[信息与通信]第三章 有源滤波器1

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1、第三章第三章 有源滤波器有源滤波器(I)设计不同频段的滤波器所采用的元器件和材料是不同的，设计辅助软件一般也是不同。滤波器设计理论方面的书很多，很多可以直接从网上下载。我们从实际应用出发，先介绍有关滤波器的基础知识，然后介绍一些常用滤波器设计软件和它的应用。滤波器是在依赖于频率基础之上处理信号的一种电路。随频率变化的这种特性称为频率响应频率响应，并以传递函数传递函数H(j)表示，这里 是角频率以弧度/秒（rad/s）计，而j是虚数虚数单位单位(j2=-1)。这个响应进一步具体分为幅度响应|H(j)|和相位响应 ;它们分别给出了当信号通过该滤波器后所经受的增益增益和相移相移。2f()H j频率响

2、应概述频率响应概述 根据幅度响应，滤波器可分为低通低通、高通、带通高通、带通、和带带阻阻（或隔阻隔阻）滤波器。第5类滤波器是称为全通滤波器全通滤波器，它只处理相位而保持幅度为常数。参照图3.1，将这些理想响应地定义如下。图3.1 理想滤波器（a）低通；（b）高通；（c）带通；（d）带阻；（e）,(f)全通 低通响应用一个称之为截止频率c的频率来表征，而有|H|1，c,这表明低于c的输入信号通过滤波器后幅度没有变化,而c的信号则全部被衰减掉。低通滤波器通常用于消除一个信号中的高频噪声。高通响应与低通响应正好相反，高于截止频率c的信号不被衰减，而c的信号完全被隔离。带通响应用一个称为通带通带的频率

3、带宽频率带宽LH表征，而位于这个频带内的输入信号不受衰减，而在H的信号则被截止住。一种熟知的带通滤波器就是收音机中的调谐电路，它让用户可以选定某一特定的电台而阻断其他的电台。带阻响应与带通响应相反，因为它阻断的频率分量位于阻带LR,电路提供衰减（负的分贝）；在高频|Zc|R,电路提供放大（正分贝）；在0有|Zc|R,电路提供单位增益（0dB）。这样，0称为单位增益频率单位增益频率。整体看待-90=180+90-360积分器积分器图3.6（a）的电路给出Vo=(-Zc/R)Vi=-(1/RCs)Vi，由于电容器是在反馈路径中，所以也称米勒积分器。米勒积分器。由于在频域被s除对应于在时域的积分，这

4、就确认了积分器的名称。它的传递函数是H(s)=-1/RCs (3.19)该积分器的幅度图如图3.6（b）所示。图3.6 积分器及其幅值伯德图带增益的低通滤波器带增益的低通滤波器将一只电阻与反馈电容器并联如图3.9（a）所示，就把这个积分器变成一个带有增益的低通滤波器。令1/Z21/R2+/（1/sC）=(R2Cs+1)/R2，给出H(s)=-Z2/R1,或者 212R1()R R Cs 1H s（3.24）指出一个实数极点在s-1/R2C，令sj，可将H(s)表示成归一化形式001H(j)H 1 j/(3.25a)(3.25b)201HRR 021R C图3.9 带增益的低通滤波器H0就称为直

5、流增益直流增益 因为该电路仅在某一有限频率范围内近似一个积分器特性，所以也称它为有损耗积分器。有损耗积分器。0称为-3 dB频率 带增益的高通滤波器带增益的高通滤波器按图3.10（a）将一电容与输入电阻串联就将微分器转变为一个带增益的高通滤波器。图3.10 带增益的高通滤波器它的传递函数为2111()1RRCsH sR RCs（3.26）它在原点有一个零点而在S=-1/R1C有一个极点令sj，能将H(s)表示成归一化形式为000/()1/jH jHj 201RHR 011RC（3.27a）（3.27b）这里H0称为高频增益，高频增益，0还是-3dB频率。宽带带通滤波器宽带带通滤波器 最后的两个

6、电路能够合并成图3.11(a)的电路，它给出一个带通带通响应。图3.11 宽带带通滤波器 211111221()11RRC sH sR RC sR C s 它的传递函数为（3.28）尽管这是一个二阶滤波器，但在这里选它是为了用以说明用低阶基本构造单元综合出高阶滤波器的例子。令sj得出 式中H0称为中频增益中频增益。这种滤波器用在 L1,这种现象称作峰化。峰化。图3.19 不同Q值的标准二阶响应（a)低通；（b)高通 可以证明在峰化出现之前，Q的最大值是 。它相应的曲线称为最大最大平滑曲线平滑曲线或称为巴特沃兹响应（巴特沃兹响应（Butterworth response）。这条曲线最接近陡峭模型

