二项式定理知识点总结

《二项式定理知识点总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二项式定理知识点总结（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、二项式定理一、二项式定理：(a + b)n = Coan + Cian-ib HF Cs-kbk h6b ( n e N*)等号右边的多项式叫做nnnn(+ b丄的二项展开式，其中各项的系数Ck (k = 0,1,2,3n)叫做二项式系数。n对二项式定理的理解：(1) 二项展开式有n +1项(2) 字母a按降幕排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幕排列，从 第一项开始，次数由0逐项加1到n(3) 二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对a,b取不同 的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设a = 1，b = x，则 (1 + X丄=C0Xn

2、+ C1X + + Ckxn-k + + Cn%n ( n e N*)nnnn(4) 要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a + b丄展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式(+ b丄二、二项展开式的通项：T = C kan-kbkk F1n二项展开式的通项T = Ckazbk (k = 0,1,2,3n)是二项展开式的第k +1项，它体现了k F1n二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特 定项(如含指定幕的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广 泛应用对通项 T = Cka-kbk (k = 0,1

3、,2,3 n)的理解：k F1n(1) 字母b的次数和组合数的上标相同(2) a与b的次数之和为n(3) 在通项公式中共含有a,b,n,k,T 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素kF1例 1. C1 + 3C2 + 9C 3 + f 3兀一1 Cn 等于()nnnn4n4n 一 1A. 4n B。3 4n C。了 -1 D丁例2. (1)求(1+ 2x)7的展开式的第四项的系数；(2) 求(x-)9的展开式中x3的系数及二项式系数+ x三、二项展开式系数的性质：对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0 = C n , C1 = C n-1, C 2 =

4、 C n2 , C k = C nk ,n n n n n nn n增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数:n maxn二 C2 ；n如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即n maxn 1n +1=C 2 = C 2nn 二项展开式的各系数的和等于2n，令a = 1， b = 1即Co + C1 + Cn = (1 +1)n = 2n ；nnn 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a = 1，b = -1即C o + C 2 += C1 + C 3 += 2 n1

5、n nn n例题：写出(x y)11的展开式中：(1) 二项式系数最大的项；(2) 项的系数绝对值最大的项；(3) 项的系数最大的项和系数最小的项(4) 二项式系数的和；5)各项系数的和四、多项式的展开式及展开式中的特定项求多项式(叮a2 + a )n的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用n二项式定理展开。例题：求多项式(x 2+2 -2)3的展开式(2)求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通 项再分析。例题：求(1 + x)2 - (1 - x)5的展开式中X3的系数例题：(1)如果在Jx +1 A n24 x丿的展开式中，前三项的系数成等差数列

6、，求展开式中的 有理项。国+占一 21 xl丿2）求3的展开式的常数项。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题：已知（1 2 x ）7 = a + ax + ax 2 + ax 7，求：0127 （1） a + a + + a ；（2） a + a + a + a ；（3） I a I + I a I + + I a I.1271357017六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：(1)进行近似计算(2)证明某些整除性问题或求余数(3)证明有关

7、的等式和不等式。如证明：2n 2n(n 3,n g N)取2n = h + d的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法(1) 近似计算的处理方法当n不是很大，| x |比较小时可以用展开式的前几项求(1 + x)n的近似值。例题： (1.05)6的计算结果精确到0.01 的近似值是()A1.23B1.24C1.33D1.34(2) 整除性问题或求余数的处理方法 解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式 用二项式定理处理整除问题，通常把幕的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式, 再利用二项式定理展开，这里的k通常为土 1,若k为其他数，则需对幕的底数k再次构造 和或差的形式再

8、展开，只考虑后面(或者是某项)一、二项就可以了 要注意余数的范围，对给定的整数a,b(b丰0)，有确定的一对整数q和r，满足a = bq + r， 其中b为除数，r为余数，r elo, |b|利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数， 要注意转换成正数 例题：求201363除以 7所得的余数+ Cn-17被9除得的余数是n例题：若n为奇数，则7n + C17nt + C 27n-2 + nnA. 0 B。 2 C。 7D.8例题：当n e N且n1,求证2 (1 + -)n 0,b = 4a，(a + b)n的展开式按a的降幕排列，其中第n项与第n+1项相等，那么正整数 n 等于A. 4B.

9、 9C. 10D. 113已知(+ .)n的展开式的第三项与第二项的系数的比为11 : 2，则n是()3 a 2A10B11C1245310被 8除的余数是A1B2C35 (1.05)6的计算结果精确到 0.01 的近似值是A1.23B1.24C1.33D13()D7()D1.34(1 An6.二项式2JX +(ng N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开I Vx丿A. 1B. 2C. 3式有理项的项数是()1 17.设(3X 3 +X 2 ) n展开式的各项系数之和为t,其二项式系数之和为h,若t+h=272，则展开 式的 x2 项的系数是()A. 1B. 1C. 2D. 32

10、8在(1 + X - X2)6的展开式中X5的系数为()A4B5C6D79101112二、13141516Q订+ 5匚)n展开式中所有奇数项系数之和等于1024,* xx则所有项的系数中最大的值是A330B462C680G-X + 1)4(X - 1)5的展开式中，X4的系数为()D. 790()A40B10C40D45二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7, 则x在0, 2n内的值为且系数最大的一项的值为2,)A.第2项B. 第11项C. 第20项D. 第24项在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中，含X4项的系数是等差数列an=3n-5的填空题：本大题满分

11、16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.(X2 - )9展开式中x9的系数是 .2 x若 Cx + J3)= a + ax + + ax4，则 + a + a- + a )z 的值为,01402413若(x3 + x-2)n的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项 对于二项式(1-x) 1999，有下列四个命题： 展开式中 T= -C 1000 x 999 ；10001999 展开式中非常数项的系数和是1； 展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项;当x=2000时，(1-x) 1999除以2000的余数是1.三、解答题：本大题满分74 分.17. （12分）若（騷X +

12、 Z）n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.6 x（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？18. （12分）已知（4 + 2x ）n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式系数最大的项的系数.19. （12 分）是否存在等差数列ia ,使a Co + a Ci + a C2 + + a Cn二n 2n对任意 nin 2 n 3 nn+1 nn e N*都成立？若存在，求出数列la 的通项公式；若不存在，请说明理由.n20.（12 分）某地现有耕地100000亩，规划10 年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占 有量比现在提高 10%。如果人口年增加率为

13、1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少 亩（精确到1亩）？21（12分）设f（x）=（1+x）m+（l+x）n（m、ne N），若其展开式中，关于x的一次项系数为11, 试问：m、n取何值时，f（x）的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.22.（14分）规定Cm = （，其中xWR, m是正整数，且C0二1，这是xm!x组合数Cm （n、m是正整数，且mWn）的一种推广.n求气的值;C 3 设x0，当x为何值时，荷）2取得最小值?x组合数的两个性质；Cm Cn-m .Cm + Cm-1 = Cmnnnnn+1是否都能推广到Cm （xR，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式 x并给出证明；若不能，则说明理由.