《小波分析理论》PPT课件.ppt

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1、1 第 1章 小波分析的基本理论 1.1 傅里叶变换到小波分析 1.2 常用小波函数介绍 1.3 连续小波变换 1.4 离散小波变换 1.5 矢量小波变换 1.6 多分辨分析与 Mallat算法 1.7 提升小波变换 1.8 小波包分析 2 小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是建 立在傅里叶 (Fourier)变换的基础上的，但是，傅里叶分析 使用的是一种全局的变换，即要么完全在时域，要么完全 在频域，它无法表述信号的时频局域性质，而时频局域性 质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和 处理非平稳信号，人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本 性的革命，提出并发展了幌盗行碌男藕欧治

2、隼砺郏憾淌备 道镆侗浠弧逼捣治觥 Gabor变换、小波变换、 Randon Wigner变换、分数阶傅里叶变换、线性调频小波变换、循 环统计量理论和调幅调频信号分析等。 3 其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变 换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换 分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数 g(t)的 一个短时间间隔内是平稳 (伪平稳 )的，并移动分析窗函数， 使 f(t)g(t t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计 算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅里叶 变换是一种单一分辨率的信号分析方法 (因为它使用一个固 定的短时窗函数 )，在信号分析

3、上还存在着不可逾越的缺陷。 4 小波变换是一种信号的时间 尺度 (时间 频率 )分析 方法，它具有多分辨率分析 (Multi-resolutionAnalysis)的特 点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是 一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率 窗都可以改变的时频局部化分析方法。即 在低频部分具有 较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有 较高的时间分辨率和较低的频率分辨率 ，很适合于探测正 常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为 分析信号的显微镜。 5 1.1.1 傅里叶变换 傅里叶变换是众多科学领域 (特别是信号处理、图像处 理、量子物理等

4、 )里的重要的应用工具之一。从实用的观点 看，当人们考虑傅里叶分析的时候，通常是指 (积分 )傅里 叶变换和傅里叶级数。 1.1 傅里叶变换到小波分析 6 定义 1.1 函数 f (t) L1(R)的连续傅里叶变换定义为 (1.1) F(w)的傅里叶逆变换定义为 (1.2) dt)(e)( -i tfF t ww www d)(e2 1)( - i Ftf t 7 为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取 f(t)在 R 上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们 希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工 作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应 是有限长的。下面给

5、出离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform， DFT)的定义。 8 定义 1.2 给定实的或复的离散时间序列 f0， f1， ， fN 1，设该序列绝对可积，即满足 ， 称 (1.3) 为序列 fn的离散傅里叶变换，称 1 0 N n nf 1 0 2i e)()( N n n N k nn ffFkX 9 (1.4) 为序列 X(k)的离散傅里叶逆变换 (IDFT)。 在式 (1.4)中， n相当于对时间域的离散化， k相当于频 率域的离散化，且它们都是以 N点为周期的。离散傅里叶 变换序列 X(k)是以 2p为周期的，且具有共轭对称性。 1 0 2i e)(1

6、 N k nN k n kXNf 0 , 1 , , 1kN 10 若 f(t)是实轴上以 2p为周期的函数，即 f(t) L2(0， 2p) ，则 f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即 (1.5) 傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意 义上讲，傅里叶变换的实质是把 f(t)这个波形分解成许多不 同频率的正弦波的叠加和。这样我们就可将对原函数 f(t)的 研究转化为对其权系数，即其傅里叶变换 F(w)的研究。从 傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次 谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。 n nCtf i nte)( 11 在进行傅里叶变换时，如果能合理运用它的有关性

7、质， 运算将很方便。下面列出了傅里叶变换的一些常用性质。 12 1.线性性质 设 F1(w)和 F2(w)分别为 f1(t)和 f2(t)的傅里叶变换， a和 b 为常数，则有 af1(t) bf2(t)aF1(w) bF2(w) (1.6) 这个性质表明，函数线性组合的傅里叶变换等于各函数傅 里叶变换的线性组合。傅里叶逆变换亦具有类似的性质。 13 2.位移性质 设 F(w)为函数 f(t)的傅里叶变换，则有 (1.7) 该性质表明，时间函数 f(t)沿 t轴向左或向右位移 t0的傅里叶 变换等于 f(t)的傅里叶变换乘以因子 或 。 傅里叶逆变换亦具有类似的位移性质。 0ie tw 0ie

8、 tw )(e)( i0 ww Fttf 0t 14 3.微分性质 设 F(w)为函数 f(t)的傅里叶变换， f(t)表示函数 f(t)的微 分，则有 (1.8) 该性质表明，一个函数的导数的傅里叶变换等于这个函数 的傅里叶变换乘以因子 jw。由该性质可以导出一般的微分 公式： )(j)( ww Ftf )()( tf n )()(i ww Fn 15 4.积分性质 设 F(w)为函数 f(t)的傅里叶变换，如果当 t 时， ，则有 (1.9) 0d)( t ttf )(i 1d)( ww Fttft 16 5.乘积定理 设 F1(w)和 F2(w)分别为 f1(t)和 f2(t)的傅里叶变

