牛顿-柯特斯求积公式.ppt

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1、工程数学 工程数学 第七章 数值积分 与数值微分 第一节 等距节点的 Newton-Cotes求积公式 第二节 复化求积公式 第三节（ *） 外推算法 第四节 Gauss型求积公式 工程数学 工程数学 引 言 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) b a N F x f x f x d x F b F e w t o n L e i b n t z a i 其 中 为 的 原 函 数公 式 2 0 2 0, )t xe dx t 例 如 ， 对 概 率 积 分 由于被积函数的原函数 F(x)不可能找到，牛顿 - 莱布尼兹公式也就无能为力了。 工程数学 工程数学 0 , () ( )

2、( ) i i n b ii a i a b x fx f x d x A f x 所 谓 ， 从 近 似 计 算 的 角 度 看 ， 就 是 在 区 间 上 适 当 地 选 取 若 干 个 点 ， 然 后 用 这 些 节 点 上 的 函 数 值 的 加 权 平 均 方 法 获 得 定 积 分 的 近 似 值 ， 即 数 值 积 分 ( ) ( ) ( ) ( ) bb aa x f x f x d x x d x 从 数 值 逼 近 的 观 点 看 , 所 谓 数 值 积 分 ， 就 是 用 一 个 具 有 一 定 精 度 的 简 单 函 数 代 替 被 积 函 数 ， 而 求 出 定 积

3、分 的 近 似 值 ， 即 () ( ) ( ) , ( ) ( ) n n bb n aa x p x p x f x f x dx p x dx 插 值 型 求 积 公 式 ，取 （ ） = 得 即 ： 用 插 值 多 项 式 工程数学 工程数学 下面推导插值型求积公式 设 x0 ,x1 , ,xn a,b, pn(x)是 f(x)的 n次 Lagrange 插值多项式 0 ( ) ( ) ( ) n n i i i p x f x l x 则有 ( 1 ) 1 1 0 1 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ! ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) n nn nn

4、fx f x p x w x n w x x x x x x x a x b ( 1 ) 1 ( ( ) )( ) ( ) ( ) ( 1 ) ! nb b b nna a a fxf x d x p x d x w x d x n ( 1 ) 1 0 1( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( 1 ) ! nbb n i i naa i f x l x dx f x w x dxn ( 1 ) 1 0 1( ) ( ( ) ) ( ) ( 1 ) ! n b n i i na i A f x f x w x dxn 工程数学 工程数学 插值型求积公式 00 ( ) ( ) ( ) ( )

5、( 1 ) nnb i i i ia ii f x dx A f x R f A f x 其中 ( ) 0 , 1 , , ( 2 )bii aA l x d x i n 截断误差或余项为 ( 1 ) 1 1( ) ( ( ) ) ( ) ( 3 ) ( 1 ) ! b n naR f f x w x dxn li(x)为 Lagrange插值基函数。 ( 1 ) 1 0 1( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( 1 ) ! nbb n i i naa i f x dx A f x f x w x dxn 工程数学 工程数学 Ai (i=0,1,n) 称为 求积系数 ， xi (i=0,1

6、,n) 称为 求积节点 。 0 ( ) ( ) nb iia i f x d x A f x 数 值 求 积 公 式 的 一 般 形 式 工程数学 工程数学 一、 牛顿 柯特斯求积公式的导出 将积分区间 a,b n等分，节点 xi为 xi=a+ih, i=0,1,2,n 其中 h=(ba)/n。有 第一节 等距节点的牛顿 柯特斯求积公式 当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为 牛顿 柯特斯 (Newton-Cotes) 求积公式。 0 ( ) ( ) ( 4 ) nb iia i f x dx A f x 其中 () b ii a A l x d x 工程数学 工程数学 0 n () 00

