流体力学课程

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1、量纲分析和相似原理在流体力学的应用钟文车辆1003摘要: 量纲分析法是研究较为复杂的自然现象中各物理量之间的关系及内在规律性的有效工具，也是相似 理论的理论基础量纲分析法的理论和应用，在科学研究和物理学领域中有着十分重要的地位而对于设计 制造复杂庞大的机械，往往要根据相似原理，进行模拟实验，将实验结果推广到同类型中，以相似原理为 基础的模型试验方法在流体中有广发的应用。关键词: 量纲分析法；相似原理；流体力学；应用0前言本文在充分研读1工程流体力学（莫乃容）第九章节及相关书籍后，对量纲分析和相似 原理有了一个深刻的认识，在对量纲分析和相似原理实际操作上做了一些范例，同时在了解 的基础上继续做了

2、一些实际的推广，将量纲分析的基本原理，相似原理引入相似结构大变形 非线性动态响应分析。对车身典型薄壁件进行了轴向冲击响应与压溃变形的相似分析，得到 模型与原型之间的相似比，并进一步得出了由缩比模型预测相似模型碰撞响应。实验可分为两类，即直接试验和模拟实验。直接实验就是在所研究的对象即原型上直接 进行实验，这种方法具有很大的局限性：实验结果只能用于特定的实验条件，或只能推广到 与实验条件完全相同的现象上去：对于某些设备，由于实验条件的限制，如高温高压或者设 备尺寸太大或者太小，都可能使实验难以进行；对于那些尚未建造的设备，如要设计一座新 的水坝，则根本谈不上用实验方法探索其规律性；直接实验的方法

3、不适用于大型设备的破坏 性实验。模拟实验即模化实验克服乐山直接实验的缺点，根据相似原理，按一定原则把流动实物 原型缩小或放大，或者把复杂的、苛刻的工况条件转化为简单的实验条件，或者更换为流 体介质，把易燃、易爆、有毒、昂贵的流体介质更换为空气或水，制成模拟试验台，把模型 试验台上测定流动参数，找出模型中流体的运动规律，然后将这些规律运用于与模型相似的 各种实验设备上去。用模型试验方法解决流体力学所依据的基本理论和方法是量纲分析和 相似原理。1量纲分析1.1量纲和单位物理量单位的种类称为量纲，表示物理量的本质属性，用dim表示。一个物理量可 以用不同的单位度量，但量纲却是唯一的。例如长度、宽度、

4、高度、厚度、深度都可以用米、 英尺等长度单位来度量，但是它们的量纲都是长度量纲L。由于许多物理量的量纲之间都有一定的联系,在量纲分析时选少数几个物理量的量纲作 为基本量纲，其他物理量的量纲都可以由这些基本量纲导出，称为导出量纲。基本量纲是相 互独立的，而不能由其他量纲的组合来表示，在工程流体力学中常用质量、长度、时间M、 L、T）作为基本量纲。在一般的力学问题中，任意一个物理量B的量纲都可以用M, L，T这三个基本量纲的 指数乘积来表示dim B =Ma Lp Ty在量纲分析中，有一些物理量的量纲为1 ,称为无量纲量，用M0L0T0表示。无量纲量就 是一个数，但可以把它看成由几个物理量组合而成

5、的综合表达。例如雷诺相似准数的量纲dim Re = dim（叭）=LT 1L = m 0LoT0 uL2T -1 为一个无量纲的量。为了区别于纯数，把无量纲量看成是由多个物理量组成的综合物理量更 合适些，如我们应该把雷诺相似准数Re看成由流速v、特征尺度l和流体运动粘度系数u这 三个物理量的综合表达，或者把它看成由流速V、特征尺度/、流体密度P和流体动力粘度 系数u这四个物理量的综合表达。1.2量纲分析的概念与分析步骤量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幕次分 析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间 的关系，揭示物理量之

6、间在量纲上的内在联系，降低变量数目，可以用于指导理论分析和实 验研究。量纲分析的步骤为：1. 列出所有与该物理现象有关的变量。它取决于我们对流动过程的理解、观察和分析，对流动过程中的的重要变量要保留，而一些次要变量可以忽略；2. 将这些变量的量纲用基本量纲M, L，T表示出来；3. 将变量组成由基本量纲M, L，T表示的量纲一致的函数关系（通常为各变量指数乘积 关系）；4. 将各量的量纲代入上面的函数关系；5. 利用函数关系式的量纲的一致性，对各基本量纲的指数列出代数方程，联立求解方程，将所得的指数代入函数中，得到函数的具体形式；1.3量纲分析的应用量纲分析方法中得到广泛应用的n定理（Buck

