空间图形的平行关系

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1、第五节空间图形的平行关系第五节空间图形的平行关系第八章立体几何与空间向量第八章立体几何与空间向量考考 纲纲 要要 求求1认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理2能运用定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的能运用定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题简单命题.课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、直线与平面的位置关系一、直线与平面的位置关系位置关系图示表示方法公共点个数直线在平面内a无数个直线不在平面内直线与平面平行a没有位置关系图示表示方法公共点个数直线不在平面内直线与平面相交直线与平面斜交 aA一个直线与平面垂直a一个二、空间

2、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行没有公共点两平面相交l无数个三、直线和平面平行的判定方法类别语言表述图示字母表示应用判定如果一条直线与一个平面没有公共点，那么称这条直线与这个平面平行aa证直线与平面平行如果平面外的一条直线平行于该平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 类别语言表述图示字母表示应用判定如果两条直线互相垂直，且其中一条直线垂直于一个平面，第二条不在这个平面内，那么第二条直线平行于这个平面 a证直线与平面平行四、两个平面平行的判定类别语言表述图示字母表示应用判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 证两平面平行如果一个平面

3、内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行五、直线与平面平行的性质类别语言表述图示字母表示应用性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行证直线和直线平行六、两个平面平行的性质类别语言表述图示字母表示应用性质如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面证直线和平面平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行ab证两条直线平行一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面a证直线和平面垂直基础自测基础自测1.(2012银川市质检银川市质检)在空间中，下

4、列命题正确的是在空间中，下列命题正确的是()A若若a，ba，则，则bB若若a，b，a，b，则，则C若若，b，则，则bD若若，a，则，则a解析：解析：若若a，ba，则，则b或或b，故，故A错误；由面错误；由面面平行的判定定理知，面平行的判定定理知，B错误；若错误；若，b，则，则b或或b，故故C错误故选错误故选D.答案：答案：D2(2011北京市门头沟区一模北京市门头沟区一模)已知直线已知直线l，m，平面，平面，且，且m，那么，那么“lm”是是“l”的的()A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案：答案：D3(20

5、12衡阳市质检衡阳市质检)在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E是是DD1的中点，则的中点，则BD1与平面与平面ACE的位置关系为的位置关系为_解析：解析：如图，连接如图，连接AC，BD交于点交于点O，连接，连接OE，因为，因为OEBD1，而，而OE平面平面ACE，BD1 平面平面ACE，BD1平面平面ACE.答案：答案：平行平行4.设设a，b，c为三条不重合的直线，为三条不重合的直线，为三个不重合的为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的命题是其中正确的命题是_(将正确的序号都填上将正确的序号都填上)答案：答案：考考

6、点点 探探 究究考点一考点一证直线与平面平行证直线与平面平行【例【例1】(2012汕头六校交流汕头六校交流)右图为一简单组合体，其底面右图为一简单组合体，其底面ABCD为为正方形，正方形，PD平面平面ABCD，ECPD，且且PDAD2EC2.(1)求四棱锥求四棱锥BCEPD的体积；的体积；(2)求证：求证：BE平面平面PDA.思路点拨：思路点拨：(1)先证明先证明BC是四棱锥是四棱锥BCEPD的高，再用体积公的高，再用体积公式求体积；式求体积；(2)通过证明平面通过证明平面BEC平面平面PDA，再利用线面平行的，再利用线面平行的性质，可以证明性质，可以证明BE平面平面PDA；也可以证明；也可以

7、证明BE平行于平面平行于平面PDA内的一条直线内的一条直线点评：点评：(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；判定定理；ab，ab；，aa；面面垂直的性面面垂直的性质质(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直线面垂直的性质，常用来证明线线垂直变式探究变式探究1如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底中，底面面ABCD是矩形，是矩形，PA平面平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F分别是分别是PB，PC的的中点中点(1)求证：求证：EF平面平面PAD；(2)求三棱锥求三棱锥EABC的体积的体积V.证明：证明：(1)在在PBC中，中，E，F分别是分别

8、是PB，PC的中点，的中点，EFBC.又又四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，BCAD.EFAD.又又AD平面平面PAD，EF 平面平面PAD，EF平面平面PAD.考点二考点二线面平行的性质的应用线面平行的性质的应用【例【例2】如图，】如图，ABCD是空间四边形，是空间四边形，E，F，G，H分别分别是四边上的点，它们共面，并且是四边上的点，它们共面，并且AC平面平面EFGH，BD平面平面EFGH，ACm，BDn，当，当EFGH是菱形时，是菱形时，AE EB_.变式探究变式探究2如图，四面体如图，四面体ABCD被一平面所截，截面被一平面所截，截面EFGH是一是一个矩形个矩形(1)求证：求证：CD

9、平面平面EFGH；(2)求异面直线求异面直线AB，CD所成的角；所成的角；(3)若若ABa，CDb，求截面，求截面EFGH面积的最大值面积的最大值考点三考点三证平面与平面平行证平面与平面平行【例【例3】如图，】如图，P是是ABC所在平面外所在平面外一点，一点，A，B，C分别是分别是PBC，PCA，PAB的重心的重心(1)求证：平面求证：平面ABC平面平面ABC;(2)求证：求证：AC平面平面ABC；(3)求求ABC与与ABC的面积之比的面积之比思路点拨：思路点拨：(1)由三角形的重心性质可得线线平行的关系，由三角形的重心性质可得线线平行的关系，从而证得线面平行，再进一步证面面平行；从而证得线面