9、换，则有 (1.10) 其中， f1(t)和 f2(t)为 t的实函数； 和 分别为 F1(w)和 F2(w)的共轭函数。 )()(2 1)()(2 1d)()( *212*121 wwww FFFFttftf *1()F w *2 ()F w 17 6.能量积分 设 F(w)为函数 f(t)的傅里叶变换，则有 (1.11) 该式又称为巴塞瓦 (Parseval)等式。 ww d)(2 1d)( 22 Fttf 18 例 1-1 在某工程实际应用中，有一信号的主要频率成分是 由 50 Hz和 300 Hz的正弦信号组成，该信号被一白噪声污染， 现对该信号进行采样，采样频率为 1000 Hz。通

10、过傅里叶 变换对其频率成分进行分析。 解 该问题实质上是利用傅里叶变换对信号进行频域分析， 其 MATLAB程序如下： t 0： 0.001： 1.3； %时间间隔为 0.001说明采样频 率为 1000 Hz x sin(2*pi*50*t) sin(2*pi*300*t)； %产生主要频率 为 50 Hz和 300 Hz的信号 19 f x 3.5*randn(1， length(t)； %在信号中加入白噪 声 subplot(321)； plot(f)； %画出原始信号的波形图 Ylabel(幅值 )； Xlabel(时间 )； title(原始信号 )； y fft(f， 1024)；

11、 %对原始信号进行离散傅里叶变 换，参加 DFT的采样点个数为 1024 p y.*conj(y)/1024； %计算功率谱密度 20 ff 1000*(0： 511)/1024； %计算变换后不同点所对 应的频率值 subplot(322)； plot(ff， p(1： 512)； %画出信号的频 谱图 Ylabel(功率谱密度 )； Xlabel(频率 )； title(信号功率谱图 )； 程序输出结果如图 1.1所示。 21 图 1.1 22 从图 1.1(a)中我们看不出任何频域的性质，但从信号的 功率谱图 (图 1.1(b)中，我们可以明显地看出该信号是由频 率为 50 Hz和 30

12、0 Hz的正弦信号和频率分布广泛的白噪声信 号组成的，也可以明显地看出信号的频率特性。 23 虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联 系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者 有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何 频域信息，而其傅里叶谱是信号的统计特性。从其表达式 中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分 析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅 里叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候 产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时 域和频域的局部化矛盾。 24 在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处 理中，信号在任一

13、时刻附近的频域特征都很重要。如柴油 机缸盖表面的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬 变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人 们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察 信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。这就是所谓的 时频分析法，亦称为时频局部化方法。 25 1.1.2 短时傅里叶变换 由于标准傅里叶变换只在频域里有局部分析的能力， 而在时域里不存在局部分析的能力，因此 Dennis Gabor于 1946年引入了短时傅里叶变换 (Short-time Fourier Transform)。短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分 成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每

14、一个时间间隔， 以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为 (1.12) tgtfS t de)()(),( i R * wtwtw 26 其中，“ *”表示复共轭； g(t)为有紧支集的函数； f(t)为被 分析的信号。在这个变换中， ejwt起着频限的作用， g(t)起 着时限的作用 。随着时间 t的变化， g(t)所确定的“时间窗” 在 t轴上移动，使 f(t)“逐渐”进行分析。因此 g(t)往往被称为 窗口函数， S(w， t)大致反映了时刻为 t、频率为 w时 f(t)的 “信号成分”的相对含量。这样，信号在窗函数上的展开 就可以表示为在 t d， t d、 w e ， w e 这一

15、区域内的状态，并把这一区域称为窗口， d和 e分别称为窗 口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小 则分辨率就越高。 27 很显然希望 d和 e都非常小，以便有更好的时频分析效果， 但 海森堡 (Heisenberg)测不准原理 (Uncertainty Principle)指 出， d和 e是互相制约的，两者不可能同时都任意小 (事实上， ，且仅当 为 高斯函数 时， 等号成立 )，变换如图 1.2所示。 2 2 2 4/1 e 1)( d d t tg 2 1de 28 图 1.2 29 由此可见，短时傅里叶 (STFT)虽然在一定程度上克服 了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的

16、缺陷，但它也存 在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数 g(t)确定后，矩形 窗口的形状就确定了， t、 w只能改变窗口在相平面上的位 置，而不能改变窗口的形状。可以说 STFT实质上是具有 单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗 函数 g(t)。 因此， STFT用来分析平稳信号犹可，但对非平 稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求 有较高的时间分辨率 (即 d要小 )，而波形变化比较平缓的时 刻，主频是低频，则要求比较高的频率分辨率 (即 e要小 )， 而短时傅里叶不能兼顾两者。 30 1.1.3 小波分析 小波分析方法是一种窗口大小 (即窗口面积 )固定但其 形状可改

17、变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析 方法。即在 低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间 分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率 分辨率 ，所以被誉为数学显微镜。正是这种特性，使小波 变换具有对信号的自适应性。 信号长度越长，频率分辨率越好 31 小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来 的工作结晶，已经广泛地应用于信号处理、图像处理、量 子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、 CT成 像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故 障诊断与监控、分形以及数字电视等科技领域。原则上讲， 传统上使用傅里叶分析的地方，都可以用小波分析取代。 小波分析优于傅里叶