7、() ( ) , 0 , 1 , , bb n j ii j ijaa ji n n i j ji xx A l x d x d x xx tj h d t b a C i n ij 00 00 11 ( 5 ) 0 , 1 , , ninn nn ( n ) i jj j i j i t j ( ) C d t ( t j) d t n i j i! ( n i) ! n in Ci(n) 称为柯特斯系数 。 () 00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 ) i nnb n i i ia ii f x dx A f x b a C f x 于是 牛顿 柯特斯求积公式为 引进变换 x=a

8、+th , 0tn xj=a+jh, j=0,1,2,n 工程数学 工程数学 二、两种特殊的数值求积公式 : （ 1）梯形公式 (n=1) x0 =a, x1=b, h= b- a, c0(1)=c1(1) =1/2 I = ( ( ) ( )2b a baf ( x ) d x f a f b T 梯形公式的几何意义 是用四边梯形 x0 ABx1的 面积代替曲边梯形的面积。 x y 0 A B y=P1(x) y=f(x) f0 f1 x0=a x1=b 图 1 工程数学 工程数学 （ 2）辛卜生公式 (n=2) 辛卜生公式又称为抛物线公式 。 I= ( ) 4 ( ) ( ) 62 ( )

9、 4 ( ) ( ) 32 b a b a b a a b f ( x) dx ( f a f f b ) S h a b I f ( x) dx ( f a f f b ) S 或 x0 =a, x1=a+h, x2=b, h= (b-a)/2 C0(2) =1/6 , C1(2) =4/6 , C2(2) =1/6 工程数学 工程数学 辛卜生公式的几何意义是用抛物线 y=P2(x)围成 的曲边梯形面积代替由 y=f(x)围成的曲边梯形面积图 2。 )()2(4)(6)( bfbafafabdxxfb a x y x0 x2 x1 y=P2(x) y=f(x) 0 图 2 工程数学 工程数学

10、 例 ： 用梯形公式与 辛卜生公式 求 3 2 1 x I e d x 的近似值。 解： 辛卜生公式 3 1 2 3 2 2 2 2 1 2 ( 4 ) 0.766 575 505 6 x I e dx e e e I=0.7668010 3 13 2 2 2 1 2 ( ) 0.82 966 081 9 2 x I e dx e e 梯形公式 工程数学 工程数学 n c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 1 2 3 4 5 6 7 8 三、牛顿 柯特斯系数 工程数学 工程数学 例 n=3 为 3/8 辛卜生公式 3 0 0 1 2 3( ) ( 3 3 )8x x baf x

11、 d x f f f f x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3 n=4为 Cotes 公式 x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (b-a)/4 4 3 0 0 1 2 47 3 2 1 2 3 2 7 )90 x x baf ( x ) d x ( f f f f f 工程数学 工程数学 例： 用 Newton-Cotes公式计算 解： 当 n取不同值时，计算结果如下所示。 I准 =0.9460831 1 0 sin xI dx x n 近似结果 1 0.9270354 2 0.9461359 3

12、0.9461109 4 0.9460830 5 0.9460830 工程数学 工程数学 四、代数精度 0 ( ) ( ) nb iia i f x dx A f x 定义 1： 若求积公式 对一 切不高于 m次的多项式 p(x)都等号成立，即 R(p (x)=0; 而对于某个 m+1次多项式等号不成立，则称此公式的 代数精度为 m. 代数精度 求法 从 (x)=1,x,x2,x3 依次验证求积公 式是否成立，若第一个不成立的等式是 xm,则其代数 精度是 m-1. 代数精度越高，数值求积公式越精确 定义 2： 若求积公式 对 (x)=1,x,x2,x3x m, 都等号成立，即 R(xi)=0;

13、而对于 xm+1 等号不成立，则称此公式 的代数精度为 m. 0 ( ) ( ) nb iia i f x dx A f x 工程数学 工程数学 例 1： 证明下面数值求积公式 具有 1次代数精度 . 1 0 1( ) ( ( 0) ( 1 ) ) 2f x d x f f 所以求积公式具有 1次 代数精度。 1 0 ( ) 1 1 = 1 ( ) ( ( 0 ) ( 1 ) ) 1 2 fx f x d x f f 取 ， 左 解 ： 右 1 0 () 1 1 1 = ( ) ( ( 0 ) ( 1 ) ) 2 2 2 f x x f x dx f f 取 ， 左 右 2 1 0 () 1

