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二项式定理知识点总结

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二项式定理知识点总结

二项式定理一、二项式定理:(a + b)n = Coan + Cian-ib HF Cs-kbk h6b ( n e N*)等号右边的多项式叫做nnnn(+ b丄的二项展开式,其中各项的系数Ck (k = 0,1,2,3n)叫做二项式系数。n对二项式定理的理解:(1) 二项展开式有n +1项(2) 字母a按降幕排列,从第一项开始,次数由n逐项减1到0;字母b按升幕排列,从 第一项开始,次数由0逐项加1到n(3) 二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数a,b,等式都成立,通过对a,b取不同 的特殊值,可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设a = 1,b = x,则 (1 + X丄=C0Xn + C1X + + Ckxn-k + + Cn%n ( n e N*)nnnn(4) 要注意二项式定理的双向功能:一方面可将二项式(a + b丄展开,得到一个多项式; 另一方面,也可将展开式合并成二项式(+ b丄二、二项展开式的通项:T = C kan-kbkk F1n二项展开式的通项T = Ckazbk (k = 0,1,2,3n)是二项展开式的第k +1项,它体现了k F1n二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特 定项(如含指定幕的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广 泛应用对通项 T = Cka«-kbk (k = 0,1,2,3 n)的理解:k F1n(1) 字母b的次数和组合数的上标相同(2) a与b的次数之和为n(3) 在通项公式中共含有a,b,n,k,T 这5个元素,知道4个元素便可求第5个元素kF1例 1. C1 + 3C2 + 9C 3 + f 3兀一1 Cn 等于()nnnn4n4n 一 1A. 4n B。3 4n C。了 -1 D丁例2. (1)求(1+ 2x)7的展开式的第四项的系数;(2) 求(x-)9的展开式中x3的系数及二项式系数+ x三、二项展开式系数的性质:对称性:在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即C 0 = C n , C1 = C n-1, C 2 = C n2 , C k = C nk ,n n n n n nn n增减性与最大值:在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值。如果二项式的幕指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即n偶数:n maxn二 C2 ;n如果二项式的幕指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并最大,即n maxn 1n +1=C 2 = C 2nn 二项展开式的各系数的和等于2n,令a = 1, b = 1即Co + C1 + Cn = (1 +1)n = 2n ;nnn 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,令a = 1,b = -1即C o + C 2 += C1 + C 3 += 2 n1n nn n例题:写出(x y)11的展开式中:(1) 二项式系数最大的项;(2) 项的系数绝对值最大的项;(3) 项的系数最大的项和系数最小的项(4) 二项式系数的和;5)各项系数的和四、多项式的展开式及展开式中的特定项求多项式(叮a2 + a )n的展开式,可以把其中几项结合转化为二项式,再利用n二项式定理展开。例题:求多项式(x 2+2 -2)3的展开式(2)求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项,可以先写出各个二项式的通 项再分析。例题:求(1 + x)2 - (1 - x)5的展开式中X3的系数例题:(1)如果在Jx +1 A n24 x丿的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的 有理项。国+占一 21 xl丿2)求3的展开式的常数项。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时,常用通项公式,用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值,赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题:已知(1 2 x )7 = a + ax + ax 2 + ax 7,求:0127 (1) a + a + + a ;(2) a + a + a + a ;(3) I a I + I a I + + I a I.1271357017六、二项式定理的应用:1、二项式定理还应用与以下几方面:(1)进行近似计算(2)证明某些整除性问题或求余数(3)证明有关的等式和不等式。如证明:2n > 2n(n > 3,n g N)取2n = h + d的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法(1) 近似计算的处理方法当n不是很大,| x |比较小时可以用展开式的前几项求(1 + x)n的近似值。