18、变换的地方是，它在时域和频域同时 具有良好的局部化性质。 32 设 y(t) L2(R)(L2(R)表示平方可积的实数空间，即能 量有限的信号空间 )，其傅里叶变换为 Y(w)。当 Y(w)满足 允许条件 (Admissible Condition)： (1.13) 时，我们称 y(t)为一个基本小波或母小波 (Mother Wavelet) 。将母函数 y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序 列。 RC wwwyy d)( 2 y 33 对于连续的情况，小波序列为 (1.14) 其中， a为伸缩因子； b为平移因子。 对于离散的情况，小波序列为 (1.15) 0;,1)(, aba a

19、 bt a tba Ryy Z,)2(2)( 2/, kjktt jjkj yy 34 对于任意的函数 f(t) L2(R)的连续小波变换为 (1.16) 其逆变换为 (1.17) R 2/1 , d)(, ta bttfafbaW baf yy R R 2 dd),(11)( baa btbaWaCtf f y y 35 小波变换的时频窗口特性与短时傅里叶的时频窗口不 一样。其窗口形状为两个矩形 b aDy， b aDy ( w0 DY)/a， ( w0 DY)/a，窗口中心为 (b， w0/a)，时窗和频窗宽分别为 aDy和 DY/a。其中， b仅仅 影响窗口在相平面时间轴上的位置，而 a

20、不仅影响窗口在 频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波变换对不 同的频率在时域上的取样步长是调节性的：在低频时，小 波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频时， 小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符 合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。 36 这便是它优于经典的傅里叶变换与短时傅里叶变换的地方。 从总体上来说，小波变换比短时傅里叶变换具有更好的时 频窗口特性。 37 1.1.4 小波分析与傅里叶变换的比较 小波分析是傅里叶分析思想方法的发展与延拓，它自 产生以来，就一直与傅里叶分析密切相关，它的存在性证 明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅里叶分析，二 者是

21、相辅相成的。两者相比较主要有以下不同点。 (1)傅里叶变换的实质是把能量有限信号 f(t)分解到以 ejwt为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限 信号 f(t)分解到 W j(j 1， 2， ， J)和 V j所构成的空间上 去。 38 (2)傅里叶变换用到的基本函数只有 sin(wt)、 cos(wt)、 exp(jwt)，具有唯一性；小波分析用到的函数 (即小波函数 ) 则具有不唯一性，同一个工程问题用不同的小波函数进行 分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用 到实际中的一个难点问题 (也是小波分析研究的一个热点问 题 )，目前，往往是通过经验或不断的试验 (对结果进

22、行对 照分析 )来选择小波函数。 39 (3)在频域中，傅里叶变换具有较好的局部化能力，特 别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅里叶变 换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如 sin(w1t) 0.345sin(w2t) 4.23cos(w3t)。但在时域中，傅里 叶变换没有局部化能力，即无法从信号 f(t)的傅里叶变换 F(w)中看出 f(t)在任一时间点附近的性态。事实上， F(w)dw 是关于频率为 w的谐波分量的振幅，在傅里叶展开式中， 它是由 f(t)的整体性态所决定的。 (4)在小波分析中，尺度 a的值越大相当于傅里叶变换 中 w的值越小。 40 (5)在短时傅里

23、叶变换中，变换系数 S(w， t)主要依赖 于信号在 t d， t d片段中的情况，时间宽度是 2d(因 为 d是由窗函数 g(t)唯一确定的，所以 2d是一个定值 )。在小 波变换中，变换系数 Wf(a， b)主要依赖于信号在 b aDy， b aDy片段中的情况，时间宽度是 2aDy，该时间宽度 是随着尺度 a的变化而变化的，所以小波变换具有时间局 部分析能力。 41 (6)若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅里 叶变换不同之处在于：对短时傅里叶变换来说，带通滤波 器的带宽 Df与中心频率 f无关；相反，小波变换带通滤波器 的带宽 Df则正比于中心频率 f，即 (C为常数 ) 亦即滤

24、波器有一个恒定的相对带宽，称之为等 Q结构 (Q为 滤波器的品质因数，且有 )。 CffQ D 带宽 中心频率Q 42 与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函 数具有不唯一性，即小波函数 y(x)具有多样性。但小波分 析在工程应用中的一个十分重要的问题是最优小波基的选 择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生 不同的结果。目前，主要是通过用小波分析方法处理信号 的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，并由此选 定小波基。 1.2 常用小波函数介绍 43 根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标 准通常有： (1)y、 Y、 f和 F的支撑长度。即当时间或频率趋向无 穷

25、大时， y、 Y、 f和 F从一个有限值收敛到 0的速度。 (2)对称性。它在图像处理中对于避免移相是非常有用 的。 (3)y和 f(如果存在的情况下 )的消失矩阶数。它对于压 缩是非常有用的。 (4)正则性。它对信号或图像的重构获得较好的平滑效 果是非常有用的。 44 但在众多小波基函数 (也称核函数 )的家族中，有一些 小波函数被实践证明是非常有用的。我们可以通过 waveinfo函数获得工具箱中的小波函数的主要性质，小波 函数 y和尺度函数 f可以通过 wavefun函数计算，滤波器可 以通过 wfilters函数产生。在本节中，我们主要介绍一下 MATLAB中常用到的小波函数。 45

