采用插值法分析油酸浓度与表面覆盖量

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1、拉格朗日插值法分析油酸浓度与表面覆盖量之间的关系摘要：采用油酸(OA)对TiO2颗粒进行表面改性以解决纳米颗粒的团聚问题。为了说明油 酸浓度与表面覆盖量之间的关系，采用插值法对数据进行分析得出油酸浓度与表面覆盖量之 间符合反曲的关系。关键词：有限量测量数据；插值法；最小二乘法；曲线拟合引言表面改性是解决纳米颗粒团聚的有效方法之一。油酸一端是羧酸基，另一端是碳长链， 因此其不但易被化学键合在TiO2颗粒表面，而且还能增加位阻，减少团聚，所以是一种比 较合适的表面改性剂。在各类指标关系中，油酸浓度(油酸与溶剂正己烷的体积比)与表面 覆盖量之间的关系能直接反应油酸作为表面改性剂的效果好坏，因此，该指

2、标具有很重要的 价值。采用插值分析方法分析有限测量数据是比较常用的方法之一，而实际试验中油酸浓度与 表面覆盖量之间的测试数据总是有限的，因此，应用插值分析方法求解油酸浓度与表面覆盖 量之间的关系是比较合适的。代数多项式插值分析是经常被使用到的一种插值求解法，采用 代数多项式插值法中的拉格朗日法进行求解。函数插值经过试验测定，已知油酸浓度与表面覆盖量之间在区间0, 1内有限个点处的函数值， 如表 1所示，而不知道油酸浓度与表面覆盖量之间函数的具体表达式。对于这类问题，在工 程技术中，解决的方法是找一个表达形式比较简单，易于求函数值的函数y=申(x)，在区间0, 1上来近似代替油酸浓度与表面覆盖量

3、之间函数y = f (x)。y =申(x)称为插值函数，插值函数根据形式不同可分为代数多项式、三角多项式或有理分式函数。本文根据实际情况， 采用代数多项式对数据进行处理，既简便又迅捷。油酸浓度() X00.20.40.60.8表面覆盖率() y0.020.140.310.3150.315表 1 油酸浓度与表面覆盖量之间的测量值多项式插值多项式插值问题可以分为两类：一类是仅知道函数y二f (x)在区间a, b上有限点处的 函数值，要找一个函数y =申(x)在区间a, b上来近似代替y = f(x)；另一类是知道函数 y二f (x)在区间a, b上有限点处的函数值及导数值，要找一个函数y二申(x)

4、在区间a, b上来近似代替y二f (x)。对于油酸浓度与表面覆盖量之间的关系只涉及到有限点处的函数 值，因此，属于第一类。根据定理1可知，n次代数插值问题的解存在且唯一。此定理表明，不论用什么方法构造n次多项式来代替y二f (x)，只要满足插值条件：9 (x )二 f (x )(i 二 0,1,2n)ii且次数不超过n,那么所得9(x)都相同。因此，可以采用拉格朗日Lagrange)插值法求插值函数9(x)，然后采用牛顿插值法进行验证。对于被插值函数f (x)与插值函数9 (x)之间的误差或余项，用R (x) = f (x)-9 (x)来 n表示。根据定理2,假设f (x)在a, b内具有n阶

5、连续导数，在a, b内具有n+1阶导数，9 (x)是满足插值条件的次数不超过n的插值多项式，则对于任意x g a, b，存在g = g(x )g a ,b ,使得：Rn( x) = f (x)-9 (x)=成立，其中(x)=n(x-x)。故可知，插值法的误差是可以估算的，而且插值误差与n+1ii =0节点x与x之间的距离有关。x离节点越近，一般地误差也越小。i拉格朗日(Lagrange)插值多项式L“(x)满足插值条件的拉格朗日插值多项式的形式为L (x)=工l (x)f (x)(i=0, 1, 2,)niii=0l (x)为拉格朗日插值基函数，其是n+1个n次插值多项式，满足条件il (x

6、) = 0,(x ),l (x) = 1,l (x ),/ (x ) = 0i 0i i -1 i i i i +1i n即l (x)在n+1个点x , x , x .x ,x ,x，,x处具有性质i0 1 2 i-1 i i+1nl (x ) = 5 =：.冃i jij 10 i 主 j根据因式定理，可以得到(x - x )(x - x ).(x - x)(x - x ).(x - x )l (x) =01i-1i+1n i(x -x )(x -x ).(x -x )(x -x).(x -x )i 0 i 1ii-1ii+1i n其中 i = 0,1,2,., n在拉格朗日插值法中，存在截断

