSJH 当海森伯哈密顿量中当海森伯哈密顿量中J定义为所有定

23、义为所有a子格自旋沿子格自旋沿（+z）方向，）方向，b子格子格沿沿（-z）方向）方向子格的消灭算符。、分别为ba,0|bjaibjaiSSOriginSOriginS 引入引入霍斯坦因霍斯坦因-普里马可夫变换普里马可夫变换)(2()2(iizaiiiiaiiiiaiaaSSaaSaSaaaSS)()2(2SbbSbbbSSbbSbSjjzbjjjjbjjjjbjjiba,都满足玻色对易关系都满足玻色对易关系将上式代入将上式代入双格子系统哈密顿双格子系统哈密顿，并略去，并略去a、b的四次项可得：的四次项可得：)(|2)(|2|2,2iiiiiiiiiiibabaSJbbaaJZSJNZSH*仿照

24、铁磁情况作仿照铁磁情况作傅里叶变换傅里叶变换kkRikjkkRikjkkRikikkRikibeNbbeNbaeNaaeNajjii21212121,同样，同样，满足满足玻色对易关系玻色对易关系用双子格自旋波算符表示的哈密顿量为用双子格自旋波算符表示的哈密顿量为)(|2)(|2|22kkkkkkkkkkkabbaJZSbbaaJZSJNZSH非对角化项非对角化项结构因子结构因子kkba,（2）玻戈留玻夫正则变换玻戈留玻夫正则变换（正则变化正则变化要求保证所有的对易关系在形式上不改变）要求保证所有的对易关系在形式上不改变）根据子格的运动方程根据子格的运动方程)(|2,)(|2,kkkkkkkkk

25、kabJZSHbbibaJZSHaai引入引入玻戈留玻夫变换玻戈留玻夫变换kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkavbuavbubvaubvau,这里这里 设为设为实函数实函数。由。由 满足满足玻色对易关系玻色对易关系可得可得kkvu,kk,kkkkkkkk122kkvu（1）逆变换逆变换kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkvubvubvuavua,代入代入双子格自旋波哈密顿：双子格自旋波哈密顿：)(2)()1)(2(|2)1(|22222kkkkkkkkkkkkkkkkkkkvuvuvuvuSJZSSJNZH为使为使H对角化对角化02)22kkkkkvuvu（2）联立方程联立方程（1）

26、和（）和（2）可得可得2221/1)1(21)1(21kkkvu（玻戈留玻夫变换（玻戈留玻夫变换已成功用于超流、声子已成功用于超流、声子-光子、声子光子、声子-自旋自旋波等一系列耦合问题）波等一系列耦合问题）最后得对角化的最后得对角化的双子格自旋波哈密顿：双子格自旋波哈密顿：21|2)21()21()1(|2kkkkkkkkSJZSSJNZH对于每个对于每个k存在存在两支简并的反铁磁自旋波，分别由两支简并的反铁磁自旋波，分别由代表其准粒子（代表其准粒子（磁振子磁振子）。）。kkkk,在长波限在长波限(ka不再稳定，不再稳定，发生自旋偏离转变。发生自旋偏离转变。0)(k6.6.铁氧体中的自旋波铁

27、氧体中的自旋波 铁氧体是铁淦氧磁体的简称铁氧体是铁淦氧磁体的简称 最简单的铁氧体也可用双子格模型描述：最简单的铁氧体也可用双子格模型描述：,|jjabjiibaiSSJSSJHbabaSSbSaS子格中自旋，为子格中自旋，为其中对上式作对上式作HP变换和点阵傅里叶变换后变换和点阵傅里叶变换后，求得用子格自旋波，求得用子格自旋波算符描述的低激发态哈密顿：算符描述的低激发态哈密顿：)()(|2|2kkkkbakkkakkbbaabbaSSbbSaaSJZSSJNZH与反铁磁体类似，作与反铁磁体类似，作玻戈留玻夫正则变换玻戈留玻夫正则变换kkkkkkkkkkavbubvau,它可使它可使H表示下列对

28、角化形式表示下列对角化形式kkkkkkkAH)21()21()()(可利用与可利用与上节类似的方法求上节类似的方法求A和本征频率和本征频率。这里介绍玻戈留玻夫变换的这里介绍玻戈留玻夫变换的运动方程对角化方法运动方程对角化方法。这里介绍玻戈留玻夫变换的这里介绍玻戈留玻夫变换的运动方程对角化方法运动方程对角化方法。),()(Hikkkk若将哈密顿若将哈密顿对角化对角化必有必有)()()()(kkkkkki比较以上两式，可得出运动方程的对角化条件：比较以上两式，可得出运动方程的对角化条件：,)()(HHkkkkkk将玻戈留玻夫变换式代入将玻戈留玻夫变换式代入用子格自旋波算符描述的低激用子格自旋波算符

29、描述的低激发态发态哈密顿哈密顿H，再将，再将H代入代入以上方程；以上方程；可得可得 时的时的自旋波频率：自旋波频率：)()1(4)(|)()1(4)(|22)(22)(bakbabakbakbabakSSSSSSJZSSSSSSJZbaSS 对于立方晶系和长波近似对于立方晶系和长波近似2222)(|4|4)(|kSSSSaJkSSSSaJSSJZbababababak色散关系更色散关系更类似于铁磁体类似于铁磁体，而不是反铁磁体而不是反铁磁体*多数的铁磁性绝缘体是铁氧体多数的铁磁性绝缘体是铁氧体.容易求出铁氧体的容易求出铁氧体的低温磁化强度、比热容低温磁化强度、比热容2/32/32/3)(|4|

30、4|1)0()(TkSSJSSNkcSSJSSTkSSMTMBbabaBmbabaBba 但但铁氧体自旋零点偏离与反铁磁体一致。铁氧体自旋零点偏离与反铁磁体一致。7.7.一维铁磁链中的孤波一维铁磁链中的孤波 孤子孤子代表系统的非代表系统的非线性元激发线性元激发设一维链中格点数为设一维链中格点数为N，当存在外磁场，当存在外磁场B时，一维链的各时，一维链的各向异性海森伯哈密顿为向异性海森伯哈密顿为.1,0,)(21,晶格常数取为这里JJgSSJSSSSJSBHBlzlzlllllllzl经霍斯坦因霍斯坦因-普里马可夫变换，普里马可夫变换，及解非线性的运动方程及解非线性的运动方程得到得到归一概率幅归一概率幅 JSJJJSvSJJBJSvJSvvJJJSLLvtxhtxiLtx2)(8)(44,2,)(2sec)(exp21),(2221其中),(tx 振荡波的包络构成一个稳定的钟形孤波，振荡波的包络构成一个稳定的钟形孤波，称称为包络孤子，为包络孤子，L代表孤子的尺寸。代表孤子的尺寸。一维链中还存在一维链中还存在扭行孤子、脉冲状孤子等。扭行孤子、脉冲状孤子等。