26、1.2.1 Haar小波 Haar函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑 的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数，它是非连 续的，类似一个阶梯函数。 Haar函数与下面将要介绍的 db1小波函数是一样的。 Haar函数的定义为 (1.18) 其它0 1 2 1 1 2/101 x x Hy 46 图 1.3 Harr小波函数 47 尺度函数为 (1.19) 在 MATLAB中，可以输入命令 waveinfo(haar)获得 Haar函数的一些主要性质，如图 1.3所示。 其它0 101 )( x xf 48 1.2.2 Daubechies(dbN)小波系 Daubechies函数是由世

27、界著名的小波分析学者 Inrid Daubechies构造的小波函数，除了 db1(即 haar小波 )外，其 他小波没有明确的表达式，但转换函数 h的平方模是很明 确的。 dbN函数是紧支撑标准正交小波， 它的出现使离散 小波分析成为可能 。 假设 ，其中， 为二项式 的系数，则有 (1.20) 1 0 1)( N k kkN k yCyP kNkC 1 2 22 0 ( ) ( c os ) ( sin ( ) )22 NmP www 49 其中， 小波函数 y和尺度函数 f的有效支撑长度为 2N 1，小波函 数 y的消失矩阶数为 N。 大多数 dbN不具有对称性，对于有些小波函数，不对称

28、性 是非常明显的。 正则性随着序号 N的增加而增加。 函数具有正交性。 N是小波的阶数 12 0 j 0 e2 1)( N k k khm ww 50 在这里，我们画出 db4和 db8小波的尺度函数、小波函 数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图 1.4所示。 Daubechies小波函数提供了比 Haar组更有效的分析和 综合。 Daubechies系中的小波基记为 dbN， N为序号，且 N 1， 2， ， 10。 在 MATLAB中，可以输入命令 waveinfo(db)获得 Daubechies函数的一些主要性质。 51 图 1.4 52 1.2.3 Biorthogonal(bio

29、rNr.Nd)小波系 Biorthogonal函数系的主要特性体现在具有线性相位性， 它主要应用在信号与图像的重构中，通常的用法是采用一 个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。众所周 知，如果使用同一个滤波器进行分解和重构，对称性和重 构的精确性将成为一对矛盾，而采用两个函数，将有效地 解决这个问题。 设函数用于信号分解，而函数 y用于信号重构，则分 解和重构的关系式为 (1.21) xxxsC kjkj d)()( , y 53 (1.22) 另外， 与 y之间具有二元性 (1.23) 这样，利用 函数的特性，在信号分解时可以获得 一些很好的分解性质 (如振动、零力矩 )，而利用 y的

30、特性， 在信号重构时又可获得一些很好的重构性质 (如正则性 )。 kj kjkjCS , , y 0d)()( 0d)()( ,0,0 , xxx xxx kk kjkj ff yy kkjj , y 54 Biorthogonal函数系通常表示成 biorNr.Nd的形式： Nr 1 Nd 1， 3， 5 Nr 2Nd 2， 4， 6， 8 Nr 3Nd 1， 3， 5， 7， 9 Nr 4Nd 4 Nr 5Nd 5 Nr 6Nd 8 其中， r表示重构 (Reconstruction)； d表示分解 (Decom position)。 55 在这里，我们画出 bior2.4和 bior4.

31、4小波 (分别用于分解 与重构 )的尺度函数、小波函数、分解滤波器和重构滤波器 的图形，如图 1.5所示。 在 MATLAB中，可输入命令 waveinfo(bior)获得该函 数的主要性质。 56 图 1.5 57 1.2.4 Coiflet(coifN)小波系 Coiflet函数也是由 Daubechies构造的一个小波函数， 它具有 coifN(N 1， 2， 3， 4， 5)这一系列。 Coiflet具有比 dbN更好的对称性。从支撑长度的角度看， coifN具有和 db3N和 sym3N相同的支撑长度；从消失矩的数目来看， coifN具有和 db2N和 sym2N相同的消失矩数目。

32、在这里，我们画出 coif3和 coif5小波的尺度函数、小波 函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图 1.6所示。 在 MATLAB中，可输入命令 waveinfo(coif)获得该函 数的主要性质。 58 图 1.6 59 1.2.5 SymletsA(symN)小波系 Symlets函数系是由 Daubechies提出的近似对称的小波 函数，它是对 db函数的一种改进。 Symlets函数系通常表示 为 symN(N 2， 3， ， 8)的形式。 在这里，我们画出 sym4和 sym8小波的尺度函数、小波 函数、分解滤波器和重构滤波器的图形，如图 1.7所示。 在 MATLAB中，可输