7、，所以得到广泛的应用。巴特沃兹响中0的意义与一阶响应情况相一致，0都代表的是-3dB频率，也称作截止频率截止频率。1/20.707Q 可以证明，在存在峰值的响应中，即Q1时，|H LP|取最大值时的频率以及相应的最大值是：20/1 1/2Q max21 1/4LPQHQ(3.46a)(3.46b)对于足够大的Q，如Q5，有/0 1和|H LP|max Q。当然，若没有峰值存在，即 ,那么在/00时值为最大，即为直流的时候。峰值响应对第4章要讨论的高阶滤波器的级联综合中是很有用的。1/2Q 高通响应高通响应H H LPLP 所有二阶高通函数的标准形式是H(j)=H0HPHHP(j),式中H0HP

8、称为高频增益，高频增益，而 20200(/)()1(/)(/)/HPHjjQ (3.47)图3.19 不同Q值的标准二阶响应（a)低通；（b)高通（注意，分子中的负号是定义的一部分。）令js，表明H(s)除了有一对极点，在原点还有一个二阶零点。还可以再使用渐近近似来绘制它的幅度图；然而，注意到可以通过把H LP(j/0)中(j/0)换成1/(j/0)就可以得到HHP(j/0),从而使这一过程大大简化，如图3.19（b）所示。因此H HP的幅度图是H LP的镜像。只要用0/取代/0）（3.46）式仍然成立。带通响应带通响应HBP 所有二阶带通函数的标准形式是H(j)=H0BPHBP(j),式中H

9、0BP称为谐振增益谐振增益，而 0200(/)/()1(/)(/)/BPjQHjjQ （3.48）（注意，分子中的Q是定义的一部分。）这个函数除了有一对极点外，在原点还有一个零点。这里仍使用渐进挖来绘制幅度图。可以证明，无论Q取何值，|HBP|在/0=1处最大，因此|HBP|在/0=1的值被称为峰值，峰值，0谐振频率谐振频率。对于不同的Q值，幅度图如图3.20（a）所示。所有曲线的峰值都为0 dB。对应于Q值较低的曲线形状较宽，而对应于Q值较高的曲线形状较为狭窄，这表明它具有比较高的选择性。虽然在远离谐振频率处，高选择性曲线斜率还是最后滚降到20dB/dec，但在/0=1区域附近，这些曲线的斜

10、率要比20dB/dec更为陡峭。图3.20（a）作为Q的函数的标准二阶带通响应；（b)标准二阶带通响应的带宽为了定量表示选择性，现引入带宽带宽的概念：BW=H-L（3.50）式中的L和H都是-3 dB频率，在该频率处的响应比它的最大值低3 dB，如图3.20（b)所示。可以证明 20(1 1/41/2)LQQ20(1 1/41/2)HQQ0LH（3.51a）（3.51b）（3.52）谐振频率0是L和H的几何均值，几何均值，这表明在对数座标轴上0位于L和H之间的中点。显然，带宽越窄，滤波器的选择性越好。然而，选择性还依赖于0。这是因为，BW10rad/s和01 k rad/s的滤波器的选择性明显

11、优于BW10rad/s 和0100rad/s的滤波器。一种有效度量选择性的方法是求0/BW的比值。用（3.51b）式减去（3.51a）并取倒数，可得0QBW（3.53）Q就是选择性。现在对这个参数又有了一个具体的理解。带阻响应带阻响应HN对带阻函数来说，最常用的形式是H(j)HON HN(j),式中HON是一个适当的增益常数，而 202001(/)()1(/)(/)/NHjjQ (3.54)（在3.7节，我们将接触到其他一些带阻函数，在这些函数分子分母中的0可以不相同。）令js，可以看到，H(s)除了有一对极点外，还在虚轴上有一对零点，它们是Z1,2=j0。可以看到，在相当低的或相当高的频率上

12、，有HN1。然而，对于/01，得到HN0及|H N|dB-。带阻响应于图3.21（a）中，通过它可以发现,Q值越高，带阻曲线就会越窄。因为这些原因，0称作为隔波频率。隔波频率。在一个实际电路中，因为元器件的非理想性，一个无限深的凹陷是无法实现的。图3.21 具有不同Q值的标准二阶响应（a)带阻；（b）全通我们注意到 HNHLP+HHP=1-HBP(3.55)这表明，一旦其他响应可资利用时，这是合成带阻响应的另一种方法。全通响应全通响应HAP它的通用形式是H(j)H0APHAP(j),式中H0AP是一个通常的增益项，而2002001(/)(/)/()1(/)(/)/APjQHjjQ （3.56）