10、平行，再进一步证面面平行；(2)由第由第(1)题所证的题所证的平面平面ABC平面平面ABC，可直接推出，可直接推出AC平面平面ABC；(3)利用利用相似三角形知识求解相似三角形知识求解点评：点评：在立体几何中，三角形重心的性质是一个常用的工在立体几何中，三角形重心的性质是一个常用的工具，本题具，本题(1)由结论想到面面平行的判定定理，根据三角形重心由结论想到面面平行的判定定理，根据三角形重心的性质，找出面面平行判定定理所需要的条件本题的性质，找出面面平行判定定理所需要的条件本题(2)是证明是证明线面平行，注意到第线面平行，注意到第(1)问已证得面面平行，故考虑用面面平行问已证得面面平行，故考虑

11、用面面平行的性质定理来证题，即由面面平行的性质定理来证题，即由面面平行线面平行需要提醒大家线面平行需要提醒大家注意的是，平面几何中的相似三角形面积之比等于相似比的平注意的是，平面几何中的相似三角形面积之比等于相似比的平方，在立体几何中同样成立方，在立体几何中同样成立变式探究变式探究3如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，M，N，P分别分别是是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：的中点，求证：(1)APMN；(2)平面平面MNP平面平面A1BD证明证明：(1)连接连接BC1，B1C，则，则B1CBC1，BC1是是AP在面在面BB1C1C上的射影，上的射影，APB1C.

12、又又B1CMN，APMN.(2)连接连接B1D1，P，N分别是分别是D1C1，B1C1的中点，的中点，PNB1D1.又又B1D1BD，PNBD.又又PN不在平面不在平面A1BD上，上，PN平面平面A1BD.同理，同理，MN平面平面A1BD.又又PNMNN，平面平面PMN平面平面A1BD.课时升华课时升华1证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行证明这条线与平面内的某条直线平行2在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定

13、义既可作判判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用定定理使用，亦可作性质定理使用3辅助线辅助线(面面)是解是解(证证)线面平行的关键为了能利用线线面平行的关键为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面面)4欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先证线面平行，反复用直线与平面平行的判定、性质定理，在同证线面平行，反复用直线与平面平行的判定、性质定理，在同一题中也经常出现一题中也经常出现5证明面面平行的主要方法：证明面面平行的主要方法：利用定

14、义；利用定义；利用判定利用判定定理另外证面面平行还可利用定理另外证面面平行还可利用“垂直于同一条直线的两个平垂直于同一条直线的两个平面互相平行面互相平行”来证来证6空间平行关系之间的转化，也是立体几何中证明平行空间平行关系之间的转化，也是立体几何中证明平行关系常用的思路关系常用的思路感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考2(2012山东卷山东卷)如图，几何体如图，几何体E-ABCD是四棱锥，是四棱锥，ABD为正三角形，为正三角形，CBCD，ECBD.(1)求证：求证：BEDE；(2)若若BCD120，M为线段为线段AE的中点，求证：的中点，求证：DM平平面面BEC.证明：证明：(1)取取BD的

15、中点的中点O，连接，连接CO，EO.由于由于CBCD，COBD.又又ECBD，ECCOC，CO，EC平面平面EOC，BD平面平面EOC.BDEO.又又O为为BD的中点，的中点，BEDE.(2)(法一法一)取取AB的中点的中点N，连接，连接DM，DN，MN，M是是AE的中点，的中点，MNBE.又又MN 平面平面BEC，BE平面平面BEC，MN平面平面BEC.又又ABD为正三角形，为正三角形，BDN30.又又CBCD，BCD120，CBD30.DNBC.又又DN 平面平面BEC，BC平面平面BEC，DN平面平面BEC.又又MNDNN，故平面故平面DMN平面平面BEC.又又DM平面平面DMN，DM平

16、面平面BEC.(法二法二)延长延长AD，BC交于点交于点F，连接，连接EF.CBCD，BCD120，CBD30.ABD为正三角形，为正三角形，BAD60，ABC90.AFB30.AB AF.又又ABAD，D为线段为线段AF的中点的中点连接连接DM，由点，由点M是线段是线段AE的中点，的中点，得得DMEF.又又DM 平面平面BEC，EF平面平面BEC，DM平面平面BEC.高考预测高考预测1(2011南京市质检南京市质检)平面平面平面平面的一个充分条件是的一个充分条件是()A存在一条直线存在一条直线a，a，aB存在一条直线存在一条直线a，a，aC存在两条平行直线存在两条平行直线a，b，a，b，a，

17、bD存在两条异面直线存在两条异面直线a，b，a，b，a，b解析：解析：若若l，al，a，a，a，排除，排除选项选项A；若；若l，a，al，则，则a，选项，选项B错误；若错误；若l，a，al，b，bl，则，则a，b，选项，选项C错错误，故正确答案为选项误，故正确答案为选项D.答案：答案：D(2012北京市东城区月考北京市东城区月考)如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底中，底面面ABCD是正方形，是正方形，PA平面平面ABCD，E是是PC中点，中点，F为线段为线段AC上一点上一点(1)求证：求证：BDEF;(2)试确定点试确定点F在线段在线段AC上的位置，使上的位置，使EF平面平面PBD，并，并说明理由说明理由证明：证明：(1)PA平面平面ABCD,PABD.又四边形又四边形ABCD是正方形，是正方形，ACBD.又又PAACA，BD平面平面PAC.又又EF平面平面PAC，BDEF.解析：解析：(2)设设AC与与BD交于点交于点O，当，当F为为OC中点，即中点，即AF AC时，时，EF平面平面PBD.理由如下：连接理由如下：连接PO，EF平面平面PBD，EF平面平面PAC，平面，平面PAC平面平面PBDPO，EFPO.在在POC中，中，E为为PC的中点，的中点，F为为OC的中点的中点