33、入 waveinfo(sym)获得该函数的 主要性质。 60 图 1.7 61 图 1.8 62 1.2.6 Morlet(morl)小波 Morlet函数定义为 (1.24) 它的尺度函数不存在，且不具有正交性。 在 MATLAB中，可输入 waveinfo(morl)获得该函数的 主要性质，如图 1.8所示。 )5c o s (e)( 2/2 xCx xy 63 1.2.7 Mexican Hat(mexh)小波 Mexican Hat函数为 (1.25) 2/24/1 2e)1( 3 2)( xxx y 64 图 1.9 65 它是 Gauss函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面， 所

34、以有时称这个函数为墨西哥帽函数 (如图 1.9所示 )。墨西 哥帽函数在时间域与频域都有很好的局部化，并且满足 (1.26) 由于它的尺度函数不存在，因此分析不具有正交性。 在 MATLAB中，可输入 waveinfo(mexh)获得该函数的 主要性质。 0d)( xxy 66 1.2.8 Meyer函数 Meyer小波的小波函数 y和尺度函数 f都是在频域中进 行定义的，是具有紧支撑的正交小波。 (1.27) 3 8 , 3 2 ,0 3 8 3 4 ) ) ,1 2 3 ( 2 c os(e)2( 3 4 3 2 ) ) ,1 2 3 ( 2 si n(e)2( )( 2/i2/1 2/i

35、2/1 w ww ww wy w w 67 其中， v(a)为构造 Meyer小波的辅助函数，且有 v(a) a4(35 84a 70a2 20a3) a 0， 1 (1.28) (1.29) 在 MATLAB中，可输入 waveinfo(meyr)获得该函数的 主要性质，如图 1.10所示。 3 4 0 3 4 3 2 )1 2 3 ( 2 c os()2( 3 2 )2( )( 2/1 2/1 w ww w w 68 图 1.10 69 1.2.9 Battle-Lemarie小波 Battle-Lemarie小波在 MATLAB工具箱中不存在，但它 也是我们常用到的一个小波函数。它具有两

36、种形式，一种 具有确定的正交性，一种不具有确定的正交性。当 N 1时， 尺度函数是线性样条函数；当 N 2时，尺度函数是具有有 限支撑的 B-样条函数。更一般的情况，对于一个 N次 B 样 条小波，尺度函数为 (1.30) 12/j2/1 2/ )2/si n (e)2()( Nk w wwf w 70 当 N为奇数时， k 0；当 N为偶数时， k 1。式 (1.30)可以 用来构造滤波器。 它的双尺度关系为 (1.31) 当 N为偶数时， f是对称的， x 1/2；当 N为奇数时， f是反 对称的， x 0。 12)12(2 2)12(2 )( 22 0 2212 12 0 122 MNj

37、MxC MNjMxC x M j M j M M j M j M f f f 71 1.2.10 其他一些实数小波简介 下面介绍几个 MATLAB工具箱中的实数小波函数。 1.RbioNr.Nd小波 RbioNr.Nd函数是 reverse双正交小波。 在 MATLAB中，可输入 waveinfo(rbio)获得该函数的 主要性质。 72 2.Gaus小波 Gaus小波是从高斯函数派生出来的 (1.32) 其中，整数 p是参数，由 p的变化导出一系列的 f (p)，它满足 如下条件 f (p) 2 1 (1.33) 在 MATLAB中，可输入 waveinfo(gaus)获得该函数的 主要性质

38、。 2e)( x pCxf 73 3.Dmey小波 Dmey函数是 Meyer函数的近似，它可以进行快速小波 变换。 在 MATLAB中，可输入 waveinfo(dmey)获得该函数的 主要性质。 74 1.2.11 其他一些复数小波简介 下面所介绍的几个小波复数函数，均在 MATLAB工具 箱中。 1.Cgau小波 Cgau函数是复数形式的高斯小波，它是从复数的高斯 函数中构造出来的，其表达式为 (1.34) 其中，整数 p是参数，由 p的变化导出一系列的 f(p)，它满 足如下条件： 2ee)( i xx pCxf 75 f (p) 2 1 (1.35) 在 MATLAB中，可输入 wa

39、veinfo(cgau)获得该函数的 主要性质。 76 2.Cmor小波 Cmor是复数形式的 morlet小波，其表达式为 (1.36) 其中， fb是带宽参数， fc是小波中心频率。 在 MATLAB中，可输入 waveinfo(cmor)获得该函数的 主要性质。 bci2 b e)( f x xf efx y 77 3.Fbsp小波 Fbsp是复频域 B样条小波，表达式为 (1.37) 其中， m是整数型参数； fb是带宽参数； fc是小波中心频率。 在 MATLAB中，可输入 waveinfo(fbsp)获得该函数的 主要性质。 xfm m xffx ci2b b e)(s i n (

40、)( y 78 4.Shan小波 Shan函数是复数形式的 shannon小波。在 B样条频率小 波中，令参数 m 1，就得到了 Shan小波，其表达式为 (1.38) 其中， fb是带宽参数； fc是小波中心频率。 在 MATLABA中，可输入 waveinfo(shan)获得该函数 的主要性质。 下面，我们将 MATLAB工具箱中 15个小波 (或小波系 ) 的一些主要的性质加以对比，见表 1-1。 xfxffx cj2 bb e)s i n()( y 79 表 1-1 MATLAB工具箱中 15个小波 (或小波系 )的主要性质 80 续表 81 1.3.1 一维连续小波变换 定义 1.3

