线性波理论

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1、线性波理论1.1 波浪的流体动力基本方程及边界条件实际海水河水均为有黏性流体，且水表面存在表面张力，所以流 浪运动实际呈黏性流，但黏性及表面张力的影响大小，与波浪的 频率有关。在船舶与海洋工程中，船舶摇摆与拍击，船舶稳定， 兴波阻力；海岸工程中，波浪对港口、防波堤的作用；离岸工程 中，钻井平台，海工建筑，海底油管等。水波起制约作用的物理 因素是重力，粘性力可忽略不计。因此可以用理想流体的势流理 论来研究波浪运动的规律。如下图所示，一间谐前进波沿 x 轴正向移动。h(水深从平均水平面到底部的距离)n(x,t)自由面在平均水面以上的瞬时垂直距离H波高，对于小振幅波，H=2aT周期波速C=L/T,波

2、数k=2n/L，圆频率o=2n/T(2n时间内的波动 次数)对于线性波理论，必须遵循以下 3个假设：(1) 理想不可压缩流体，重力不能忽略；(2) 运动是无旋的，具有速度势；(3) 波浪是线性波(微振幅波)，即水深H远远小于波长L。且满足 Laplace 方程，甲=2甲 +2甲=0 (ovzvn, VxV+8)dT dx底部条件（不可穿透条件）=翌=0 （z=-h）dz自由表面边界条件n=-1（由Lagrange积分塑+1 2 +dt1 =ndt 2+ gz = 0,令z=n,自由表面上相对压力P=0,为使边界条件线性化，假定速度的平方趋向于 0，而得到）。在 z=0 处满足（自由边界条件的近

3、似）n=1 型页1=0综合整理上述公式，可得线性波（小振幅波）的基本方程与边界 条件dx2甲 + 2甲=0 (OVzVn， x + oo) dxdx(丿1.2 线性波理论dp = 0(z = h) n = _1 dpi页1=0上述波浪速度势的求解存在两个困难：（1）自由表面的非线性；（2）这些条件仅在自由表面z=n上满足，n是未知量，因此只能近似求解。假定波浪振幅足够小，即波高 H 远远小于波长 L 可得到上述方程的线性解，故称为线性波理论。由分离变量法求解，令p = f(z)sin (kx ot)将其带入拉普拉斯方程可得2 sin (kx-ot) 2 sin (kx ot) =02即 22=

4、0根据线性其次方程解得方程的通解为f(z)=Akz +Bkz所以(A kz + B kz)sin (kx ot)(A kz B kz)sin(kx ot)d甲dzkh B kh)sin（kx 一 ot） =0 （不可穿透，=h即海底沿z轴方向上的波速为零）由方程的性质可知，必须A -kh Bkh = 0恒成立，上式才能成立，所以A kh = Bkhkh/2, B=D kh/2令 D/2=A kh = B kh，则 A= D所以甲=D(A k(z+h)+ B k(z+h) ) sin(kx ot) /2甲=Dcoshk(z + h) sin(kx - ot) /2n=1 西dt=丄 Dcoshk

5、(z + h)=0、osin(kx ot)=0波面方程为 n= coshkhcos (kx ot)令coshkh=a (a为波幅)即 D= ag，则甲= ag_ coshk(z + h) sin(kx ot)coshkhcoshkh、丿所以自由面形状(波面方程)为n=a cos(kx ot)当h趋向于无穷大时，该式甲=_ag_ coshk(z + h)coshkhsin(kx ot)可化为甲=agekz sin(kx ot)，此公式适用于无限水深的情况波速，波长，周期自由表面n(x,t)上任意一点的z方向速度分量=dn,即波面抬高速度近似等于z方向上的速度分量 dt将上式与=塑联立dzd =

6、dn = 1 d = 1 2甲dz = d = dt (dt) = dF-由式 = ag coshk(z + h) sin(kx ot)对 t 求二阶导后 coshkh再乘以-丄，与此同时，再对上式的z求一阶导，上述两次求导得到的结果需满足d = 12dz = dt最终求得o2=gktanhkh,又 C=L/T=2-=,所以o=kc,将o=kc2 _带入式子o2=gktanhkh，求得波速C=J2_Ltanh (该波速公式适用于各种水深)由上式，在已知L, h的前提下，可求得C;在已知T, h第4页的前提下，可求得L 下面将水波按照水深进行分类由于双曲函数有渐进值，所以按双曲函数的性质将水波进行 分类，其目的是为了工程应用方便，所谓的深水波、浅水波是一 种相对概念。波的类型水深h2 h tanh近似值近似公式深水波L/2WhV81C=F中等水深 波L/20 V h VL/22 h tanhC=J l tanh2 h浅水波0vhWL/202 hC=Jgh通过上述表格可以得出以下结论， 深水波：波速只是波长的函数，与水深无关 浅水波：波速是水深的函数，与波长无关。 中等深水波：波速是波长与水深的函数。