7、ingham定理）n定理（Buckingham定理）：对于某个流动现象或某个流动过程，如果存在有n个变量互 为函数关系f（a1,a2,a3,an）=O而这些变量中含有m个基本量纲，则可把这n个有量纲的变量的函数关系转换成）（n-m）个无量纲量的函数关系F（n 1, n 2, n 3,n n-m） =0上面这个函数关系式全部是无量纲量），n i=（1,2,3n-m）。这个定理表达出了物 理方程的明确的量间关系，并把方程中的变量数减伽个，更主要的是，这个定理把流动现 象或流动过程更概括地表示在此函数关系中。2例题：在水平等直径的圆管内流动的流体的压降Ap与下列因素有关：管径d,管长l， 管壁粗糙度

8、A，管内流体密度P，流体的动力粘度卩，以及断面平均流速V等有关。试用 n定理推出压降Ap的表达式。解：所求问题的函数关系表达式可以表示为f （Ap, p，卩,A, V, d, /） = 0式中物理量的个数为n=7,采用基本量纲M, L, T, m=3，根据口定理，这n个物理量的关 系式可以转换成（n-m） =4个无量纲量的函数关系式F （兀,兀,兀,兀）二01234从7个物理量中选出3个基本物理量P , v , d，这三个基本量的量纲中包含了 M, L,T这3个基本量纲，可以用它们组成4个无量纲量兀=lp% v P1 d 丫 i i=Apa2 v P2 d 丫2二 Ppa3 V p3 d丫3兀

9、二 Appa4 VP4dY44其中a , P , Y (为i=1, 2, 3)为待定系数。ii i写出各兀数方程的量纲式dim 兀=L (ML-3)a1 (LT-i) P1 (L)y 1 = M oLoTo1dim 兀=L (ML-3)a2(LT -i) P 2 (L) y 2 = M o LoT o2dim 兀=ML-iT-i (ML-3)a3(LT-i) p3 (L)y3 = M oLoTo3dim 兀=ML-iT-2 (ML-3)a4 (LT-i) P4 (L)y4 = M oLoTo4根据量纲一致性原理由第一式解得M： a = oiL： p = 0iT： 一3a + P +y + i

10、= oi i i由上式得到：a = o，卩=o, Y =-1，因此兀=l/diiii根据量纲一致性原理由第二式解得M： a = o2L： - p = o2T： 一3a + p +y +1 = o222由上式得到：a = o,2p = o , y = -1，因此兀=A/d222同样可以解得仃卩ui兀 =3 pvd vd ReAp4pv 2因此无量纲兀数表示的方程为上式可以整理为A 1 Ap) d Re p v2App V 2二 F( d-, A-, R-) = d F( d, Re)1 d d Re d 2 dAplY dV 22g-2 - f3( d，Re)二 IV 2 A 石-F4( d用)

11、,Re），则AplV 2九Yd 2 g2相似原理2.1流体相似条件3流动相似条件是指保证流动相似的充要条件，模型实验必须遵循相似条件。一共有三个 相似条件：1）相似第一条件：相似的流动属于同一类流动，其运动微分方程必相同。2）相似第二条件：单值条件相似。3）相似第三条件：由单值条件中涉及的物理量组成的相似准则数相等2.2常见相似准则描写流体运动和受力关系的是流体运动微分方程（动力学方程）。两个相似流动必须满 足同一运动微分方程（N-S方程）。现分别写出模型流动和原型流动的不可压缩流体的运动 微分方程标量形式第一式mmmm1 CD人p +u Av p dxpxpp p+ u Avm xm1 dp

12、 p dx九p九九p lm m所有同类物理量均具有同一比例系数，因此有x=X x ;y :=X yz =:X zpl mpl mpl mV=X v ；V=X v ;V=X vxpV xmypv yxmzpv zmt =九t ;p :=X p ；U=X up=X p ;f =Xpt mpp mU xmpp mp由对模型的和原型的两运动微分方程以及同类物理量有同一比例的关系并经对比可写出下 式九九2V =V-九九tl上述5项分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、质量力、法向表面力-压力、切向 表面力-摩擦力，因此上式就表示模型流动与原型流动的力多边形相似。将上式中的位变惯性力可得亠九九上式中的