41、 设 y(t) L2(R)，其傅里叶变换为 Y(w)，当 Y(w)满足允许条件 (完全重构条件或恒等分辨条件 )： (1.39) 1.3 连续小波变换 R 2 d)( w w wy yC 82 时，我们称 y(t)为一个基本小波或母小波 (MotherWavelet)。 将母函数 y(t)经伸缩 (Dilation)和平移 (Translation)后得： (1.40) 称为一个小波序列。其中， a为伸缩因子； b为平移因子。 0;R,1)(, aba a bt a tba yy 83 对于任意的函数 f (t) L2(R)的连续小波变换为 (1.41) 其重构公式 (逆变换 )为 (1.42

42、) R t a bttfafbaW baf d)(, 2/1 , yy baa btbaWaCtf f dd)(),(11)( 2 y y 84 由于基小波 y(t)生成的小波 ya， b(t)在小波变换中对被 分析的信号起着观测窗的作用，因此 y(t)还应该满足一般 函数的约束条件 (1.43) 故 Y(w)是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条 件 (1.39)， Y(w)在原点必须等于 0，即 tt d)(y 0d)()0( ttyy 85 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，除了完全 重构条件外，还要求小波 y(t)的傅里叶变换满足下面的稳 定性条件： (1.44) 式中， 0

43、AB1)，公式 存在几种扩展的可能性，一种可能性是选择小波 f(t) L2(Rn)使其为球对称，其傅里叶变换也同样为球对称， (1.46) baa btbaWaCtf f dd)(),(11)( 2 y y )()( 95 并且其相容性条件变为 (1.47) 对所有的 f， g L2(Rn)有 (1.48) 这里， ， ，其中 a R ， a0且 b Rn。 0 2 d)()2( t ttC n y gfCbbaWbaWa da gfn ,d),(),( 0 1 y baf fbaW ,),( y )()( 2/, a btat nba yy 96 公式 (1.42)也可以写为 (1.49)

44、如果选择的小波 y不是球对称的，则可以用旋转进行 同样的扩展与平移。例如，在二维时，可定义 (1.50) 0 R , 1 1 d),(d n bbaWa aCf bafn yy , , 1 1( ) ( ( ) )ab tbta a y y F 97 这里， a0， b R2， ，相容条件变为 (1.51) 该等式对应的重构公式为 (1.52) c o s sin sin c o s F 0 20 22 d)s i n,c os(d)2( y rrr rC 0 R 2 0 , 3 1 2 d),(dd p y y baf baWba aCf 98 对于高于二维的情况，可以给出类似的结论。 在

45、MATLAB中，系统只给出了关于一维和二维的小波 变换函数，有关这些函数用法的详细说明见 2.3、 2.4两节。 99 1.4.1 一维离散小波变换 在实际运用中，尤其是在计算机上实现，连续小波必 须加以离散化。因此，有必要讨论一下连续小波 ya， b(t)和 连续小波变换 Wf(a， b)的离散化。需要强调指出的是，这 一离散化都是针对连续的尺度参数 a和连续平移参数 b的， 而不是针对时间变量 t的，这一点与我们以前习惯的时间离 散化不同，希望引起注意。 1.4 离散小波变换 100 在连续小波中，考虑函数 (1.53) 这里， b R， a R ，且 a0， y是容许的，为方便起见， 在

46、离散化中，总限制 a只取正值，这样相容性条件就变为 (1.54) )()( 2/1, a btatba yy w w w y d )( 0 C 101 通常，把连续小波变换中尺度参数 a和平移参数 b的离 散化公式分别取作 ， ，这里 j Z， 扩展步长 a01是固定值，为方便起见，总是假定 a01(由于 m可取正也可取负，所以这个假定无关紧要 )。所以对应的 离散小波函数 yj， k(t)即可写作 (1.55) jaa 0 00 bkab j )()()( 002/0 0 002/ 0, kbtaaa bkatat jj j j j kj yyy 102 而离散化小波变换系数则可表示为 (1

47、.56) 其重构公式为 (1.57) c是一个与信号无关的常数。 kjkjkj ftttfc , * , ,d)()( yy )()( , tcctf kjkj y 103 然而，怎样选择 a0和 b0才能够保证重构信号的精度呢？ 显然，网格点应尽可能密 (即 a0和 b0尽可能小 )，因为如果网 格点越稀疏，使用的小波函数 yj， k(t)和离散小波系数 cj， k就 越少，信号重构的精确度也就会越低。 在 MATLAB中，离散小波变换可以用 dwt、 dwt2函数 实现。 104 1.4.2 二维离散小波变换 为了将一维离散小波变换推广到二维，只考虑尺度函 数是可分离的情况，即 f(x，