7、误差R (x) = f (x)-p(x)=nX n+1( x)由于f (n+1)(g )的值较难估计，因此，采用另一种误差估计法。假设L (x)和L *(x)分别是以x ,x x和x ,x，,x 为节点的插值多项式，则误差 nn0 1n 1 2n+1估计式为r( )( ) L (x) - L *(x)()f (x) - L (x) U nn(x - x )nx -x00n+1( ) ( ) L*(x)-L (x)( ) nx - xn+1n+10牛顿插值多项式N (x)n牛顿插值法是一种能灵活增加节点的方法，采用差商的概念灵活的构造插值多项式。N(x)=fx+(x-x)fx,x+.+(x-x)

8、(x-x1).(x-x) fx,x ,.xn000 10n-10 1n其中f x ,x ,.x 表示f (x)在x ,x ,., x点上的n-1阶差商。01n01n牛顿插值法的误差值为E (x)=(x-x )(x-x).(x-x )fx,x ,x,.,x n01n01n由代数插值问题的存在唯一性可知，N (x) = L (x),从而R (x) = E (x)。因此牛顿nnnn插值公式只是拉格朗日插值公式的另一种书写形式而已。数据分析经过 5 次试验，得到油酸浓度与表面覆盖量有如下结果，如表2 所示。油酸浓度() X00.20.40.60.8表面覆盖率() y0.020.140.310.3150

9、.315表 2 油酸浓度与表面覆盖量之间的测量值由表2可得油酸浓度与表面覆盖量之间的点线图，如图1所示。拉格朗日（Lagrange）插值法求近似函数由于该组数据由5个节点为计算方便将其分成2段设n=2即采用EG）近似地代替f （x），这称为二次插值，或抛物线插值。当n=2时，拉格朗日插值公式为L (x)二 l (x) f (x ) +1 (x) f (x ) +1 (x) f (x )2 0 0 1 1 2 2即(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )L (x) =12 f (x ) +02 f (x ) +01 f (x )。2(x -

10、x)(x -x )0(x -x )(x -x )1(x -x )(x -x)20 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1将前3个节点带入L (x)，将后3个节点带入L *(x)，得到2个二次插值函数。即 22L (x) = (x .2)(x - .4)0.02 + (x - 0)(x - 0.4) 0.14 + (x - 0)(x - 0.2) 0.312(0-0.2)(0-0.4)(0.2-0)(0.2-0.4)(0.4-0)(0.4-0.2)L *( x) = (x x - .8)0.31 + (x - 0.4)( x - 0.8) 0.315 + (x - 0.4)( x - 0.6

11、) 0.3152(0.4-0.6)(0.4-0.8)(0.6-0.4)(0.6-0.8)(0.8-0.4)(0.8-0.6)经过计算可得到L (x) = 0.325x2 + 0.475x +0.022L * ( x) = -0.0625x2 + 0.0875x + 0.2852如图 2 所示。0.000.35-0.20.00.20.40.60.8density of oleic acid (%)-.30-5-.205O-051.0-0.05图2拉格朗日二次插值法所求的近似函数为了求出更为精确的近似函数，将试验做的更精细，获得10组数据，如表3所示。油酸浓度（） X00.10.20.30.40.

12、50.60.70.80.9表面覆盖率（） y0.020.040.140.270.310.3140.3150.3150.3150.315表3油酸浓度与表面覆盖量之间的测量值该组数据有10个节点，在拉格朗日插值中，将n值设为9,经过计算化简得到插值公式为y 二 0.02 + 3.81846x-95.83269x2 + 943.78379x3 4516.69271x4 +12244.05093x5 19901.04167x6 + 19277.44709x7 -10280.25794x8 + 2325.83774x9结果如图3所示。density of oleic acid （%）图3 拉格朗日插值法

13、所求的近似函数由图 2 与图 3 对比可知，图3 在区间0, 0.1上，并不能反映实际情况。因此，对于拉格朗日插值多项式，n值越高，不一定越准确。采用多次分段求解是一种比较常用的方式。采用计算机模拟技术求近似函数对于表3的10组数据，观察图3 可以发现，采用拉格朗日插值法并不能十分准确的近 似。因此，这里采用计算机模拟技术求近似函数，期望可以较准确的反映实际情况。根据节 点的趋势，我们采用反曲线对数据进行拟合，得到结果如图4 所示。)%(yalrevofoytisnedI1I1I1I1I10.0 0.2 0.4 0.6 0.8 density of oleic acid (%)5 0 5 0332200005 0 51100000.00图 3 反曲法所求的近似函数 结果发现，采用反曲线法求得的近似函数很好的符合节点的趋势。结论经过拉格朗日插值法和反曲法求解近似函数，可以发现，对于油酸浓度与表面覆盖量之 间的关系趋势符合反曲线。参考文献1蔺小林，蒋耀林. 现代数值分析. 北京：国防工业出版社，20042曹尔雄，高坤敏，吴景琨. 线性代数. 北京：人民教育出版社，19793同济大学计算数学研究室编. 数值分析基础. 上海：同济大学出版社，1998