线性代数课本课件5.2

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1、1、线性相关性的概念、线性相关性的概念2、性质、性质5.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性3、向量组的秩、向量组的秩4、矩阵的行秩和列秩、矩阵的行秩和列秩问题问题1 1 给定向量组给定向量组A，零向量零向量是否可以由向量组是否可以由向量组A线线性表示？性表示？问题问题2 2 如果零向量可以由向量组如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组线性表示，线性组合的系数是否合的系数是否不全为零不全为零？()(,)r Ar A b 向量向量b 能由向量能由向量组组 A 线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax=b 有解有解.问题问题11齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax=0 是否存在解是否存在解

2、？回答回答 齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax=0 一定存在解一定存在解事实上，可令事实上，可令k1=k2=km=0，则则k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）（零向量）问题问题1 1 给定向量组给定向量组A，零向量零向量是否可以由向量组是否可以由向量组A线线性表示？性表示？问题问题2 2 如果零向量可以由向量组如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组线性表示，线性组合的系数是否合的系数是否不全为零不全为零？()(,)r Ar A b 向量向量b 能由向量能由向量组组 A 线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax=b 有解有解.问题问题22齐次线性方程组齐次线性方程组 Ax=0 是否存

3、在是否存在非零解非零解？回答回答 齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数不一定全等于零的系数不一定全等于零1、线性相关性的概念、线性相关性的概念定义定义 12,m 设设11220()mmkkk则称向量则称向量12,m 组组12,mk kk使使得得 的数的数为同维向量为同维向量,若存在若存在不全为零不全为零,否则称它们否则称它们向量组向量组A：a1,a2,am线性相关线性相关(无关无关)m 元齐次线性方程元齐次线性方程Ax=0有非零解有非零解(零解零解)r(A)m(r(A)=m)依据前面的分析可得如下依据前面的分析可得如下其中向量的个数就是齐次

4、线性方程组的未知数的个数其中向量的个数就是齐次线性方程组的未知数的个数p给定向量组给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一居其一;p向量组向量组 A：a1,a2,am 线性相关，通常是指线性相关，通常是指 m 2 的情的情形；形；p对于单个向量，当且仅当是对于单个向量，当且仅当是零向量零向量时，线性相关；否则时，线性相关；否则线性无关线性无关p两个非零向量两个非零向量a1 a2线性相关线性相关 a1 ka2(对应分量成比例对应分量成比例)以上结果，显示了以上结果，显示了Rn的向量之的向量之线性相关性线性相关性与与齐齐次次方程组的解方程组的解及及

5、矩阵秩矩阵秩三者之间的联系三者之间的联系.向量组a1 a2线性相关的几何意义是这两个向量共线 n维单位坐标向量组构成的矩阵为E(e1 e2 en)是n阶单位矩阵 由|E|10 知r(E)n 即r(E)等于向量组中向量个数 所以此向量组是线性无关的 例 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性 解 向量组a1 a2 am线性无关r(a1 a2 am)m 已知已知试讨论向量组试讨论向量组 a1,a2,a3 及向量组及向量组 a1,a2 的线性相关性的线性相关性解解 可见可见 r(a1,a2,a3)=2 3（向量的个数）（向量的个数），故向量组故向量组 a1,a2,a3 线性相关；线性相关；同时，同时，

6、r(a1,a2)=2，故向量组故向量组 a1,a2 线性无关线性无关1231021,2,4,157aaa 123102102124 022157000rAaaa本例是向量个数与维数相等的特殊情形，亦即本例是向量个数与维数相等的特殊情形，亦即齐次齐次方程组是方程组是n n的情形的情形.此时，可此时，可计算行列式值计算行列式值的方的方法来判断线性相关性法来判断线性相关性,即即若行列式不等于零，则线性无关若行列式不等于零，则线性无关.1231021001241220157155det aaa故向量组故向量组a1,a2,a3线性无关线性无关.若行列式为零，向量组线性相关；若行列式为零，向量组线性相关；

7、已知已知试讨论向量组试讨论向量组 a1,a2,a3 及向量组及向量组 a1,a2 的线性相关性的线性相关性解解 1231021,2,4,157aaa 设有设有x1 x2 x3使使 x1b1 x2b2 x3b3 0 即即 x1(a1 a2)x2(a2 a3)x3(a3 a1)0 亦即亦即(x1 x3)a1(x1 x2)a2(x2 x3)a3 0 因为因为a1 a2 a3线性无关线性无关 故有故有 例例 已知向量组已知向量组a1 a2 a3线性无关线性无关 b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a1 试证向量组试证向量组b1 b2 b3线性无关线性无关 证法一证法一 利用定义利用定义00