48、y) f(x)f(y) (1.58) 其中， f(x)是一维尺度函数，其相应的小波函数是 y(x)， 下列三个二维小波基是建立二维小波的基础： y1(x， y) f(x)y(y) y2(x， y) y(x)f(y) y3(x， y) y(x)y(y) 105 它们构成二维平方可积函数空间 L2(R2)的正交归一基 ： (1.59) 二维离散小波分解的过程如下： 从一幅 N N的图像 f1(x， y)开始，其中上标指示尺度 N 是 2的幂。对于 j 0， 2j 20 1尺度，也就是原图像的尺度 。 j值的每一次增大都使尺度加倍，而使分辨率减半。 ),;3,2,1;0)(2,2(2),(, Z n

49、mljljnymxyyx jjljl nmjy 106 在变换的每一层次，图像都被分解为四个 1/4大小的图 像，它们都是由原图与一个小波基图像的内积后，再经过 在行和列方向进行 2倍的间隔抽样而生成的。对于第一个 层次 (j 1)，可写成 后续的层次 (j1)，依次类推，形成如图 1.12所示的形 式。 )2,2(),(),( )2,2(),(),( )2,2(),(),( )2,2(),(),( 3 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 0 2 nymxyxfnmf nymxyxfnmf nymxyxfnmf nymxyxfnmf y y y f 107 图 1.12 108 若

50、将内积改写成卷积形式，则有 )2,2(),(*),(),( )2,2(),(*),(),( )2,2(),(*),(),( )2,2(),(*),(),( 30 2 3 2 20 2 2 2 10 2 1 2 0 2 0 2 1 1 1 1 nmyxyxfnmf nmyxyxfnmf nmyxyxfnmf nmyxyxfnmf j j j j y y y f 109 因为尺度函数和小波函数都是可分离的，所以每个卷 积都可分解成行和列的一维卷积。例如，在第一层，首先 用 h0( x)和 h1( x)分别与图像 f1(x， y)的每行作卷积并丢弃 奇数列 (以最左列为第 0列 )。接着这个 N (

51、N/2)阵列的每列 再和 h0( x)和 h1( x)相卷积，丢弃奇数行 (以最上行为第 0 行 )。结果就是该层变换所要求的四个 (N/2) (N/2)的数组 ，如图 1.13所示。 110 图 1.13 111 重构过程与上述过程相似。在每一层，通过在每一列 的左边插入一列零来增频采样前一层的四个阵列；接着用 h0(x)和 h1(x)来卷积各行，再成对地把这几个 N/2 N的阵列 加起来；然后通过在每行上面插入一行零，将刚才所得的 两个阵列的增频采样为 N N；再用 h0(x)和 h1(x)与这两个阵 列的每列卷积。这两个阵列的和就是这一层重建的结果。 重构过程如图 1.14所示。 112

52、 图 1.14 113 1.4.3 二进小波变换 离散小波变换要求对尺度参数 a和平移参数 b进行离散 化。为了使小波变换具有可变化的时间和频率分辨率，适 应待分析信号的非平稳性，我们很自然地需要改变 a和 b的 大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。换言之，在 实际中采用的是动态的采样网格。最常用的是二进制的动 态采样网格： a0 2， b0 1，每个网格点对应的尺度为 2j， 而平移为 2jk。由此得到的小波 yj， k(t) 2 j/2y(2 jt k) (j， k Z) (1.60) 称为二进小波 (DyadicWavelet)。 114 二进小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定一

53、开 始选择一个放大倍数 2 j，它对应为观测到信号的某部分内 容。如果想进一步观看信号更小的细节，就需要增加放大 倍数，即减小 j值；反之，若想了解信号更粗的内容，则可 以减小放大倍数，即增大 j值。在这个意义上，小波变换被 称为数学显微镜。 115 定义 1.5 设函数 yj， k(t) L2(R)，如果存在两个常数 A、 B，且 0AB，使得稳定性条件几乎处处成立，即 (1.61) 则 yj， k(x)为一个二进小波。若 A B，则称为最稳定条件。 而函数序列 叫做 f 的二进小波变换，其中 (1.62) Z 2 2 j j BA w R *22 d)2()(21)(),()( tkttf

54、ktfkfW jjjj yy 116 上式相应的逆变换为 (1.63) 二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度 参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量保持连续变 化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量， 这也正是它同正交小波基相比具有的独特优点。 Z 22Z 22 d)2()()()()( j j j kktxfWtkfWtf jjjj yy 117 1.4.4 二进正交小波变换 定义 1.6 设 yj， k(t) L2(R)，且满足 (1.64) 由此得到的小波 y(t)称为二进正交小波。 尺度参数 a和平移参数 b按 a0 2， b0 1离散化，则二 进正交小波为 yj

55、， k(t) 2 j/2y(2 jt k) (j， k Z) (1.65) 2( ) 1 jZ Yw 118 函数序列 叫做 f的二进正交小波变换。 (1.66) 上式相应的逆变换为 (1.67) R *22 d)2()(21)(),()( tkttfktfkfW jjjj yy Z2 )( kkfW j Z 22Z 22 d)2()()()()( j j j kktxfWtkfWtf jjjj yy 119 1.4.5 双正交小波变换 使用两个不同的小波基，一个用来分解，另一个用来 重建，构成彼此对偶的双正交的小波基： (1.68) 两个小波都能用于分解： (1.69) mkljmlkj ,