13、这个函数有两个极点和两个零点。当Q0.5时，零点和极点都为复数，并且关于j轴对称。因为 N(j)=D(j)，无论频率为何值，都有|H AP|=1或|HAP|dB=0 dB。相位关系为 020(/)/2arctan1(/)APQH 020(/)/3602arctan1(/)APQH 以上表明，在/0从0变化到的过程中，相角由0经过-180变化到-360，如图3.21（b）所示。全通函数也能写成如下形式：（3.57a）（3.57b）0/1 0/1 对于对于1 2APLPBPHPBPHHHHH（3.58）2002001(/)(/)/()1(/)(/)/APjQHjjQ 该式分子有三项，分别对应于低通

14、、高通和带通。要有理论基础我们才会应用软件进行辅助设计！3.5KRC滤波器滤波器 既然一个R-C级可提供一阶低通响应，那么两个相同的级联，如图3.22（a）所示，就应该会产生二阶响应二阶响应，而且不用电感。实际上，电容在低频相当于开路，会让输入信号以H1V/V通过电路。输入信号在高频会被电容C1和C2旁路到地，因而产生两步衰减；因此称其为二阶。一个单级R-C在高频的传递函数是H1/(j/0)，两个级的组合级联的传递函数就应为H1/(j/1)x1/(j/2)-1/(/0)2，这表明渐近线的斜率是 -40 dB/dec。图3.22（a）中的滤波器作为一个二阶低通响应，就满足渐近准则，但是它却不能在

15、/01附近为控制幅度图形提供足够的灵活性。事实上可以证明，所有这些无源滤波器都有Q0.5。012图3.22（a）二阶低通滤波器的无源实现；（b）二阶低通滤波器的有源实现如果希望使Q值大于0.5，就需要在0附近，增大幅度响应。实现这个目的的一种方法就是增加一个可控的正反馈量正反馈量。如图3.22（b）所示，R2-C2级的输出经一个增益为K的放大器放大，然后通过C1反馈回至中间级节点，它的低端已脱离地电位而当作正反馈通路。这种反馈必须仅仅在特别需要增强的0附近才能奏效。可以使用物理概念来验证反馈的带通特性：对于/01,C2产生的短路使得Vo太小而无法起作用；然而在/01附近存在着反馈，可以通过改变

16、K值来进行调整，以获得要求的峰值。图3.22（b）类型的滤波器确切地称为KRC滤波器或以它的发明者名字而称之为塞林更（塞林更（Sallen-Key）滤波器）滤波器图3.22（a）二阶低通滤波器的无源实现；（b）二阶低通滤波器的有源实现低通低通KRC滤波器滤波器如图3.23所示，增益单元是由一个起同相放大器作用的运算放大器实现的，有1BARKR(3.59)图3.23 低通KRC滤波器注意到，电路利用运算放大器的低阻抗输出得到VO。通过观察有12211OVKVR C S212211OVC SVKRC S这个公式是根据V1在R2，C2上分压得到的在V1节点对电流求和，即111121/01/iOOVV

17、VKVVVRRC S消去V1，然后合并整理可得21122111222()(1)1OiVKH SVRC R C SK RCRCR C S令sj可得211221112221()1(1)H jKRC R CjK RCRCR C接着，把这个函数表示成标准形式 ，式中的 HLP(j)如（3.44）式所示。令对应系数相等，通过观察，可得0()()LPLPH jHHj2001()1(/)(/)/LPHjjQ 211221112221()1(1)H jKRC R CjK RCRCR C0()()LPLPH jHHj0LPHK(3.60a)(3.60b)2211220(/)RC R C 令得011221RC R

18、 C这表明0是单级频率=1/R1C1和1/R2C2的几何均值。最后，令j（1-K）R1C1+R1C2+R2C2=(j/0)/Q，可得 1 1221 22 1221 11(1)/QK RC RCRC RCRC RC(3.60c)可以观察到K和Q依赖于元件的比值，而0依赖于元件的乘积。由于元件容差和运算放大器的非理想性，一个实际滤波器参数有可能偏离它们的期望值。可按如下方式进行调谐：（a）调节R1，获得要求的0（这种调整同时也改变Q）；（b）一旦0调整好后，调节RB获得要求的Q(这不会改变0；然而，却改变了K。因为它对频率特性没有影响，所以它的改变关系不大)。因为只有三个方程而有五个参数（K,R1

19、,C1,R2和C2）,就得先固定其中的两个，这样就可以为余下的三个参数列出设计方程。两种常用的设计方法分别是等值元件等值元件设计法和单位增益单位增益设计法（其他设计方法将会在本章末中讨论）。等值元件等值元件KRC电路电路令R1=R2=R和C1=C2=C,简化上述各式，将（3.60）式简化为0LPHK01RC13QK得出的设计方程为01/RC3 1/KQ(1)BARKR（3.61）（3.62）单位增益单位增益KRC电路电路令K以使元件数是少，同时也使该运算放大器带宽最大（这个问题会在第章讨论）。为了简化计算，列出各元件值如下R2=R,C2=C,R1=mR 和C1=nC。于是，（3.60）式简化为