8、0322131xxxxxx 由于此方程组的系数行由于此方程组的系数行列式列式02110011101 故方程组只有零解故方程组只有零解x1 x2 x3 0 所以向量组所以向量组b1 b2 b3线性线性无关无关 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 证法二证法二 反证法反证法 因为因为A的列向量组线性无关的列向量组线性无关 所以可推知所以可推知 Kx 0 又因又因|K|2 0 知方程知方程 Kx 0 只有零解只有零解 x 0 所以矩阵所以矩阵B的列向量组的列向量组b1 b2 b3线性无关线性无关 记作记作 B AK 设设 Bx 0 以以 B AK 代入得代入得

9、A(Kx)0 例例 已知向量组已知向量组a1 a2 a3线性无关线性无关 b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a1 试证向量组试证向量组b1 b2 b3线性无关线性无关 123123(,)(,)101110011b b ba a a 证法三证法三 利用矩阵秩利用矩阵秩 因为因为A的列向量组线性无关的列向量组线性无关 所以所以 r(A)3 从而从而 r(B)3 因此因此b1 b2 b3线性无关线性无关 因为因为|K|2 0 知知K可逆可逆 所以所以 r(B)r(A)把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 记作记作B AK 例例 已知向量组已知向量组a

10、1 a2 a3线性无关线性无关 b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a3 a1 试证向量组试证向量组b1 b2 b3线性无关线性无关 123123(,)(,)101110011b b ba a a 2、线性相关性的性质、线性相关性的性质111111iimiiimiiiikkkkkkkk 不失一般性不失一般性,设设 ki0,于是于是证证 必要性必要性.设向量组设向量组11220mmkkk一组不全为零的数一组不全为零的数k1,k2,ki,km,使得使得12,m 线性相关线性相关,则存在则存在条件是至少有一个向量可由其余条件是至少有一个向量可由其余 (m 1)个向量线性表示个向量线性表示.定理

11、定理 向量组向量组12,(2)mm 线性相关的充要线性相关的充要即即 可由其余可由其余m 1个向量线性表示个向量线性表示.i2、线性相关性的性质、线性相关性的性质条件是至少有一个向量可由其余条件是至少有一个向量可由其余 (m 1)个向量线性表示个向量线性表示.定理定理 向量组向量组12,(2)mm 线性相关的充要线性相关的充要充分性充分性.设向量组设向量组12,m 中的某一个向量中的某一个向量i可以由其余向量线性表示可以由其余向量线性表示,即即111111iiiiimml lll 1111110iiiiimml lll 显然显然,数数 不全为零不全为零,111,1,iimllll 故故 线性相

12、关线性相关.12,m 证证条件是至少有一个向量可由其余条件是至少有一个向量可由其余 (m 1)个向量线性表示个向量线性表示.定理定理 向量组向量组12,(2)mm 线性相关的充要线性相关的充要向量组向量组A：a1,a2,am线性线性相关相关m 元齐次线性方程元齐次线性方程Ax=0有有非零解非零解r(A)m12,m 设设为为 m 维向量维向量,含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵 对对m 阶矩阵阶矩阵A=a1,a2,am,r(A)m的充要条件是的充要条件是至少有一列可由其余的列线性表出至少有一列可由其余的列线性表出0A 则任一向量都不能由其余则

13、任一向量都不能由其余 m 1个向量线性表示个向量线性表示.推论推论 若向量组若向量组12,(2)mm 线性无关线性无关,向量组向量组A：a1,a2,am线性线性无关无关m 元齐次线性方程元齐次线性方程Ax=0有有零解零解r(A)=m 12,m 设设为为 m 维向量维向量,0A 若向量组若向量组12,m 12,m 12,m 线性表示线性表示,且表示式唯一且表示式唯一.线性相关线性相关,则向量则向量 可由可由线性无关线性无关,而向量而向量 由上定理的必要性证明由上定理的必要性证明,可得可得能由能由12,m 线性表示线性表示,下面证明唯一性下面证明唯一性.两式相减两式相减,得得设向量设向量12,m