56、 , ddyy )(),()(),( , xxfdxxfc kjkjkjkj yy 120 而重建为 (1.70) 一维双正交小波变换通过四个离散滤波器实现，需要 选择两个低通滤波器即尺度向量，使它们的传递函数满足 (1.71) 其中， 是折叠频率。 0 0 0 0(0 ) (0 ) 1 ( ) ( ) 0NNH H H s H s 且 )()()( , , xdxcxf kj kjkjkjkj yy xs N D 21 121 由它们产生两个带通滤波器 (小波向量 )： (1.72) 双正交小波变换的一个分解步骤和一个重建步骤如图 1.15所示。 )1()1()()1()1()( 0101

57、nhnhnhnh nn 122 图 1.15 123 双正交小波为 (1.73) 二维双正交小波变换由对应的小波基确定，正变换的 二维小波基为 1( ) 2 ( 1 ) ( 2 ) n x h n x nyf 1( ) 2 ( 1 ) ( 2 ) n x h n x nyf 124 (1.74) 反变换的二维小波基为 (1.75) )()(),(),()(),(),()(),( 321 yxyxyxyxyxyx yyyfyyyfy )()(),(),()(),(),()(),( 321 yxyxyxyxyxyx yyyfyyyfy 125 1.4.6 平稳小波变换 常用的离散二进小波变换在尺度

58、间的正交小波基是非 一致降样取样的，随着尺度的增大，取样间隔以 2的指数 变大，因而不能从多尺度的角度很好地匹配信号的局部特 征，故该方法在信号的奇异点容易产生振荡效应。 平稳小波变换是在正交小波变换的基础上提出的，它 是一种冗余小波变换，使用冗余离散小波基，具有平移不 变性，因而信号在冗余离散小波基上的表示可看成是信号 在一系列离散小波基上表示的平均，小波系数和尺度系数 与原始信号等长，可以很好地削弱离散二进小波变换中的 振荡效应。图 1.16描述了平稳小波变换分解的基本步骤。 126 图 1.16 127 图 1.16表明了平稳小波变换与正交小波变换不同，平 稳小波变换在每次分解时不进行下

59、抽样。由于平稳小波变 换去除了下抽样处理，包含在小波系数中的信息是冗余的， 这种冗余性有利于找到尺度内与尺度间小波系数之间的依 赖关系，使建立在小波系数邻域上的系数方差估计精度有 了很大的提高。 平稳小波变换的重构过程是：首先对变换后的小波系 数分别进行偶抽样和奇抽样，将偶抽样和奇抽样后的小波 系数分别进行重构；然后求它们的平均值。 128 平稳小波变换的分解公式为 (1.76) (1.77) 其中， cj， k为尺度系数 (近似部分的系数 )； dj， k为小波系数 (细节部分的系数 )； 、 分别表示在 h0、 h1两点 间插入的 2j 1个零； h0 f1， 0， f0， k ， h1

60、y1， 0， y0， k ； y为尺度函数； 为小波函数； n 0， 1， ， N 1， N是信号长度。 2 , 0 1 ,( 2 ) j j k j n n c h n k c 2 , 1 1 ,( 2 ) j j k j n n d h n k d 20 jh 2 1 jh 129 平稳小波变换的重构公式为 (1.78) 分别为 h0(k)、 h1(k)的对偶基。 1 , 0 0 , 1 1 , 1 ( 2 ) ( 2 1 ) 2 1 ( 2 ) ( 2 1 ) 2 j k j k k jk k c g n k g n k c g n k g n k d 130 1.5.1 矢量小波 传统

61、意义的小波变换是以 Hilbert空间中的内积作为展 开式，我们统称为数量积小波变换。近年来，人们提出并 研究了一种新的小波分析 矢量积小波分析。 1.5 矢量小波变换 131 定义 1.7 数量积小波的尺度函数的双尺度方程表达式 为 (1.79) 其中， hk为 V 1子空间的基函数的展开系数。 k ktkht )2()(2)( ff 132 定义 1.8 数量积小波函数的双尺度方程表达式为 (1.80) 其中， gk为 V 1子空间的正交基的展开系数。 k ktkgt )2()(2)( fy 133 定义 1.9 矢量积小波函数是数量积小波函数的推广， 是它的矩阵表现形式，其尺度函数的双尺度方程可表示为 (1.81) 其中， f为 r维矢量； h*(k)为 r r维矩阵。 k ktkht )2()()( * ff 134 定义 1.10 矢量积小波函数的双尺度方程可表示为 (1.82) 其中，小波函数 y(t)是由 r个函数 y1， y2， ， yr组成的 r 维矢量； g*(k)为 r r维矩阵。 *( ) ( ) ( 2 ) k t g k t kyf 135 1.5.2 矢量积小波变换 令 L2(Rd)为 d维平方可积空间， y (y1， y2， ， yr) 为 r维矢量小波，其自变量 x (x1， x2， ， xd) Rd， f