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1、全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE射线ACA、例题1、如图，在ABC中，C=90，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是 cm.2、如图,已知，12，34，求证：AP平分BAC。3、如图，在四边形ABCD中，BCAB，ADCD，BD平分ABC，求证：AC180.（二）角平分线垂线,等腰三角形必呈现A、例题辅助线:延长ED交射线OB于F 辅助线:过点E作EF射线OB例1、如图，在ABC中，ABC3C，AD是BAC的平分线，BEAD于F .求证：.例2、如图，在ABC中，BAC的角平分线AD交BC于点D，且ABAD，作
2、CMAD交AD的延长线于M. 求证:.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OBOA，从而使OACOBC .A、例题1、如图，在ABC中,BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P,BQ平分ABC交AC于Q，求证：ABBPBQAQ 。2、如图,在ABC中，AD是BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由 .3、在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合).求证：ABACPBPC .4、如图，ABC中,ABAC，A100,B的平分线交AC于D，求证：ADBDBC .
3、 5、如图，ABC中,BCAC，C90,A的平分线交BC于D，求证：ACCDAB 。 二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1)将ABD逆时针旋转90，得ACM ABD，从而推出ADM为等腰直角三角形.(2）辅助线作法：过点C作MCBC，使CMBD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等:操作过程：连结AD.（1）使BFAE（或AFCE），导出BDF ADE.（2)使EDFBAC180，导出BDF ADE。1、如图,在等腰直角ABC中，BAC90，点M、N在斜边BC上滑动,且MAN45,试探究 BM、MN、CN之间的
4、数量关系。2、两个全等的含有30，60角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC。 试判断EMC的形状，并证明你的结论。3、已知，如图所示，RtABC中，ABAC，BAC90，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持ANCM.（1)试判断OMN的形状，并证明你的结论.（2)当M、N分别在线段AC、AB上移动时,四边形AMON的面积如何变化？4、在正方形ABCD中，BE3，EF5，DF4，求BAEDCF为多少度。（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）;（2）
5、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四)将等腰直角三角形补全为正方形，如下图:1、如图,在等腰直角ABC中，ACBC，ACB90,P为三角形ABC内部一点，满足PBPC,APAC,求证:BCP15 。三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在ABC中,ABAC,BAC90，D为AC中点，AFBD于点E，交BC于F，连接DF 。求证：ADBCDF 。变式1、已知:如图所示，在ABC中，ABAC，AMCN，AFBM于E，交BC于F，连接NF 。求证:（1）AMBCNF;（2）BMAFFN .变式2、在变式1的基础上,其他条件不变,只是将BM和FN分别延长交于点P，求证:(1)
6、PMPN;（2）PBPFAF .四、手拉手模型1、ABE和ACF均为等边三角形结论:（1）ABFAEC . （2)BOEBAE60 。 （3)OA平分EOF 。（四点共圆证）拓展：ABC和CDE均为等边三角形 结论：（1)ADBE； （2）ACBAOB; （3）PCQ为等边三角形； （4）PQAE； （5）APBQ； (6）CO平分AOE；（四点共圆证) （7)OAOBOC； （8）OEOCOD .（7），（8）需构造等边三角形证明）例、如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN（1）求证:AMB
7、ENB;（2)若AM+BM+CM的值最小，则称点M为ABC的费尔马点若点M为ABC的费尔马点,试求此时AMB、BMC、CMA的度数；(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图,分别以ABC的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边ACF,连接CE、BF,设交点为M,则点M即为ABC的费尔马点试说明这种作法的依据2、ABD和ACE均为等腰直角三角形结论：（1)BECD;（2）BECD 。3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形。结论:(1）BDCF；（2）BDCF .变式1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，ASBC交FD于T,求证:（1）T为FD中点；（2）
8、。变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：ASBC .4、如图，以ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：五、半角模型条件:两边相等 。思路:1、旋转辅助线：延长CD到E,使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN,连AF 将ADN绕点A顺时针旋转90得ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线结论：(1）MNBMDN；（2）;（3）AM、AN分别平分BMN、MND .2、翻折(对称）辅助线：作APMN交MN于点P 将ADN、ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 。A、例题例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MNBMDN，求证：（1）MAN45； （2）； (3）AM、AN分别平分BMN和DNM .变式：在正方形ABCD中，已知MAN45,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，AHMN,垂足为H，(1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；（2）求证:ABAH例2、在四边形ABCD中，BD180，ABAD，若E、F分别为边BC、CD上的点,且满足EFBEDF，求证:。变式：在四边形ABCD中，B90，D90，ABAD,若E、F分别为边BC、CD上的点,且,求证：EFBEDF .
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