14、能能由由线性表示为线性表示为1122mmkkk1122mmlll及及 若向量组若向量组12,m 12,m 12,m 线性表示线性表示,且表示式唯一且表示式唯一.线性相关线性相关,则向量则向量 可由可由线性无关线性无关,而向量而向量 唯一性唯一性111222()()()0mmmklklkl0(1,2,)iiiiklk=lim 12,m 由由于于线性无关线性无关,则则 线性表示线性表示,且表示式唯一且表示式唯一.12,m 所所以以向向量量 可可由由 对给定的两组向量对给定的两组向量a1、ak;b1、bs，若已知前一组向量线性无关若已知前一组向量线性无关,且每个向量且每个向量aj(i=1,k)皆可依

15、后一组向量线性表出，则皆可依后一组向量线性表出，则 证明证明已知对每个已知对每个 aj 有有 s 个数个数c1j、csj把把 k 个线性表出关系写成矩阵等式个线性表出关系写成矩阵等式,有有 111111kkssskccaabbcc记记C=cij这是个这是个 s k 矩阵矩阵.若能证明若能证明 r(C)=k则因则因 r(C)s 就可推得就可推得 ks 了了.使成立使成立 aj=c1j bj+csjbs,(j=1,k)对给定的两组向量对给定的两组向量a1、ak;b1、bs，若已知前一组向量线性无关若已知前一组向量线性无关,且每个向量且每个向量aj(i=1,k)皆可依后一组向量线性表出，则皆可依后一

16、组向量线性表出，则 证明证明现考虑齐次方程组现考虑齐次方程组0Cx 其中其中 x 是是 k 1未知数向量未知数向量.解，则由齐次方程组的理论解，则由齐次方程组的理论 必有必有 r(C)=k.只有平凡只有平凡0Cx若证得若证得已知已知a1、ak 线性无关，以反证法证明线性无关，以反证法证明只有平凡解只有平凡解.有非平凡解有非平凡解 T0010kxxx设设0Cx0Cx 对给定的两组向量对给定的两组向量a1、ak;b1、bs，若已知前一组向量线性无关若已知前一组向量线性无关,且每个向量且每个向量aj(i=1,k)皆可依后一组向量线性表出，则皆可依后一组向量线性表出，则 证明证明010110kiiki

17、kxx aaax01111101kssskkccxbbccx1000sbb 又因又因 s k 矩阵矩阵 C 有有 r(C)min(s,k)s,ks这与这与a1,ak线性无关矛盾线性无关矛盾.即即 r(C)=k.只只0Cx故故有平凡解，有平凡解，从而从而线性相关与无关的性质线性相关与无关的性质(1,2,)iiiim 性质性质1 设列向量组设列向量组12,lmR 列列向向量量组组1212,smmR 且且向向量量组组也是线性无关的也是线性无关的.通常称向量通常称向量i 为为接长向量接长向量,i 线性无关线性无关,则则l s 维列向量组维列向量组为为截短向量截短向量.截短向量组截短向量组线性无关时，原

18、向量组必线性无关线性无关时，原向量组必线性无关;加长向量组加长向量组线性相关时，原向量组必线性相关线性相关时，原向量组必线性相关 性质性质2 若向量组若向量组A a1 a2 am线性相关线性相关 则向量组则向量组B a1 a2 am am 1也线性相关也线性相关 反之反之 若向量组若向量组B线线性无关性无关 则向量组则向量组A也线性无关也线性无关 具有具有线性相关部分组线性相关部分组的任一组向量都线性相关的任一组向量都线性相关;一组一组线性无关向量线性无关向量的任一部分组必线性无关的任一部分组必线性无关 性质性质3 m个个n维向量组成的向量组维向量组成的向量组 当当 nm 时一定线性相关时一定

19、线性相关 特别地特别地 n 1个个n维向量一定线性相关维向量一定线性相关 另两个明显成立的常用性质是另两个明显成立的常用性质是 性质性质4含有零向量的任一向量必是线性相关含有零向量的任一向量必是线性相关103100,042010,145001321vvv其中其中例例 试用各种方法说明向量试用各种方法说明向量v1，v2，v3线性无关线性无关解一解一解一解一0332211vvv（5 5-9 9）从定义出发，考察向量的零线性组合从定义出发，考察向量的零线性组合从定义出发，考察向量的零线性组合从定义出发，考察向量的零线性组合由于由于由于由于0000004432510310004201014500131