13、各项表示模型流动和原型流动在动力相似时各比例系数之间有一个约束，并非各比 例系数的数值可以随便取值。对其进一步分析可以得到以下各相似准则（相似准数）：1. Re数（雷诺数）Re数以英国工程师雷诺（O.Reynolds）命名，是流体力学中最重要的相似准则数，所 有与粘性流动有关的模型实验都必须考虑R数。Re数是惯性力与粘性力之比Re =p Vl上式中1为物体特征长度，如对圆管流动取管直径，对钝体绕流取绕流截面的宽度；V为 特征速度，如对圆管流动取管内平均速度，对钝体绕流取来流速度等，v为运动粘性系数。2. Fr数（弗劳德数）Fr数以英国船舶设计师弗劳德（W.Froude）命名。当模拟具有自由液面

14、的液体流动时, 如水面船舶运动、明渠流动等，Fr数是必须考虑的相似准则数。Fr数是惯性力与重力之比：惯性力 VFr -重力 Jgl上式中1为船舶或明渠的特征长度，对船舶取船长，对明渠取水深；V为特征速度（Fr数 对明渠流动的影响将在C3.9节中讨论）。3. Eu数（欧拉数）Eu数以瑞士数学家欧拉（L.Euler）命名。当讨论流场中某点的特征压强或两点间的 压强差时常用到Eu数。Eu数是压力或压差力与惯性力之比压力二p惯性力_ pV2压力差_ Ap惯性力 pV2在描述压强差时Eu数常被称为压强系数，并表示为Apc =P 1 pV 22当液体流动中局部压强P低于当地蒸汽压强pv时会产生空化效应或气

15、蚀，Eu数被 称为空泡数或空蚀系数，并表示为4. Sr数（斯特劳哈尔数）Sr数以德国物理学家斯特劳哈尔（V.Strouhal）命名，他在研究风吹过金属丝发出鸣 叫声时创立此数。在研究不定常流动或脉动流时，Sr数成为重要的量纲为1的参数。Sr数为当地惯性力与迁移惯性力之比Sr =-V上式中1为物体特征长度，如金属丝或圆柱的直径等，e为当地流体脉动圆频率。5. Ma数（马赫数）Ma数以奥地利物理学家马赫（E.Mach）命名。当气体作高速流动时气体压缩性成为重 要属性，Ma数用来描述流体压缩性的影响。Ma数为惯性力与压缩力之比Ma = V / c上式中c为声速。用Ma数可表示气体以亚声速、接近声速及

16、超声速流动时的动力特性。2.3流动相似原理的应用例题2: 一个物体浸没在油中(P= 864kg /m3,卩=0.0258 Pa - s )以 v = 13.72m/sp的速度水平运动，为了研究这一运动过程,一个尺度比例系数为8： 1的放大模型浸没在15C 的水中进行模型实验。为了达到动力相似的条件，试确定放大模型在水中的运动速度。假如 放大模型的粘性阻力为3.56N,请预测原型的粘性阻力。解：物体浸没在液体中运动，考虑粘性阻力作用将雷诺相似准数作为决定性相似准数P 0 02584原型动力粘度系数u = = 2.99 x 10-5 m2 /sp P 864p模型动力粘度系数对于15C的水u二1.

17、141 x 10 -6 m 2/smv lv ll1由雷诺相似准数R二m m = pp=R 且严=一，v = 13.72m/semuuepl8pmpm得到 v = 0.065m / smFP v 212864 x 13.722 x 12根据式(4-6), (4-7)九 =p=ppp =601.47f FmP v 2 12m m m1000 x 0.0652 x 82F 二九 x 九 二 601.47 x 3.56 二 2142.2 NpF m3结论通过认真研读工程流体力学相关章节，在理解的同时着重应用，让我感受最受的是各方 程前期的假设性，在假设的基础上，由最简单形式开始展开对公式的推导以及验

18、证。事务研 究的基础任务，例如假设性条件和忽略性因素，才是研究取得成功的根本。因此，要探究事 物的根本，就应该努力培养如何提出假设的这种能力，培养先创性及大胆实践探求的精神。 同时，作为工科专业，又应该具有工程概念，工程概念中的一个很大特点就是“人各异性” 同一个工程建设中很可能有多种施工方案，并且每一种方案都会有自己的特点及优势，而且 也并不存在真正绝对的答案供自己选择。因此，在培养先创性及大胆实践探求的精神同时一 定不要钻死牛角尖，同时要根据实际情况选择自己的设计方案。参考文献1 莫乃容工程流体力学华中科技出版社2 周云龙工程流体力学习题解析中国电力出版社3 程小东. 基于X3D的虚拟流体力学实验系统开发D.安徽：安徽理工大学,2007