动态方程的线性变换

12/11/20221第四节 动态方程的线性变换12/11/20222 若 是系统的一个状态向量，总可以找到一个非奇异的 线性变换阵 ，有 。那末，也是系统的一个状态变量，经过这种满秩变换后，系统的传递函数阵不变（前面已经证明）。XPXPX X由于非奇异矩阵 的选择不是唯一的，所以 不是唯一的。PX一、状态变量模型的非唯一性二、特征根和特征向量我们称 为特征多项式，它的n个根 为 的特征值。由 解出的向量 称为对应 的特征向量。0|IAn,21A0)(xIAiixi定义：若 是n阶方阵，如果数 和n维非零向量 使关系式 成立（或 ），那末，数 称为方阵 的特征值，非零向量 称为 的对应于 的特征向量。AxxxA0)(xIAAxA12/11/20223例6-4-1：求 的特征值和特征向量。3113A解：2,4,03113|21IA当 时，由：得：41011113113212111xxxx112121xxxx同理，当 时，221101111212121xxxxxx12/11/20224例6-4-2：，求特征值和特征向量。51166116110A解：特征值为3,2,1321当 时，由 ，得：11111xxA31211131211151166116110 xxxxxxA101,0,312111213111xxxxxx42123222122xxx时，同理，96133323133xxx时，12/11/20225q若 有 个互异的特征根 ，则 必可化为对角阵 ，即 ，对角线元素为特征根的值。其转换阵为AAnn,21PAP1npppP21 ，其中 为 对应的特征向量。ipi说明：，那末：nPAP000000211 nnnppppppAPPA221121,即nnnppAppAppA222111我们知道，若 ，则 是 对应的特征向量。所以，转换矩阵 是由 的特征向量组成的。iiippAipiPi三、动态方程的约当标准型（对角型）12/11/20226例6-4-3将 转换为对角阵，并求转换矩阵。51166116110A解：在例6-4-2中，已经求出了 的特征值为：其对应的特征向量分别为：所以转换阵为：3,2,1321TTTppp961,421,101321941620111321pppP即有：3000200011PAP12/11/20227特例：若方阵 是可控标准型，且特征根互异，则转换阵是范得蒙矩阵。A112112222121111nnnnnnPq 若 有相同的特征根时，分两种情况：m个相同的特征值对应的特征向量完备，即m个相同的特征值对应m个独立的特征向量。这种情况较少见。转换阵 的求法同上。AP12/11/20228即：nmmppppP1)(1)1(1 前面m项是对应m重特征根的m个互相独立的特征向量；后面n-m个是互异特征根的特征向量。这时 阵可转换为如下形式的约当标准型。AnPAP000000000000021111阶mm阶)()(mnmn12/11/20229m个相同的特征值对应的特征向量不完备，即m个相同的特征值不存在m个独立的特征向量。这时不能将之化为对角阵而只能转换为约当阵。（设有m个重根 ）1m行n-m行11111110000111OOJPAPnm(约当块)12/11/202210 阵的求法分为两块，一块是互异部分，算法同上；另一块是重根部分。设PnmpppppP2)(1)2(1)1(1 的求法：)(1)1(1mpp)1(1)(11)1(1)2(11)1(11)()(0)(mmppAppApA由此可求得：)(2)1(1,mpp上式中，为重根对应的特征向量(广义特征向量)；为互异特征根对应的特征向量。)1(,)(1mipi)1(,nmpj12/11/202211例：试将下列状态方程化为约当标准型：uxx100032100010解：求特征值：,2,10|32,1AI （二重根）时的特征向量为：TppAI)111(0)()1(1)1(11另一广义的特征向量：TpppA)101()()2(1)1(1)2(1111 时特征向量：21TppA)421(0)(22212/11/2022124112011112)2(1)1(1pppP且有：,2000100111PAPATBPB9131921uBxAx12/11/202213小结n状态变量模型的非唯一性n特征根和特征向量n动态方程的约当标准型（对角标准型）