20、21321321321332211vvv,0,0,0321故故故故321,vvv得证得证得证得证线性无关线性无关线性无关线性无关.解三解三解三解三对向量对向量对向量对向量v v1 1,v v2 2,v v3 3分别删去相同序号的第分别删去相同序号的第分别删去相同序号的第分别删去相同序号的第维向量维向量维向量维向量4 4，5 5，6 6个分量后，形成一组明显线性无关的个分量后，形成一组明显线性无关的个分量后，形成一组明显线性无关的个分量后，形成一组明显线性无关的3 3个个个个3 3100,010,001321eee矩阵的行列式即可判定线性相关性，现在的情形是矩阵的行列式即可判定线性相关性，现在的

21、情形是矩阵的行列式即可判定线性相关性，现在的情形是矩阵的行列式即可判定线性相关性，现在的情形是因在向量个数与向量维数相同时，计算因在向量个数与向量维数相同时，计算因在向量个数与向量维数相同时，计算因在向量个数与向量维数相同时，计算“合并合并合并合并”01detdet3321Ieee因为因为因为因为e e1 1,e e2 2,e e3 3线性无关，故可判定原来的线性无关，故可判定原来的线性无关，故可判定原来的线性无关，故可判定原来的v v1 1,v v2 2,v v3 3线性无关线性无关线性无关线性无关.解四解四解四解四对向量组再加对向量组再加对向量组再加对向量组再加3 3个向量个向量个向量个向

22、量100000,010000,001000654eee易见易见易见易见v v1 1,v v2 2,v v3 3,e e4 4,e e5 5,e e6 6是线性无关的，这是因为有是线性无关的，这是因为有是线性无关的，这是因为有是线性无关的，这是因为有011001010100440013250001000000100000013、向量组的秩、向量组的秩的一个部分组的一个部分组,它满足它满足12(1),riii 线线性性无无关关;定义定义 设向量设向量1212,riiim 是是向向量量组组(2)向量组向量组12,m 中每一个向量都可以由向量中每一个向量都可以由向量12,riii线性表示线性表示,则称

23、向量组则称向量组12,riii是向量组是向量组 的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组12,m 注注 只含零向量的向量组没有极大无关组只含零向量的向量组没有极大无关组.注注 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身.例例 设向量组设向量组 1231010,1,2000 ，12,由于由于线性无关线性无关,且且3122所以所以12,组成的部分组是极大无关组组成的部分组是极大无关组.还可以验证还可以验证23,也是一个极大无关组也是一个极大无关组.123,求求向向量量组组的的一一个个极极大大无无关关组组解解 一个向量组的极大无关组可以是不唯一的一个向量组的极大

24、无关组可以是不唯一的;但不同最但不同最大线性无关组的向量个数是确定的大线性无关组的向量个数是确定的.定义定义的极大无关组所含向量的极大无关组所含向量12,m 向向量量组组的个数称为的个数称为向量组的秩向量组的秩.显然任一线性无关向量组的秩就是其所含向量的个数显然任一线性无关向量组的秩就是其所含向量的个数;而只含零向量的组其秩为零而只含零向量的组其秩为零.对给定的两组向量对给定的两组向量a1、ak;b1、bs，若已知前一组向量线性无关若已知前一组向量线性无关,且每个向量且每个向量aj(i=1,k)皆可依后一组向量线性表出，则皆可依后一组向量线性表出，则 对给定的两组向量对给定的两组向量a1、ak

25、;b1、bs，若前一组若前一组的每个向量的每个向量aj(i=1,k)皆可依后一组向量线性表出，则前皆可依后一组向量线性表出，则前一组的秩一组的秩r1不超过后一组的秩不超过后一组的秩r2，即即 r1 r2 对给定的两组向量对给定的两组向量,若前一组的每个向量皆可依后一若前一组的每个向量皆可依后一组向量线性表出组向量线性表出,同时同时,后一组的每个向量也可藉前一组后一组的每个向量也可藉前一组向量线性表出向量线性表出,就称这就称这.特别特别,每组向量均与其最大线性无关组等价每组向量均与其最大线性无关组等价.两组等价向量的秩必相等两组等价向量的秩必相等.可见可见r(A)3 故列向量故列向量组的最大无关

