动态方程的线性变换
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1、12/11/20221第四节 动态方程的线性变换12/11/20222 若 是系统的一个状态向量,总可以找到一个非奇异的 线性变换阵 ,有 。那末,也是系统的一个状态变量,经过这种满秩变换后,系统的传递函数阵不变(前面已经证明)。XPXPX X由于非奇异矩阵 的选择不是唯一的,所以 不是唯一的。PX一、状态变量模型的非唯一性二、特征根和特征向量我们称 为特征多项式,它的n个根 为 的特征值。由 解出的向量 称为对应 的特征向量。0|IAn,21A0)(xIAiixi定义:若 是n阶方阵,如果数 和n维非零向量 使关系式 成立(或 ),那末,数 称为方阵 的特征值,非零向量 称为 的对应于 的特
2、征向量。AxxxA0)(xIAAxA12/11/20223例6-4-1:求 的特征值和特征向量。3113A解:2,4,03113|21IA当 时,由:得:41011113113212111xxxx112121xxxx同理,当 时,221101111212121xxxxxx12/11/20224例6-4-2:,求特征值和特征向量。51166116110A解:特征值为3,2,1321当 时,由 ,得:11111xxA31211131211151166116110 xxxxxxA101,0,312111213111xxxxxx42123222122xxx时,同理,96133323133xxx时,12
3、/11/20225q若 有 个互异的特征根 ,则 必可化为对角阵 ,即 ,对角线元素为特征根的值。其转换阵为AAnn,21PAP1npppP21 ,其中 为 对应的特征向量。ipi说明:,那末:nPAP000000211 nnnppppppAPPA221121,即nnnppAppAppA222111我们知道,若 ,则 是 对应的特征向量。所以,转换矩阵 是由 的特征向量组成的。iiippAipiPi三、动态方程的约当标准型(对角型)12/11/20226例6-4-3将 转换为对角阵,并求转换矩阵。51166116110A解:在例6-4-2中,已经求出了 的特征值为:其对应的特征向量分别为:所以
4、转换阵为:3,2,1321TTTppp961,421,101321941620111321pppP即有:3000200011PAP12/11/20227特例:若方阵 是可控标准型,且特征根互异,则转换阵是范得蒙矩阵。A112112222121111nnnnnnPq 若 有相同的特征根时,分两种情况:m个相同的特征值对应的特征向量完备,即m个相同的特征值对应m个独立的特征向量。这种情况较少见。转换阵 的求法同上。AP12/11/20228即:nmmppppP1)(1)1(1 前面m项是对应m重特征根的m个互相独立的特征向量;后面n-m个是互异特征根的特征向量。这时 阵可转换为如下形式的约当标准型
5、。AnPAP000000000000021111阶mm阶)()(mnmn12/11/20229m个相同的特征值对应的特征向量不完备,即m个相同的特征值不存在m个独立的特征向量。这时不能将之化为对角阵而只能转换为约当阵。(设有m个重根 )1m行n-m行11111110000111OOJPAPnm(约当块)12/11/202210 阵的求法分为两块,一块是互异部分,算法同上;另一块是重根部分。设PnmpppppP2)(1)2(1)1(1 的求法:)(1)1(1mpp)1(1)(11)1(1)2(11)1(11)()(0)(mmppAppApA由此可求得:)(2)1(1,mpp上式中,为重根对应的特
6、征向量(广义特征向量);为互异特征根对应的特征向量。)1(,)(1mipi)1(,nmpj12/11/202211例:试将下列状态方程化为约当标准型:uxx100032100010解:求特征值:,2,10|32,1AI (二重根)时的特征向量为:TppAI)111(0)()1(1)1(11另一广义的特征向量:TpppA)101()()2(1)1(1)2(1111 时特征向量:21TppA)421(0)(22212/11/2022124112011112)2(1)1(1pppP且有:,2000100111PAPATBPB9131921uBxAx12/11/202213小结n状态变量模型的非唯一性n特征根和特征向量n动态方程的约当标准型(对角标准型)
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