20、01/LPHV V01mnRC1mnQm（3.64）可以证明，对某一给定的n,当m=1，也即电阻值相等时，Q值最大，当m=1，由（3.64）式可得n=4Q2。实际中，若使用两个以某一比值n4Q2较易获得的电容器；此时 m可由 得到，式中 。21mkk2/21knQ高通高通KRC滤波器滤波器类似的推导可得到高通、带通和带阻的KRC滤波器 互相交换低通R-C级中的元件，就会将它变成一个高通C-R级。交换图3.23中的低通滤波器的电阻和电容可以得到图3.27中的滤波器。利用直观判断，可以很容易地将它归类为高通类型。通过类似的分析，可以得出VO/Vi=H0HP HHP,式中HHP由（3.47）式可得，

21、有和低通的情况类似，对设计者来说两种简单的设计方法分别是等值元件和单位增益设计方法。图3.27 高通KRC滤波器0HPHK011221RC R C221 11 22 11 1221(1)/QK RC RCRC RCRC RC(3.65a)(3.65b)带通带通KRC滤波器滤波器 图3.28所示的电路是由在一个R-C级后再连接一个C-R级构成一个带通单元，并由增益单元经R3提供正反馈得到。这个反馈是用于提升在/01附近的响应的。对滤波器的交流分析可得V0/Vi=H0BPHBP,式中HBP可由（3.48）式得到，而 图图3.28 带通KRC滤波器01312121(1)/(1/)/BPKHK RRC

22、C RR13011221/RRRC R C13132211122111221/1(1)/RRQK RRR CRCRCR CRCR C(3.66a)(3.66b)再次注意到可以通过改变R1来调节0和改变RB来调节Q。如果，,一种合适的选择就是R1=R2=R3=R和C1=C2=C,在这种情况下上述表达式可以简化为2/3Q 04BPKHK02RC24QK相关的设计方程是02/RC42/KQ(1)BARKR(3.67)(3.68)是否可以拿来设计3003000HZ的语音滤波器？带阻带阻KRC滤波器滤波器 图3.29 的的电路是由一个双T网络和一个经由顶部电容提供正反馈的增益单元所组成。这个双T网络为V

23、i到达放大器的输入端提供了另一条正向通路，这就是：低频信号通路R-R和高频信号通路C-C。这表明在频率的高低极值上有HK。然而在中频区域，这两条通路会产生相反的相位角，因此，在放大器的输入端这两个正向信号有互相抵消的趋势。因此可预见是一个带阻型响应。对电路的交流分析可得Vo/Vi=H0NHN,式中HN如（3.54）式所示，而图3.29 带阻KRC滤波器 0NHK01RC142QK（3.69）灵敏度灵敏度 因为元件值的容差和运算放大器非理想性的影响，一个实际滤波器的响应很有可能偏离理论上预期的响应。尽管其中有一些元件可以进行些微的调节，但是由于元件老化和热漂移的因素，偏离还是会出现的。因此有必要

24、弄清楚一个给定的滤波器对于元件值变化的灵敏度有多大。例如，一个二阶带通滤波器的设计者想要知道，当给定电阻和电容有1%的变化时，0和BW的变化范围是多少。设一个滤波器参数0和Q为y,和一个滤波器元件如电阻R或电容C为x,则典型的灵敏度函数可定义为/yxy yxySx xy x（3.90）这里用偏微分来说明滤波器参数通常依赖于多于一个元件值变化的情况。对于微小变化，可以近似为yxyxSyx（3.91）由此可以估计由部分元件值变化部分元件值变化 x/x 而产生的部分参数变化部分参数变化y/y。两边同乘以100可以得到百分数变化百分数变化之间的关系。灵敏度函数满足下述有用的性质：我们以一些通常用的滤波

25、器为例来获得对灵敏度的理解。KRC滤波器的灵敏度滤波器的灵敏度参考图3.23的低通KRC滤波器，由（3.60b）式得 ,因此由（3.92d）式可得 1/21/21/21/201122RCRC把（3.90）式和（3.92）式应用到（3.60c）式就能给出Q的表达式，可得：对于等值元件等值元件设计方法，Q灵敏度可以简化为：而对于单位增益单位增益设计方法，可简化为 因为等值元件设计方法的Q灵敏度会随着Q的增加而增加，所以它在高Q值时是无法接受的。正如我们所知道的 在高Q时是一个重要的考虑因素，这是因为RB/RA比值的一个微小失配就可能会导致Q变为无穷，甚至可能为负，因而会导致振荡现象产生。与此相对比，单位增益设计方法有更低的灵敏度。很显然，设计者在选择一个特定的滤波器设计方法以实现给定应用以前，必须权衡一系列矛盾的因素，这些因素包括电路的简易性、成本、元件值分布、可调性、灵敏度等。QRS