26、组含组的最大无关组含3个个向量向量 例例 求矩阵求矩阵A的列向量组的列向量组的一个最大无关组的一个最大无关组 并把不属并把不属于最大无关组的列向量用最于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示大无关组线性表示 其中其中97963422644121121112A 解解 对对A施行初等行变换施行初等行变换变为行最简形矩阵变为行最简形矩阵 00000310003011040101 rA 因为因为 000100010001 ),(421raaa 知知r(a1 a2 a4)3 故故a1 a2 a4线线性无关性无关,即为列向量组的一个最大即为列向量组的一个最大无关组无关组 例例 求矩阵求矩阵A的列向量组的列

27、向量组的一个最大无关组的一个最大无关组 并把不属并把不属于最大无关组的列向量用最于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示大无关组线性表示 其中其中97963422644121121112A a1 a2 a4为列向量组的为列向量组的一个最大无关组一个最大无关组,解 对对A施行初等行变换施行初等行变换变为行最简形矩阵变为行最简形矩阵 00000310003011040101 rA 把把A的行最简形矩阵记作的行最简形矩阵记作B(b1 b2 b3 b4 b5)向量向量a1 a2 a3 a4 a5之间与向之间与向量量b1 b2 b3 b4 b5之间有相同之间有相同的线性关系的线性关系 现在现在 b3b1

28、 b2 因此因此a3a1 a2 a5 4a1 3a2 3a4 b5 4b1 3b2 3b4 定义定义 对对 m n 矩阵矩阵 11nmAaaaaa1,am 的秩为的秩为列秩列秩及及行秩行秩,分别分别分别称列向量组分别称列向量组a1,an及行向量组及行向量组(不同的行不同的行以上标区分以上标区分)记作记作rC(A)及及rR(A).4、矩阵的行秩和列秩、矩阵的行秩和列秩例如例如 矩阵矩阵1131021400050000A 的行向量组是的行向量组是1234(1,1,3,1),(0,2,1,4)(0,0,0,5),(0,0,0,0)123,可可以以证证明明是是A的行向量组的一个极大无关组的行向量组的一

29、个极大无关组,r(A)=3 由由1122330kkk即即例如例如 矩阵矩阵1131021400050000A 的行向量组是的行向量组是1234(1,1,3,1),(0,2,1,4)(0,0,0,5),(0,0,0,0)123(1,1,3,1)(0,2,1,4)(0,0,0,5)kkk 得得1230kkk即即123,线性无关线性无关.11212123(,2,3,45)k kkkk kkk(0,0,0,0)而而4 为零向量为零向量,包含零向量的向量组线性相关包含零向量的向量组线性相关,1234,.故故线线性性相相关关1234(,)3r 即行向量组的秩为即行向量组的秩为1231234,因因此此线线性

30、性无无关关,是是的的一个极大无关组一个极大无关组123411310214,00050000 又由于又由于A的列向量组为的列向量组为也可以证明也可以证明 是是A的列向量组的一个极大无关组的列向量组的一个极大无关组,124,1234(,)3r 即列向量组的秩为即列向量组的秩为由此例可得矩阵由此例可得矩阵A的列秩等于矩阵的列秩等于矩阵A的行秩的行秩.1131021400050000A 定理定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量也等于它的行向量组的秩组的秩 r(A)=rA必有必有r个线性无关个线性无关的列向量或行向量，而的列向量或行向量，而A的任意的任意一组多

31、于一组多于r个的列向量或行向量一定是线性相关的个的列向量或行向量一定是线性相关的.A有有r阶阶非零子式存在，而所有高于非零子式存在，而所有高于r阶子式之阶子式之值必为零；值必为零；矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质 若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0 r(A)min(m,n)r(AT)=r(A),r(aA)=r(A)若若 A B，则则 r(A)=r(B)若若 P、Q 可逆可逆，则则 r(PAQ)=r(A)矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质 maxr(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B)特别地，当特别地，当 B=b 为为非零列向量非零列向量时，有时，有r(A)r(A,b)r(A)1 r(AB)r(A)r(B)r(AB)minr(A),r(B)若若 Amn Bnl=O，则则 r(A)r(B)n.若有矩阵若有矩阵Amn，Bnp，则，则 r(A)r(B)-n r(AB).设设 A 为为 n 阶矩阵，证明阶矩阵，证明 r(AE)r(AE)n 因为因为(AE)(EA)=2E，由性质由性质“r(AB)r(A)r(B)”有有r(AE)r(EA)r(2E)=n 又因为又因为 r(EA)=r(AE)，所以所以r(AE)r(AE)n