14、1 1 = ( ) ( ( 0 ) ( 1 ) ) 3 2 2 f x x f x d x f f 取 ， 左 右 工程数学 工程数学 例 2： 设有 成立，确定 A0、 A1 、 A2， 使上述数值求积公式的代数 精度尽可能高， 并求代数精度 。 解： 分别取 (x)=1， x， x2，则有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0 A0 + A2=2/3 解得 A0 =1/3， A1 =4/3， A2=1/3； 1 1 1( ) ( ( 1 ) 4 ( 0) ( 1 ) ) 3f x d x f f f 则 取 (x)=x3， 左 =右 =0； (x)=x4， 左 =-11x4dx

15、=2/5 右 =2/3 所以具有 3次代数精度。 1 0 1 21 ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 )f x d x A f A f A f 工程数学 工程数学 Newton-Cotes公式的代数精度 ( 1 )1 1( 1 ) !( ) ( ) ( ) b n nn aR f f x d x 其 中 0 ( ) ( ) nb jja j f ( x ) d x A f x R f 因 为证 明 ： n j0 ( ) ( )b ij a f x d x A f x 其中 n+1(x)= (x-x0) (x-x1). (x-xn-1) (x-xn) 即求积公式 至少具有 n次代 数精度。

16、 定理 1： 由 n+1个 互 异节点 x0 、 x1 、 x n构造的插值 型求积公式的代数精度至少为 n。 这里系数 Aj只依赖于求积节点与积分区间 ,与 f(x)无关。 显然当 f(x)是任何一个不超过 n次 的多项式时 ,余项 ( 1 )1 1( 1 ) !( ) ( ) ( ) 0 b n nn aR f f x d x 工程数学 工程数学 由于 Newton-Cotes公式是其特殊情形 (等距节点 ), 它的代数精度至少是 n,还可以证明 当 n 为偶数时 Newton-Cotes公式的代数精度至少是 n+1. 定理 2： 当 n为偶数时 ， 由 n+1个等距节点 x0 、 x1

17、、 x n构造的牛顿 -柯特斯求积公式的代数精度至少为 n+1。 工程数学 工程数学 五、 Newton-Cotes公式的截断误差 ( ) , ( ) , ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) bb aa f x a b g x a b ab f x g x d x f g x d x （ 第 二 积 分 中 值 定 理 ） 如 果 函 数 在 上 连 续 ， 函 数 在 上 可 积 且 不 变 号 ， 则 存 在 使 引 理 ： 3 ( ) , ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 2 () ( ) 12 b T a f x a b ba R f f x dx f a f b ba

18、f 设 在 上 有 二 阶 连 续 导 数 ， 则 梯 形 求 积 公 式 的 截 断 误 差 定 为 理 3 ： 工程数学 工程数学 带误差项的梯形公式是 3 ( ( ) ( ) ) ( )2 1 2b a b a b af ( x ) d x f a f b f （ ） 1 , ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 2 b T a n f R f x a x b d x a b 证 明 : 由 截 断 误 差 公 式 有 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 b T a f b a R f x a x b d x f 证 毕 ( ) , ( ) ( )

19、 0 , , f x a b x a x b x a b a b 由 于 是 依 赖 于 的 函 数 且 在 上 连 续 ， 又 ， ， 由 引 理 知 ， 在 区 间 上 存 在 一 点 使 得 工程数学 工程数学 证： 已知辛卜生求积公式的代数精度为 3，因此考 虑构造一个三次插值多项式 p3(x)满足下列条件 根据插值余项定理得： 3 ( ) ( )p a f a 3 ( ) ( )p b f b 3 22( ) ( )a b a bpf 3 22( ) ( )a b a bpf ( 4 ) 3 () 2 4 ! 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f abf x p x x a