例题: (1.05)6的计算结果精确到0.01 的近似值是()A1.23B1.24C1.33D1.34(2) 整除性问题或求余数的处理方法 解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式 用二项式定理处理整除问题,通常把幕的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式, 再利用二项式定理展开,这里的k通常为土 1,若k为其他数,则需对幕的底数k再次构造 和或差的形式再展开,只考虑后面(或者是某项)一、二项就可以了 要注意余数的范围,对给定的整数a,b(b丰0),有确定的一对整数q和r,满足a = bq + r, 其中b为除数,r为余数,r elo, |b|利用二项式定理展开变形后,若剩余部分是负数, 要注意转换成正数 例题:求201363除以 7所得的余数+ Cn-17被9除得的余数是n例题:若n为奇数,则7n + C17nt + C 27n-2 + nnA. 0 B。 2 C。 7D.8例题:当n e N且n1,求证2 < (1 + -)n < 3 n思维点拨】这类是二项式定理的应用问题,它的取舍根据题目而定综合测试、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1在(晶I0的展开式中,X6的系数为A* - 27C?oB27C140C一 9C6。D* 9C1402.已知 a + b > 0,b = 4a,(a + b)n的展开式按a的降幕排列,其中第n项与第n+1项相等,那么正整数 n 等于A. 4B. 9C. 10D. 113已知(+ .)n的展开式的第三项与第二项的系数的比为11 : 2,则n是()3 a 2A10B11C1245310被 8除的余数是A1B2C35 (1.05)6的计算结果精确到 0.01 的近似值是A1.23B1.24C1.33D13()D7()D1.34(1 An6.二项式2JX +(ng N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开I Vx丿A. 1B. 2C. 3式有理项的项数是()1 17.设(3X 3 +X 2 ) n展开式的各项系数之和为t,其二项式系数之和为h,若t+h=272,则展开 式的 x2 项的系数是()A. 1B. 1C. 2D. 328在(1 + X - X2)6的展开式中X5的系数为()A4B5C6D79101112二、13141516Q订+ 5匚)n展开式中所有奇数项系数之和等于1024,* xx则所有项的系数中最大的值是A330B462C680G-'X + 1)4(X - 1)5的展开式中,X4的系数为()D. 790()A40B10C40D45二项式(1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7, 则x在0, 2n内的值为且系数最大的一项的值为2,)A.第2项B. 第11项C. 第20项D. 第24项在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含X4项的系数是等差数列an=3n-5的填空题:本大题满分16分,每小题4分,各题只要求直接写出结果.(X2 - )9展开式中x9的系数是 .2 x若 Cx + J3)= a + ax + + ax4,则 £ + a + a-£ + a )z 的值为,01402413若(x3 + x-2)n的展开式中只有第6项的系数最大,则展开式中的常数项 对于二项式(1-x) 1999,有下列四个命题: 展开式中 T= -C 1000 x 999 ;10001999 展开式中非常数项的系数和是1; 展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项;当x=2000时,(1-x) 1999除以2000的余数是1.三、解答题:本大题满分74 分.17. (12分)若(騷X + Z)n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.6 x(1)求n的值;(2)此展开式中是否有常数项,为什么?18. (12分)已知(4 + 2x )n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式系数最大的项的系数.19. (12 分)是否存在等差数列ia ,使a Co + a Ci + a C2 + + a Cn二n 2n对任意 nin 2 n 3 nn+1 nn e N*都成立?若存在,求出数列la 的通项公式;若不存在,请说明理由.n20.(12 分)某地现有耕地100000亩,规划10 年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占 有量比现在提高 10%。如果人口年增加率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少 亩(精确到1亩)?21(12分)设f(x)=(1+x)m+(l+x)n(m、ne N),若其展开式中,关于x的一次项系数为11, 试问:m、n取何值时,f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值,并求出这个最小值.22.(14分)规定Cm = "°(,其中xWR, m是正整数,且C0二1,这是xm!x组合数Cm (n、m是正整数,且mWn)的一种推广.n求气的值;C 3 设x>0,当x为何值时,荷)2取得最小值?x组合数的两个性质;Cm Cn-m .Cm + Cm-1 = Cmnnnnn+1是否都能推广到Cm (x£R,m是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式 x并给出证明;若不能,则说明理由.

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