20、x x b ab 5 ( 4 ) ( ) , ( ) ( ) ( ( ) 4 ( ) ( ) ) 62 () 2880 b S a f x a b b a a b R f f x dx f a f f b ba f 设 在 上 有 4 阶 连 续 导 数 ， 则 辛 卜 生 求 积 公 式 的 截 断 误 差 为 定 理 4 ： 工程数学 工程数学 得到截断误差 3 3 3 3( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( )6 2 6 2 b a b a a b b a a bp x dx p a p p b f a f f b ( 4 ) 21( ) ( ) ( ) ( ) (

21、 ) 4 ! 2 b a abR f f x a x x b d x 3 ()px因 为 是 是 三 次 多 项 式 ， 所 以 ( 4 ) 2 3 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4! b b b ab a a a f x d x p x d x f x a x x b d x 两边求定积分得 ( 4 ) ( ) ,f a b假设 在区间 上连续， 工程数学 工程数学 2 ( 4 ) 2 4 5 ( 4 ) 1 ( ) ( ) ( ) 4 ! 2 1 () 4 ! 2 2880 b a b a ab R f f x a x x b d x ab f x a x x b

22、d x ba f a b 因此辛卜生求积公式的截断误差为 5 ( 4 ) S ( ) ,2880 baR f f a b 2,0 , abx a b x a x x b ab 而且当 时 由引理知，在 上总存在一点 使得 工程数学 工程数学 () 00 1 nn n jj jj A b a C ，例 证 明： 1 , ( ) 1 ,n f x证 取： () 00 ( ) ( ) ( ) ( ) i nnb n i i ia ii f x d x A f x b a C f x 由 ( 1 ) 1 1( ) ( ( ) ) ( ) ( 1 ) ! b n naR f f x w x d xn 及

23、 ( ) 0Rf 知 00 ( ) ( ) 00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ii nn b i i i a ii nn nn i ii b a f x d x A f x A b a C f x b a C 所 以 () 00 1 nn n jj jj A b a C ， 工程数学 工程数学 六、 Newton-Cotes公式的数值稳定性 初步看来 似乎 n值越大，代数精度越高。是不是 n 越大越好呢？答案是否定的。考察 Newton-Cotes 公式的数值稳定性，即讨论舍入误差对计算结果的 影响。 () 00 ( ) ( ) ( ) ( ) i nnb n i i i na i

24、i I f x dx A f x b a C f x I () kfx nk (n) k k 用 I 近 似 计 算 I 时 ， 若 计 算 函 数 值 有 误 差 ， k=0,1,2,.,n; 设 C 没 有 误 差 ， 则 在 牛 顿 - 柯 特 斯 求 积 公 式 的 计 算 中 ， 由 引 起 的 误 差 为 nn ( ) ( ) 00 n () 0 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) () nn n k k k k k kk n kk k e b a C f x b a C f x b a C 工程数学 工程数学 () 0 1 n n k k C () nn ( ) ( ) 00

25、 ( ) ( ) n k nn n k k kk C e b a C b a C k 0 k n 如 果 皆 为 正 ， 并 设 = m a x ， 则 有 ()n n e b a e 故 有 有 界 。 但是 , Newton-Cotes公式的系数在当 n=8 时 ,出 现负数，说明当 n8时，稳定性将得不到保证 ,另一方 面误差项中有高阶导数，一般地说，难以进行误差估 计。因此，在实际计算中，不用高阶的牛顿 柯特斯 求积公式 ,一般我们只取 n=1,2,4。 工程数学 工程数学 二版习题 P276-2, 7(1) 三版习题 P250-2, 4, 8(1) 3() ( ) ( ) 2 2 4 b a a b b a f ( x ) d x b a f f a b 1. 证 明 带 余 项 的 中 点 求 积 公 式